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摘要 : 关联物体的脱离问题是高中物理的一个难点，主要表现在用到的知识点多．常涉及到机械能守恒、动量守恒、关联速度、临界问题等高中核心知识，对学生分析问题的能力要求高．另外， 这类问题常涉及到求极值问题，对利用数学知识解决物理问题的能力要求也高，是考查学生综合能力的热点与难点.
关键词 : 机械能,动量,关联速度,临界,极值
在中学生物理竞赛、自主招生考试、强基计划考 试以及北大清华举办的夏令营考试中，经常出现一类脱离问题的题目，有很多同学感到无从下手，本文从不同角度对该问题进行论述，希望能起到抛砖引玉的作用.
1 在惯性系中的脱离
这类问题相对简单，关键是找出脱离的临界转态，如:接触点的弹力为0，杆或绳上的力发生突变等.
1．1 摩擦力为零时脱离的例子
如图 1，A 是轻杆下端与地面接触点，杆与地面 间有足够大静摩擦力，开始时，小球处在最高点，系 统处于静止状态，放开后，受扰动，m 倒下，当小球接 近地面时，求小球的速度大小和方向以及杆上的拉力.
在 A 点有摩擦存在时，由于最大静摩擦力足够 大，所以杆下端不会滑动．但是，当杆中张力为零时， 摩擦力也随之消失．从此时开始，小球将作斜下抛运动．由于本题要求小球接近地面时的速度以及杆中 张力，易知张力 T = 0，速度大小由机械能守恒得 :
要找到 v 的方向，需找到开始斜抛的位置，设杆与竖直方向成 θ 时，杆上的力为 0，球开始做斜抛运动，此时小球有速度 v0 ，如图 2.
1．2 弹力为零时脱离的例子
水平地面上整齐堆放着三个质量分布均匀、半 径均为 r 的光滑球体，如图 3 所示，设图中三个球体 A、B、C 的质量分别为 mA = 2mB = 2mC = 2m，从图中 位置静止释放，求柱 A 球落地时的速度.
1．3 内部拉力发生转折时脱离的例子
如图 4(a) 匀质软绳长为 L，绝大部分沿长度方 向放在水面桌面上，桌面光滑，仅有很少一部分悬挂在桌面外，此后绳将从静止开始下滑，问绳能否滑到 图4(b) 状态? 若不能，再问绳滑下的长度为多大 时，绳会甩离桌面棱边?
因链条不断获得水平动量，如果能滑到图4(b) 状态，水平动量为零，没有力使水平动量再变为零， 所以不可能到达图 4(b) 状态，在拐角处链条内力逐渐变大，水平动量逐渐变大，内力最大时脱离桌面， 突然失重．实际上在到达图 4 ( b) 状态前，链条已经脱离桌面.
当链条有一半运动到桌沿下 时，链条将脱离 桌面.
2 在非惯性系中脱离
物体相对于平动非惯性系做匀加速直线运动， 如果以惯性系来考察物体的运动，就需要进行加速 度的合成，或根据限制条件寻找加速度之间的关系， 这样求解比较复杂，此时，如果以非惯性系来研究物 体的运动、引人假想的惯性力，就可以避免加速度的 合成，结合其他条件分析脱离问题.
2．1 滑动脱离的例子
如图 5 所示，一质量为 m 的小物体，放在半径 为 R 的光滑的半球上，初始时它们相对静止，然后半球面以加速度 a = g 向右匀加速运动，小物体从最高点滑下，求物体离开球面时离地面的高度 h.
答案 : 物体距地面高度 0．81R 时离开半球面
2．2 转动脱离的例子
如图 6 所示，在以一定加速度 a 行驶 的车厢 内，有一长为 l，质量为 m 的棒 AB 靠在光滑 的后 壁上，棒与车箱底之间的动摩擦因数为 μ . 为了使 棒不滑动，棒与竖直平面所成的夹角 θ 应在什么 范围内?
如以车厢为参考系，引入惯性力后，可以把棒看 成处于平衡状态，惯性力的作用点在棒的重心处．求 θ 的最大值时，棒 AB 的受力如图 7 所示，这时 B 端 所受摩擦力的方 向水平 向左，且达到最大值，以 A 为转轴，根据力矩平衡条件 :
3 直接根据接触点弹力为零判断
现有一匀质细杆直立在水平地面上，地面光滑， 细杆受到微小扰动而倾倒，如图 8 所示，试问 : 在细 杆全部倒地前，它的下端是否会脱离地面?
解析 杆在倾倒过程中无水平外力，质心只有 竖直向下的速度 vc 和加速度 ac，据动能定理可求得 细杆处于图 9 所示方位角 θ 时的 vc 值，继而由 vc 求得 ac，再据质心运动定理将地面对细杆下端支持力 N 与 ac 相联系，由 N 的表达式是否为 0，来判断是 否跳起.
杆不会脱离地面.
4 根据系统运动形态分析
如图 10 所示，一根长度 l 的轻杆两端分别用光 滑铰链接着两个物块 A、B，两物块的质量均为 m，B 靠在光滑墙面上，A 放在水平地面上，此时杆与地面 的夹角为 53 ° , 地面光滑，两物体由静止开始运动．问: 物体 B 下滑时是否脱离墙面? 如过脱离在什么地方脱 离? ( 取g = 10m/ s2，sin53° = 0.8，cos53 ° = 0.6)
分析 B 下滑过程中，A 获得水平动量，假定 B 始终不脱离墙面，B 到达地面时 A 的速度应为 0，这 说明后一个阶段杆对 A 球向左拉，杆必然向右拉 B， 所以 B 要离开墙面.
答案 : sinθ =
时 B 将离开墙面.
小结 : 求解脱离问题的关键 :
( 1 ) 物体的关联速度一定要搞清 楚，两个物 体沿杆( 绳) 方向的分速度相同，对于有相对转动 的问题要搞清楚相对转动速度.
( 2 ) 在非惯性系 中，加一惯性力解 决起来更方便.
( 3 ) 灵活利用能量动量观点解决问题.
参考文献 :
［1］程稼夫．中学物理奥林匹克物理教程力学篇 ［M］．北京: 中国科学技术出版社，2021 (10) .
［2］舒幼生．力学［M］．北京: 北京大学出版社，2019(6) .
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