SCI论文（www.lunwensci.com）
摘 要 : 圆锥曲线中的定点问题一直是高考中的热点、难点问题. 考生因不理解它的美—扑 朔迷离的变化中存在的不变性，以致无法解决解析几何问题. 本文主要以 2022 年福建省省检试 题— 圆锥曲线中动圆过定点问题为例，对解题教学中如何有效解决问题进行详细阐述.
关键词 :定点；几何条件；代数化；数学思想方法
正因为圆锥曲线千变幻化，才能成就它的美，那 美在哪里呢? 美在扑朔迷离的变化中存在不变的性 质，如定点、定值问题.
1 题目呈现
试题 (2022 年福建省高三毕业班质检试题)已知椭圆 C 的中心为 O，离心率为 . 圆 O 在 C 的 内部，半径为 . P，Q 分别为 C 和圆 O 上的动点，且P，Q 两点的最小距离为 1 － .
(1)建立适当的坐标系，求 C 的方程；
(2)A，B 是 C 上不同的两点，且直线 AB 与以
OA 为直径的圆的一个交点在圆 O 上. 求证 : 以 AB为直径的圆过定点.
2 题源探析
本题与 2009 年全国山东高考理科卷第 22 题如 出一辙.
设椭圆 E : ＋ ＝ 1 ( a > b >0 ) 过 M(2， 2 )，N ( 6，1 )两点，O 为坐标原点.
(1)求椭圆 E 的标准方程；
(2)是否存在圆心为原点的圆，使得该圆的任 意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A，B，且 ⊥ ? 若存在，写出该圆的方程，并求 AB 的取值范 围，若不存在，请说明理由.
两道试题的第(2)问有异曲同工之妙，都是与定圆相切的直线与圆锥曲线相交，涉及垂直条件的 运用与转化，考查了特殊与一般思想的运用. 不同之 处在于 :高考题是已知 OA⊥OB，考查能否找到一个 圆心在原点的圆与直线 AB 相切，而省检试题在于 试题的结论变成条件，其条件变为我们要证明的结 论. 高考题的表征形式较为清晰明了，而省检试题描 述了点、线与圆的形态与变化过程，给学生的数学表 征造成了一定的障碍.
但在解题中会发现曲线的几个要素在变化，虽 有圆的半径、直线方程中的斜率、截距等众多的因素 干扰，但解决问题的思路是一样的，均考查了数学表 征的能力和运用特殊与一般思想解决问题的素养.
3 解法剖析
第(1)问不难，如图 1 建立平面直角坐标系，易得 C 的方程为＋y2 ＝1 .
难在第(2)问，首先需对给定条件作几何推演， 找出几何关系，再将几何条件代数化予以求解.
图 1
角度 1 因为直线 AB 与以 OA 为直径的圆的一 个交点在圆 O 上，所以直线 AB 与圆 O 相切. 由于圆 是中心对称图形，也是轴对称图形，则以圆的切线 AB 为直径的圆过定点原点.
解析 因为直线 AB 与以 OA 为直径的圆的一个交点在圆 O 上，所以直线 AB 与圆 O 相切.
( 1 ) 当直线 AB 垂直于x轴时，不妨设
A 6 6 B 6 － 6 此时 · ＝0.
3 ，3 ， 3 ， 3 ，所以 OA ⊥ OB故以 AB 为直径的圆过点 O.
(2)当直线 AB 不垂直于 x 轴时，设直线 AB 的 方程为 y＝kx ＋m，A ( x 1，y1 )，B ( x2，y2 ).因为 AB 与圆 O 相切，所以点 O 到直线 AB 的距离 m 6 . 即 3 m2－2k2－2 ＝0.
y＝kx ＋m，由 2 得＋y2 ＝1，( 2k2 ＋1 )x2 ＋4kmx ＋2m2－2 ＝0.
所以 x 1 ＋x2 ＝，x 1 x2 ＝ .→ →＝x 1 x2 ＋ ( kx 1 ＋m ) ( kx2 ＋m )＝ ( 1 ＋k2 )x 1 x2 ＋km ( x 1 ＋x2 ) ＋m2
＝ ( 1 ＋k2 ) ＋km ＋m23 m2 －2k2 －2＝ 2k2 ＋ 1 ＝0.
所以 OA ⊥ OB.故以 AB 为直径的圆过点 O.
综上，以 AB 为直径的圆过点 O.
角度2 因为直线 AB 与以 OA 为直径的圆的一 个交点在圆 O 上，所以直线 AB 与圆 O 相切. 利用特 殊情况，当直线 AB 垂直于 x 轴时，不妨设直线为 x＝ 6 则得到 A 6 6 B 6 － 6 又因为以AB为直径的圆过定点，则所对应的向量数量积为 0. 所 以猜测点 O 即为所求的点. 验证斜率不存在的情况 同法 1 .
角度 3 当无法挖掘出以 AB 为直径的圆过定点 O，由于对称性可知，经过的定点一定在 x 轴上，设定点为 N(t，0)，验证NA ·NB＝ (x 1 －t ) (x2 －t ) ＋ y1 y2 ＝0 时，t＝0. 则以 AB 为直径的圆过点 O.
角度 4 通过设而不求思想设切点 M(x0，y0 )， 当 y0 ＝0 时，直线 AB 垂直于 x 轴，得到以 AB 为直径
图 2
如图 2 所示，当 y0 ≠0 时，写出切线的一般形 式，利用切线特征和以 AB 为直径的圆过点 O 转化 为验证 | OA | 2 ＋ | OB | 2 － | AB | 2 ＝0. 再进一步利用图 形进 行 转 化 得 ( | OM | 2 ＋ |AM | 2 ) ＋ ( | OM | 2 ＋ |BM | 2 ) －( |AM | ＋ |BM | )2 ＝0.
角度 5 当直线 AB 不垂直于 x 轴时，利用轨迹 法，设定点 P(x，y)是以 AB 为直径的圆N 上的任意 一 点， 由 · ＝ 0， 得 ( x－x 1 ) (x－x2 ) ＋( y－y1 ) (y－y2 ) ＝0. 化简，得 x2 ＋y2 － ( x 1 ＋x2 )x－( y1 ＋y2 )y＋x 1 x2 ＋y1 y2 ＝0.
故圆 N 的方程为 x2 ＋y2 ＋x －y＝0，它过定点 O.当直线 AB 垂直于 x 轴时，验证以 AB 为直径的 圆过点 O.
角度 6 当直线 AB 不垂直于 x 轴时，将以 AB为直径的圆方程写出来，即圆 N 的圆心为(x 1 ＋x2 y1 ＋y2 ( －2km m 2 ， 2 2k2 ＋1，2k2 ＋1半径 r＝＝ x2 －x 1 ，以 AB 为 直 径 的 圆 的 方 程 为 (x ＋ 2 ＋(y－ m 2 ＝ ( · 2 .整理，得 x2 ＋y2 ＋x－y＝0.故以 AB 为直径的圆过定点 O.当直线 AB 垂直于 x 轴，验证以 AB 为直径的圆过点 O.
4 思想赏析
以上六个角度将解析几何研究的基本方法和基 本思想体现得淋漓尽致，其基本思路:几何条件→代 数形式→代数结果→几何条件，即:充分挖掘几何条 件，转化代数形式，通过代数运算得到代数结果，代 数结果用几何条件表达. 最主要就是要理解问题的 实质，从而建立条件与结论之间的联系.
角度 1 到角度 4 立足于几何条件“AB 为直径的 圆过定点”充分转化为定点与 AB 的数量积为 0，利 用特殊到一般、数形结合、方程思想解决问题.
角度 5 到角度 6 立足于几何条件“AB 为直径的 圆过定点”充分转化为将 AB 为直径的圆方程写出 来，利用数形结合和方程思想得到过定点.
上述哪个角度比较好呢? 显然，“AB 为直径的 圆过定点”充分转化为“定点与 AB 的数量积为 0” 运算更为简便. 若通过对角度 1 到角度 4 对比，发 现:(1)如若学生利用数形结合思想可以充分挖掘 几何条件:AB 为直径的圆过定点 O；(2)学生利用特 殊到一般思想引领，则大大降低求解运算.
正因如此，破解解析几何问题的基本思想是用 代数手段来研究几何问题，这里很自然需要我们充 分挖掘几何条件，将其代数化，同样通过代数运算得 到的代数形式几何化，进而建立条件与结论之间的 联系，同时我们要树立运用思想引领解题意识，运算 就会变得简单，解题就会挥洒自如.
参考文献 :
[ 1 ] 中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标 准(2020 年修订版)[M ] . 北京 :人民教育出版社，2020 .
[2 ] 林新建. 我的教学主张— 自然数学[M ] . 厦 门 :厦门大学出版社，2020 .
关注SCI论文创作发表，寻求SCI论文修改润色、SCI论文代发表等服务支撑，请锁定SCI论文网 文章出自SCI论文网转载请注明出处：https://www.lunwensci.com/jiaoyulunwen/43895.html
