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摘 要 : 本文以 2022 年新高考Ⅱ卷的第 21 题为例，从通法到巧解呈现了解决解析几何问题的 常规方法，并结合曲线系方程这一试题命制背景，给出了一般性的结论.
反思 上述解法是处理圆锥曲线解答题的通 法，把点坐标作为参数，设出相关直线的方程，再转 化已知条件，最终得出结果.此法的计算量较大，深 度考查了学生数学运算与逻辑推理的核心素养，或 许这就是命题者的初衷.
解法 2 设表示双曲线两条渐近线的退化双曲
( 困难 : 笔者解题至此时，原本尝试用 m 假设直 线 PM，QM 的方程，再与双曲线方程联立，进而证明 命题.想法是美好的，但是复杂的运算( 读者可自行 完成) 直接打消了笔者的念头，转而考虑是否能够 简化运算?
思路重构 : 利用 P，Q 两点的横纵坐标假设直线 PM 与 QM 的方程，并联立它们，得到交点 M 的坐 标，进而得到 P，Q 两点的横纵坐标与参数 m 的关 系 ; 根据已知条件所给的等量关系，设而不求，最终 用 m 表示直线 PQ 的斜率，证明命题.)
反思 上述解法也是处理圆锥曲线解答题的通 法，把斜率( 此法利用斜率的倒数) 作为参数，设出 相关直线的方程，利用了韦达定理与点差法，整体对 待交点坐标，设而不求，得到结论.相比求出交点坐 标的方法，有效地减少运算量.
反思 本解中，设出 A，B，P，Q 四个点的坐标， 利用 P，Q 两点的坐标满足的 4 个方程，构造方程- 6x0 x + 2y0 y + 3x0(2) -y0(2) + 3 = 0.得到过 P，Q 两点的直线方程，通过点差法得点 M 的坐标与直线 AB 的 斜率关系，最终得到 kPQ = kAB，命题得证.这种设点 的解法，直接利用点 M 的横纵坐标表示直线 PQ 的 方程，同样大幅减少运算量.
对比以上三种解法，显然解法 3 的运算量是最 少的.那么这样巧妙的解法又是从何而来?
只有教师在日常教学中，立足“本手” ——— 重视 通性通法的教学，给足学生时间修炼数学的“童子 功” ; 探寻“妙手” ——— 重视教材，回归教材，挖掘课 本试题的潜在价值( 即课本试题的组合、演变、拓展 与延伸) ，不仅要让学生知其所以然，还要知何由以 知其所以然 ; 兼顾“本手”和“妙手” ，方能高效复习.
参考文献 :
[1] 陈 忠.利用曲线系方程解决 定 点、定值 问题 [J].中学数学月刊，2014 (09) : 63-65 .
[2]章建跃，李增沪.普通高中教科书数学·选择性必 修(A 版) [M].北京:人民教育出版社，2019.
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