2022年新高考全国Ⅰ卷第21题的探究论文

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       摘  要 : 文章对 2022 年新高考全国Ⅰ卷第 21 题进行探究，给出两种解法，并将试题推广，得到椭圆、双曲线和抛物线的一般性结论.

       关键词 : 高考试题; 圆锥曲线; 探究; 推广 

       1 题目呈现与解答
       题目  (2022 年新高考全国Ⅰ卷第 21 题) 已知点 A(2，1) 在双曲线 上，直线 l 交 C 于 P、Q 两点，直线AP，AQ 的斜率之和为0.

       ( 1) 求 l 的斜率 ;

       (2) 若 tan∠PAQ = 2 ，求ΔPAQ 的面积.

       本题的解法较多，下面给出其中的两种解法.
       解法 1     ( 1) 将点 A(2，1) 代入双曲线方程，得 化简，得 a4 －4a2  + 4 = 0，解得 a2  = 2
       故双曲线 C 的方程为

       由题可知直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 y = kx + m，设 P(x1 ，y1 ) ，Q(x2 ，y2 ) . 
       化简整理，得(k + 1) (m + 2k －1) = 0.

       当 m + 2k －1 = 0，即 m = 1 －2k 时，直线 l  的方 程为 y = kx + 1－2k = k(x－2) + 1，此时直线 l 过点 A(2，1) ，不符合题意，故 m + 2k －1 ≠0.

       所以 k + 1 = 0，即 k = －1.

       所以直线 l 的斜率为－1.

       (2) 不妨设直线 AP 的倾斜角为锐角且为 α , 由 于直线 AP，AQ 的斜率之和为 0，故直线 AP，AQ 的倾 斜角互补，所以 2α + ∠PAQ = π , 即∠PAQ = π - 2α. 
       解法 2    ( 1) 由解法 1 可知，双曲线 C 的方程为

       (2) 不妨设 α 为锐角，由于直线 AP、AQ 的斜率 之和为 0，故直线 AP、AQ 的倾斜角互补.

       所以 2α + ∠PAQ = π .

       即∠PAQ = π - 2α. 
       评注  一般情况下，圆锥曲线大题的解答过程 往往涉及繁冗运算，要减少圆锥曲线的运算量，规避 运算风险，算理就显得非常重要．解法 2 利用直线的 参数方程，其代数变形较简单，运算量少，解题过程 比解法 1 更简洁.        2 问题的提出

       问题 1    在试题中，若将点 A (2，1 ) 改为其它 值，则直线 l 的斜率为多少?

       问题2   在试题中，若将点 A(2，1) 改为 A(x0，y0 ) (y0 ≠0) ，并将双曲线一般化，则直线 l 的斜率为多少?

       问题 3   在试题的问题( 1) 中，若将试题改为 :点 A(2，1) 在双曲线 上，直线 l 交 C 于 P，Q 两点，且直线 l 的斜率为－1，则直线 AP、AQ 的斜 率之和为多少?

       问题 4   在问题 2 或问题 3 中，若将双曲线改 为椭圆或抛物线，又有什么结论?

       3 试题问题( 1) 的推广与类比性质

       结合上述问题，经探究，可得到试题问题( 1) 的 推广与类比性质 :

       结论 1    已知点 P(x0 ，y0 ) (y0 ≠0) 在椭圆 C:  +  = 1(a ＞b ＞0 ) 上，M、N 是椭圆 C 上的两个动点，若直线 PM、PN 的斜率分别为 k1 、k2 ，则 k1  + k2  =0 的充要条件是直线 MN 的斜率为 .

       结论 2    已知点 P(x0 ，y0 ) (y0 ≠0) 在双曲线 上，M、N 是双曲线 C 上的两个动点，若直线 PM、PN 的斜率分别为 k1 ，k2 ，则 k1b2 x0+ k2  = 0 的充要条件是直线 MN 的斜率为      

       结论 3    已知点 P(x0 ，y0 ) (y0 ≠0) 在抛物线 C:  y2  = 2px(p＞0) 上，M、N 是抛物线 C 上的两个动点， 若直线 PM、PN 的斜率分别为 k1 ，k2 ，则 k1   + k2   = 0的充要条件是直线 MN 的斜率为

       评注  ①结论 1 至结论 3 的证明，可以参照试 题( 1) 的解答，限于篇幅，不再给出.

       ②由结论 2 可知，当 P(x0 ，y0 ) = A(2，1) ，双曲线方程为时，则直线 PQ( 即直线 l) 的斜率为，这正是高考题的问题( 1) .

       4 探究延伸

       结论 1 至结论 3 均是 k1  + k2  = 0 与直线 MN 的 斜率之间的关系．那么在一般的条件下，直线 PM、 PN、MN 三者的斜率之间有什么联系? 此时，能否求得ΔPMN 的面积?

       经进一步探究，可得到如下结论 :

       结论 4    已知点 P (x0 ，y0 ) (y0  ≠0 ) 在曲线 C: Ax2  + By2  = 1(AB≠0) 上，M、N 是曲线 C 上的两个动 点，若直线 PM、PN、MN 的斜率分别为 k1 、k2 、k3 ，则

       证明  因为平移不改变直线的斜率及图形的面积，故平移坐标系，使得点 P 为坐标原点，则曲线 C变为

       此时直线 PM 的方程为 y = k1 x，设 M(xM，yM ) ， N(xN，yN ) .        结论 5    已知点 P(x0 ，y0 ) (y0 ≠0) 在抛物线 C:y2  = 2px(p＞0) 上，M、N 是抛物线 C 上的两个动点， 若直线 PM、PN、MN 的斜率分别为 k1 、k2 、k3 ，则

        证明  因为平移不改变直线的斜率及图形的面 积，故平移坐标系，使得点 P 为坐标原点，则曲线 C变为(y + y0 ) 2  = 2p(x + x0 ) ，且 y = 2px0 .

        此时直线 PM 的方程为 y = k1 x，设 M(xM，yM ) ， N(xN，yN ) .        评注  当 P(x0 ，y0 ) = A(2，1) ，双曲线方程为 时，则 A = ，B = －1，kAP  + kAQ  = 0，且由解 法 1，可知 kAP  = ，kAQ  =  - ．分别代入结论 4，可得直线 PQ 的斜率为 －1，ΔPAQ 的面积为，这正是高考题的情形.

       高考试题是精心之作，每年的高考题在命题角 度、题型、难度等方面都进行了充分考量，是知识、能 力和思想方法的载体，具有典型性、示范性和权威 性．高考试题除了具有测试与选拔功能外，还具有良 好的教学功能，要了解高考动向，把握高考脉搏．高 考试题的研究是重要的路径，所以在复习中要加强 高考题的渗透，通过高考真题的训练体会命题思想， 善于作解后反思和方法的归类，并对试题进行挖掘、 拓展、引申，扩大高考题的辐射面，从而实现高考试题功能的最大化、最优化.

       参考文献 :

       ［1］林国红．一道圆锥曲线竞赛试题的推广探究 ［J］．数学通讯，2022 (04) : 44－45，55 .
       ［2］林国红．圆锥曲线中两根不对称问题的处理方法［J］．高中数学教与学，2018(19) : 12 －14 .

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