素养立意下一道视角极值题的溯源 、破解与思考论文

 

SCI论文（www.lunwensci.com）：

　　摘要:对一道最大张角联考试题进行了深度剖析,揭示了试题命制的历史背景,分别从几何和代数视角进行了解答,归纳提炼出解决问题的通性通法,以期提高解题的效益.

　　关键词:米勒问题;直观想象;数学建模

　　1　题目呈现

　　题目(2022年1月广东省华附、省实、广雅、深中高三四校联考第7题)在足球比赛中,球员在对方球门前的不同位置起脚对球门的威胁是不同的,出球点对球门的张角越大,射门的命中率就越高.如图1为室内5人制足球场示意图,设球场(矩形)长BC大约为40米,宽AB大约为20米,球门长PQ大约为4米.在某场比赛中有一位球员欲在边线BC上某点M处射门(假设球贴地直线运行),为使∠PMQ最大,则BM大约是(　　).(精确到1米)

　　A.8米　　B.9米　　C.10米　　D.11米
 

图1

　　本题通过设置鲜活的生活情境,考查一类最大张角问题,重点考查直观想象、数学建模、数学运算、逻辑推理等核心素养,内蕴丰富,具有较高的挖掘价值.

　　2　命制背景

　　2.1　问题探源
　
　　通过对典型习题的深度挖掘,有利于我们发现问题的内涵和本质,“揭秘”题目背后的故事与历史渊源,概括归纳深藏其中的思维主线,以此为中心推而广之,可以收到以一敌百的良好成效.本题源于历史上经典的米勒问题.1471年,德国数学家、天文学家米勒(Johannes,miller)向诺德尔(Chri-stian,ro-der)教授提出了如下有趣的问题:在地球表面的什么部位,一根垂直的悬杆呈现最长(即可视角最大)?上述最大视角问题因米勒首先提出,故称之为米勒问题.米勒问题广泛分布于各种实际问题,例如探求欣赏一幅画的最佳角度、足球比赛最佳射门点等,成为世界数学史上100个著名极值问题的第一个极值问题.历史上的米勒问题所涉及的范围是三维空间.作为实际问题,我们首先抽象出数学模型.如图2所示,相对于悬杆而言,地球的体积是相当大的,我们可视地球表面为平面,为了简化模型,同时忽略观察者身高的影响,即观察者的身高视为0,且悬杆在地面上的投影也为0,因为悬杆垂直于地面,所以到点O距离相同的点所得可视角相同.

　　2.2　模型概括

　　将上述问题一般化:如图3,设M,N是角∠AOB的一边OA上的两点,试在边OB上找一点P,使∠MPN最大.

　　对于上述问题,我们有如下定理:

　　米勒定理设M,N是角∠AOB的一边OA上的两点,点P是射线OB上异于点O的一动点,则当且仅当△MNP的外接圆与射线OB相切于点P时,∠MPN最大.
 

图2　　　　　　图3　　　　　　图4
 

　　证明如图4,在射线上任取异于点P的一点P′,连接MP′,NP′,NP′与圆相交于点C.易知∠MCN>∠NP′M.又因为∠MCN=∠MPN,所以∠MPN>∠MP′N,得证.

　　2.3　教材链接

　　普通高中课程标准试验教科书《数学必修5》(人民教育出版社2007年1月第3版,A版)第101页习题3.4B组第2题:如图5,树顶A离地面am,树上另一点B离地面bm,在离地面cm的C处看此树,离此树多远时视角最大?
 

图5　　　　　图6
 

　　3　问题解答

　　思路1　几何视角，由圆的几何性质探求张角最大值.

　　解法1 　如图6所示,易知无论点M是前行还是后退到点M′,过点P,Q,M′的圆必与直线BC相交,此时∠PM′Q必小于圆内的角∠PMQ.

　　当BC与过点P,Q,M的圆相切且切点为M时,∠PMQ最大,由切割线定理得BM=BQ·BP=8×12=46≈10,即BM大约是10米,故选C.
 

　　思路2　代数视角,由探求张角的三角函数值的最值求张角最大值.

　　由于在点M处观察P,Q的视角为∠PMB∈（0, ）,为了探求∠PMQ的最大值,可转化为研究锐角∠PMQ的某一个三角函数值的最值,下面以∠PMQ的正切的最大值为例尝试求解.
　

　　解法2　如图6所示,PB=8,QB=12,设BM=x( 0≤x≤40).

　　在Rt△PBM中,tan∠PMB==,在Rt△QBM中,tan∠QMB==,所以tan∠PMQ=tan( ∠QMB-∠PMB)

　　
 

　　当且仅当x=,即x=≈10时取等号,此时tan∠PMQ取得最大值,∠PMQ亦取得最大值.所以,为使∠PMQ最大,则BM大约是10米,故选C.

　　本题还可讨论∠PMQ的正弦或余弦的最值进行求解,不再赘述.

　　4　模型应用

　　以米勒问题为背景的最大张角问题在历年高考中屡见不鲜,经久不衰,现枚举几例.

　　例1　(1986年高考全国卷理科第5题)如图7,在平面直角坐标系中,在y轴正半轴(坐标原点除外)上给定两定点A,B,试在x轴正半轴(坐标原点除外)上求一点C,使∠ACB取得最大值.

　　例2　(2005年高考浙江卷理科第17题)如图8,已知椭圆的中心在坐标原点,焦点F1,F2在x轴上,长轴A1A2的长为4,左准线l与x轴的交点为M,MA1∶A1F1=2∶1.

　　(1)求椭圆的方程;

　　(2)若直线l1:x=m(  m>1) ,P为l1上的动点,使∠F1PF2最大的点P记为Q,求点Q的坐标(用m表示).
 

图7　　　　　　图8　　　　　　图9
 

　　例3　(2010年高考江苏卷第17题)某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位m),如图9所示,垂直放置的标杆BC高度h=4m,仰角∠ABE=α,∠ADE=β.

　　(1)该小组已经测得一组α,β的值,tanα=1.24,tanβ=1.20,请据此算出H的值;

　　(2)该小组分析若干测得的数据后,发现适当调整标杆到电视塔的距离d(单位m),使α与β之差较大,可以提高测量精确度,若电视塔实际高度为125m,问d为多少时,α-β最大.

　　限于篇幅,以下仅给出例3(2)的解答:

　　解法1　由题设知d=AB,得

　　tanα==,
 

　　
　　则tan( α-β) =

　　

　　当且仅当d=125121,即d=555时取等号.

　　又0<β<α<,则0<α-β<,由于y=tanx在（0,）上单调递增,所以当d=555时,α-β最大.
 

　　解法2　由题设知α-β=∠DEB.

　　由米勒定理得,当EA与过点D,B,E的圆相切且切点为E时,∠DEB最大,易求得DB=d.

　　此时,由切割线定理得EA=

　　即125=.

　　解得d=555,问题获解.

　　特别值得关注的是,近年来,米勒问题在竞赛数学中也频频亮相,需要引起足够的重视.

　　例4　(2004年全国高中数学联赛第12题)在平面直角坐标系xOy中,给定点M(-1,2),N(1,4),点P在x轴上移动,当∠MPN取最大值时,点P的横坐标为_____.

　　解析　设直线MN与x轴交于点Q,易得Q( -3,0) ,圆H过点M,N且与x轴相切于点P,则点P即为所求.

　　由切割线定理,得

　　PQ2=QM·QN=22×42=16.所以PQ=4.

　　易得P( 1,0)或P′( -7,0).

　　而∠MPN>∠MP′N,故点P的横坐标为1.

　　例5　(2006年全国高中数学联赛第9题)已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在直线上.当∠F1PF2取最大值时，＝_____.

　　解析　设直线交x轴于点A( -8-23,0) ,欲使∠F1PF2最大,则过F1,F2,P三点的圆必与直线相切.

　　则∠APF1=∠AF2P,AP2=AF1·AF2.又由△APF1∽△APF2,可得

　　

　　例6　（2017年全国高中数学联赛辽宁省初赛第9题)已知F1,F2分别为椭圆Γ:+=1( a>b>0)的左、右焦点,F1F2=2,A为Γ的右焦点,直线l过点A,且垂直于x轴,P为直线l上一动点,若∠F1PF2的最大值是,则点P的坐标是_____

.
　　解析　由已知得A( a,0) ,F1( -1,0) ,F2( 1,0).首先考虑点P在x轴上方的情形.

　　设P( a,t) (t>0) ,则

　　tan∠APF1=,tan∠APF2=


　　

　　

　　当且仅当t=,即x=时取等号.由已知∠F1PF2的最大值是,
 

　　所以tan=,
 

　　解得a2=2,即t=1.

　　故此时点P的坐标是( 2,1).

　　类似的,当点P在x轴下方时,同理解得点P的坐标是( -2,1).

　　综上,点P的坐标是( 2,1)或( -2,1).
　　
　　评注　例6中,点P在x轴上方时,其位置可由米勒定理直接确定:经过点F1,F2且与直线l相切的圆的切点,由切割线定理,可知AP2= AF1·AF2.

　　通过以上分析可以看出,以米勒问题为背景命制的试题在高考、竞赛和模拟试题中频频亮相,常常以解析几何、平面几何和实际应用为载体进行考查.若能突破思维瓶颈,从题设中挖掘出隐含其中的米勒问题模型,并能直接运用米勒定理解题,无疑会降低思维难度、大幅减少运算量,加快解题进程,促使问题顺利解决.

　　参考文献:

　　[1]戴建国.对高考中导数试题命制过程的一些思考[J].数学通讯,2021(18):52-55.

　　[2]史宁中,王尚志.普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)解读[M].北京:高等教育出版社,2020.