2022年新高考全国Ⅰ卷第18 题解法探究论文

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       摘要 : 对一道解三角形高考真题进行多角度剖析，将解题切入点、推理过程铺展开来，促进解三角形教学，提高学生的逻辑推理和数学运算素养.

       关键词 : 三角形; 差异分析; 数学思想

       1 试题呈现
       题目 ( 2022 年新 高考全 国 Ⅰ 卷第 18  题) 记ΔABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知

       ( 1) 若 C =  , 求 B;
       (2) 求的最小值.

       本题以三角形为载体，主要考查三角恒等变换、 正弦定理等基础知识，考查逻辑推理能力、运算求解 能力等，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数 形结合思想等，考查学生数学运算、逻辑推理等核心素养，体现基础性和综合性，具有很好的选拔功能.

       在化简已知等式过程，不少考生优先对方程 进行化分式为整式，难以进一步化简，从而“迷途 知返 ” ，考虑先用二倍角公式化简方程右边，后对方程进一步变形，考生解题时有紧迫感和不踏实感.

       2 解法评析

       2．1 第(1) 问解析

       解法1 化异为同( 方程两边“角”的系数调成一致).
       评注  本法学生应用熟悉的二倍角公式先化简 方程右边式子，再通过对方程进行变形，结合两角和的余弦公式，可较快实现化简.

       解法 2   化异为同( 方程两边“式”的结构调成一致).
        评注  观察发现方程右边可以利用二倍角公式 实现化简，通过对方程两边结构进行差异分析，发现方程左右两边结构相似，利用 cosα = sin - α) 实现把方程左边调成与右边结构完全一致，从而化简过程也一致，再结合 y = tanx 的函数性质，分析 -与 B 的数量关系．本法要求学生对方程的两边进行差异分析后定出解题策略，考查学生的运算求解、 逻辑推理能力.

        解法 3   构造函数( 方程两边“式”的结构调成一致).        评注  观察发现利用诱导公式可以使得方程左右两边结构一致，从而构造函数f(x) = 1 ico(nx)sx，把原等式转化为f(－A) =f(2B) ，由函数值关系逆推自变量关系，需要进一步分析f(x) 的图象特征，分析- A 与2B 的取值范围．本法对方程的观察角度与解法 2 类似，解题思路不同，从结构一致联想到函数，要求学生有一定的转化能力，考查学生的逻辑推理能力.
       解法 4   恒等变形( 两角和、差的余弦公式、利用 α =  +  , β =  - 变换角度)        评注  本法优先对方程结构进行变形，利用两 角和的余弦公式得 cosA + cos ( A + 2B)  = sin2B，进一 步变形时，用二倍角公式 sin2B = 2sinBcosB 后，发现 方程两边次数不对等，无法实现化简．若分析角度关 系“A，A + 2B，2B ” ，易发现“A = (A + 2B) －2B，2B =  (A + 2B) －A ” ，但展开后方程更加繁杂了 ; 若分析 方程结构，发现方程左边是“cosα + cosβ”的结构，可 利用“积化和差”把两项和转化为两项积，且与方程 右边次数一致．后续需要对 cosB 是否为 0 进行分类 讨论，要求学生有严密而又富有逻辑的推理能力.

       解法 5   恒等变形( 两角和、差的余弦公式、利 用 A + B + C = π 变换角度) .        评注  本法与解法 4 类似优先对方程结构进行 变形得 cosA + cos( A + 2B)  = sin2B，而后难以继续化简，尝试进一步思考: “是否浪费了重要的信息? 是 否可以开辟新的解题通道? ” 挖掘三角形中的隐性 条件“A + B + C = π”进行变角，得“A = π - (B + C) ， A + 2B = π - C + B ” ，把方程变为 －cos ( B + C)  -   cos( C－B) = sin2B，利用两角和、差的余弦公式，二 倍角公式便可实现化简.

       2．2 第(2) 问解析

       解法 1   化归转化( 正弦定理、函数思想、基本不等式)．        评注  分析 都与三角形的边“a，b，c”有关，并且次数都是“2 ” ，利用正弦定理把原式转化为利用三个内角间的数量关系“A =－2B，C =  + B ” ，把目标转化为只含有角 B 的式子“4 cos2 B +  ” ，再利用基本不等式即可解出，或 者 令 t  =  cos2 B，构 造 函 数 g  ( t )  = 4t +  ＜t ＜1)，利用函数单调性也可解出．本法考查学生的化归转化能力.

       解法 2   数形结合( 函数与方程思想、基本不等式)．
       过点 A 作 AD /CB，作 ΔABD = ，ΔACB =  ΔCBD，满足 C = + B，四边形 ACBD 为等腰梯形 ( 如图 1) ，过点 B 向 AD 作 BE 」AD，垂足为点 E，设 ED = x，在 Rt ΔABD  中，AD  = a + 2x，AD2   = BD2 +AB2 ，所以(a + 2x) 2  = b2  + c2 .         评注  本法主要利用角度关系 C = + B 分析图形特征，把ΔABC 补形为等腰梯形，借助等腰梯形的对称性 以及 ΔABD = ，引入变量 ED ( x ) ，把转化为 1 －，再分析式中分式的分子与分母次数整齐，通过“同除 以 ax，把双变量“a，x”问题转化为单变量“” ，再利用基本不等式或换元法构造函数求最值即可．本法结合已知条件， 构建图形，对问题进行“几何化” ，在一定程度上化 简了运算，是数与形的巧妙结合.

       3 教学反思

       解三角形试题的命制注重对基本概念、基本方 法、基本技能的考查．三角恒等变换公式应用灵活多 样，是培养学生逻辑推理素养、数学运算素养的良好 载体．教学中不仅要求学生熟记公式，掌握公式的结 构及其功能，更要引导学生分析题目、明确思维起 点，对变换对象和变换目标进行对比、分析，分析所 包含的角的不同、三角函数的种类差异、三角函数式 的结构差异等多个因素，针对这些差异，进而在消除 不同点上下功夫，变角、变名与变式虽有不同变换， 但消除差异的本质不变．同时还要对不同切入点进 行比对、深刻理解，解题中要有探索解题思路的勇气，思路麻烦时，通过反馈调节而精简; 思路错误时，通 过反馈调节而纠正．从解题中培养探索、创新精神.

       参考文献 :

［1］人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课 程教材研究开发中心．普通高中教科书教师教 学用书· 数 学［M］．北京: 人民教育出版社，2019 .
［2］ 中华人民共和国教育部．普通高中数学课程标 准(2017 年版 2020 年修订) ［M］．北京: 人民教育出版社，2020． 

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