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摘要:本文以２０２２年深圳市高三调研考试解析几何试题为例，谈一谈该试题的解法探究以及结论推广.
关键词:一题多解；结论推广；圆锥曲线
１试题呈现
题目已知双曲线
经过点Ａ(２，０)，且点Ａ到Ｃ的渐近线的距离为
(１)求双曲线Ｃ的方程；
(２)过点Ｐ(４，０)作斜率不为０的直线ｌ与双曲线Ｃ交于Ｍ，Ｎ两点，直线ｘ＝４分别交直线ＡＭ，ＡＮ于点Ｅ，Ｆ.试判断以ＥＦ为直径的圆是否经过定点，若经过定点，请求出定点坐标；反之，请说明理由.
２解法探究
２.１第(１)问解析
解析依题意，ａ＝２.
解法１(１)当直线ｌ的斜率存在时，设直线ｌ的方程为
由对称性可知，以ＥＦ为直径的圆过定点，则该点一定在ｘ轴上.
解得ｘ＝１或ｘ＝７.
所以以ＥＦ为直径的圆经过点(１，０)和(７，０).
(２)当直线ｌ的斜率不存在时，点Ｅ(４，３)，Ｆ(４，－３)，以ＥＦ为直径的圆的方程为(ｘ－４)(ｘ－４)＋(ｙ－３)(ｙ＋３)＝０，该圆经过(７，０)和(１，０).
综上所述，以ＥＦ为直径的圆经过定点(１，０)和(７，０)
由对称性可知，若以ＥＦ为直径的圆过定点，则该定点一定在ｘ轴上，设该定点坐标为Ｔ(ｔ，０)，则
解得ｔ＝１或ｔ＝７，
所以以ＥＦ为直径的圆经过定点(１，０)和(７，０).
３结论延伸
细品解题过程，笔者感觉第(２)问的解答耐人寻味，似乎隐藏一个定点的结论，于是笔者思考，对于一般形式的双曲线，上述问题该如何表示?本例中的定点Ｐ、以ＥＦ为直径的圆所过的定点、以及ａ，ｂ之间是否存在着内在联系?如果背景的圆锥曲线换成椭圆、抛物线，是否又有类似的结论呢?基于上述思考，笔者得到如下结论:
证明椭圆结论的证明过程与双曲线类似，这里不再给出.
结论３已知抛物线的顶点为Ｏ，过点Ｐ(λ，０)(λ>０)的直线ｌ１与抛物线Ｃ交于Ｍ，Ｎ两点，直线ＡＭ，ＡＮ分别与直线ｌ２:ｘ＝λ交于Ｅ，Ｆ两点，则以ＥＦ为直径的圆过定点Ｔ(λ±
结论４已知抛物线
的焦点为Ｆ，过点Ｐ(λ，０)
的直线ｌ１与抛物线Ｃ交于Ｍ，Ｎ两点，直线ＦＭ，ＦＮ分别与直线ｌ２:ｘ＝λ交于Ｅ，Ｇ两点，则当
时，以ＥＧ为直径的圆过定点
，当
时，以ＥＧ为直径的圆过定点
由对称性可知，若以ＥＧ为直径的圆过定点，则该定点一定在ｘ轴上，设该定点坐标为Ｔ(ｔ，０)，则
圆锥曲线中的定点定值问题，可谓一花一世界，一树一菩提，在解题后，若能够静心思考，潜心研究，必能有所收获.
参考文献:
[１]唐洵.揭秘直线与圆锥曲线４大热点问题[Ｊ].高中数理化，２０１４(２１):９－１１.
[２]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(２０２０年修订版)[Ｍ].北京:人民教育出版社，２０２０
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的右顶点为Ａ，过点Ｐ(λ，０)(－ａ<λ<ａ)的直线ｌ１与椭圆Ｃ交于Ｍ，Ｎ两点，直线ＡＭ，ＡＮ分别与直线ｌ２:ｘ＝λ交于Ｅ，Ｆ两点，则以ＥＦ为直径的圆过定点
