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摘 要 : 基于 2021-2022 年 8 套高考数学全国卷，从考查知识、试题特点和命题导向三个方面 对试卷中应用到构造函数法的试题进行统计分析.基于高考在高中教学中的导向作用，提出在函数 教学时应加强对函数概念本质的理解，注重构造思想的渗透.
关键词 : 构造函数法,数学解题,高考数学
1 问题提出
《普通高中数学课程标准(2017 年版 2020 年修 订) 》( 以下简称《课标》) 指出: “函数是现代数学最 基本的概念，是描述客观世界中变量关系和规律的 最基本的数学语言和工具，是贯穿高中数学课程的 主线.”然而，函数具有的高度抽象性和形式化等特 点，增加了学生对函数本质理解的困难，使得学生难 以把握变量之间的关系以及建立适当的函数模型来 解决现实世界中的实际问题.
在中学数学中，构造法因其独特的思维方式而 备受关注，是一种常用的解题方法.所谓构造法是指 依据常规思维或解题方法解决某些问题存在困难 时，能够从题设条件以及结论的性质和特征等新角 度出发，把握题设条件和结论之间的内在联系，以头 脑中已有的数学知识为支架，构造出满足题设条件 或结论并且能够展现出原问题隐含关系的新的数学对象，并借助其他数学工具快速解决问题的方法.构 造法伴随着数学的产生而产生，中国的《九章算术》 和西方的《几何原本》中含有大量构造思想，在数学 发展的起始阶段，存在着大量的直观经验，而这些经 验都是需要加以总结和提高的，也就是在此时，构造 方法体现出了极强的应用价值，所以无论东方还是 西方，构造法都有着极其深远的影响.
2 试卷分析
主要采用文本分析的方法对 2021 -2022 两年 的高考数学全国卷( 包括 2021 年全国理科甲、乙卷 和新高考Ⅰ、Ⅱ卷以及 2022 年全国理科甲、乙卷和 新高考Ⅰ、Ⅱ卷共 8 套试卷，下文称全国卷) 进行定 量统计和定性分析，明晰构造函数法在高考试卷中 相关试题的分值及分值占比，呈现试题的特点以及 命题导向，根据研究的实际呈现结果为构造函数法 的教学提出合理可行的建议.
2.1 试卷总体分析
由表 1 和表 2 可知，与函数有关的试题在考查 函数相关知识点的同时，更侧重于构造思想方法的 渗透.从考查总分来看，全国卷对构造函数法的考查 总分稳定在 10-20 之间，选填题和解答题都有涉及 考查，以中等及以上难度的题目为主.
从考查知识来看 : 试题考查的知识覆盖必修和 选修函数这一主题的各个章节，包括 : 函数的概念和 性质( 单调性、最值、奇偶性、周期性等) 以及一元函 数导数与单调性、极值、最值的关系等 ; 此外，由于函 数在高中数学解题中的工具性，在圆锥曲线( 椭圆、 双曲线、抛物线) 的几何性质及最值问题、随机变量 的分布列及期望、锥体与球的综合问题、等差数列的 证明、不等式的范围等相关问题的解决过程中，也可能需要构造相应的函数作为解决问题的工具.
从试题类型来看 : 对选填题的统计表明，8 套试 卷中共考查了 10 道选填题，大多位于选填题的中间 或压轴位置，着重考查函数的单调性、奇偶性等性质 或是以构造出的函数作为工具解决圆锥曲线、锥体 与球等相关问题，对于解答题的统计表明，8 套试卷 中共考查了 8 道解答题，一般出现在压轴题或次压 轴题的位置，主要在导数相关知识的考查中体现构 造法的思想解决方程根的问题、证明不等式、极值问 题、函数零点问题、参数取值范围问题. 此外，在新 高考试卷中出现了通过构造合适的函数来证明随机 变量的期望、等差数列的证明.由此可以看出，高考 试卷在选填题和解答题上都侧重对函数性质的考 察，解答题还注重导数与函数的单调性、最值的关 系.考查知识明确，考查题型稳定，考查难度偏难，偶 有难度减小现象，试题对函数内容的考查逐渐深入，注重学科知识的融合性.
2.2 试题特点分析
2.2.1 重视基础知识的考查
全国卷作为使用范围最广的高考试卷，重点考 查基础知识、基本经验、基本技能和基本方法.试题 在教材的基础上推陈出新，对教材进行了激活，体现 了命题源于教材又高于教材的特点.通过对基础知 识的重新变式或拓展，赋予时代特色，体现全国卷的 设计理念，例如 2022 年新高考Ⅰ卷 22 题第(2 ) 问 对等差数列的证明，体现了数列的本质是一种特殊的函数，侧重对学生基本知识的考查.
2.2.2 重视创新能力的考查
《深化新时代教育评价改革总体方案》提出 : 构 建引导学生德智体美劳全面发展的考试内容体系， 改变相对固化的试题形式，增强试题的开放性，减少死记硬背和“机械刷题”现象. 例如 2021 年新高考Ⅱ卷第14题，根据函数性质构造符合题目要求的函 数解析式，着重考查学生的思维灵活性，试题形式为 开放性试题，有利于数学学科核心素养和关键能力 的考查，发挥了高考数学试卷的选拔功能.
2.3 命题导向分析
以试题的统计数据为基础，联系试题特点，继续 对命题导向进行分析探讨，具体如下.
2.3.1 考查知识综合化
结合表 1 和表 2 可以看出，对构造函数这一方 法考查总分占比稳定.全国卷中对单一知识点进行 考查的试题明显减少，重视知识综合.随着文理不分 科的实行，试题考查有着综合化的趋势，重视函数与 不等式、函数与方程、函数的性质与导数的关系等知 识在试题中的融合考查 ; 强调基础内容和主干知识， 关注知识间的联系 ; 素养考查上，侧重以题目中已知 元素作为原件进行构造，侧重创新思维能力的培养 以及逻辑思维能力的发散.
2.3.2 考查题型多样化
《中国高考评价体系》明确指出“四层”为高考 的考查内容，即“核心价值、学科素养、关键能力、必 备知识”，“四翼”为高考的考查要求，即从基础性、 综合性、应用性、创新性的角度对素质教育的目标进 行评价.试题的答案不再是唯一的，开放性试题和 结构不良试题登上高考试卷舞台，要求学生具备灵 活运用知识的能力.如 2021 年新高考Ⅱ卷 14 题，开 放性试题为学生提供了更多展示空间、发散思维、综 合解答问题和探究创新的可能.开放性试题是考查 学生核心素养和数学能力的重要方式，也是综合性 和创新性的集中体现.
3 构造函数法的应用评析
函数在高考试卷中占有重要地位，运用一些传 统方法解决问题遇到困难时，可以转变解题思路，通 过构造适当形式的函数模型达到解决问题的目标.
3.1 构造函数比较大小
A.a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b
比较大小问题经常用到幂函数、指数函数、对数 函数等几类常见的基本初等函数，综合应用指数运 算、幂运算、对数运算，通过构造相关函数，利用对应 函数的图象和性质，形象直观地处理相关的比较大 小问题，可以很好地考查函数与方程思想、抽象概 括、推理论证、运算求解能力，以及数学抽象、逻辑推 理、数学运算等核心素养.本题主要考查函数的单调 性、比较大小等知识，破解此类问题的关键 : 一是细审题，如本题，题眼“a = 0.1e0.1.b = 1/9.c = -ln0.9”，能发现它们的共性 ; 二是巧构造，即会构造函数，并判 断其单调性，注意活用导数法或初等函数的单调性进行判断 ; 三是会放缩，即会利用放缩法比较大小.
3.2 构造函数证明不等式
例 2 (2021 年新高考Ⅰ卷 22) 已知函数f(x) = x( 1 -lnx) .
( 1) 讨论f(x) 的单调性 ;
(2) 设 a，b 为两个不相等的正数，且 blna -alnb= a-b，证明 :2<1/a+1/b
用构造函数法证明不等式，如何构造函数以及 构造什么形式的函数是一个难点，并且满足所构造 的函数必须是单调函数.本题作为 2021 年新高考Ⅰ 卷压轴大题，以对数函数为载体，综合考查利用导数 研究函数的单调性及构造函数证明不等式.以函数 作为工具解决不等式问题时，需要深刻地认识各类 初等函数的具体特征，即一般的基本初等函数 y = f(x) 及其反函数的性质( 单调性、奇偶性、周期性、 最值、图象变换等) ，第(2) 问中的不等式证明，对学 生的逻辑思维能力和运算求解能力和创新能力进行 了深层次的考查，需要注意培养学生理性思维和数学探索等素养.
3.3 构造函数求值或参数范围
后得到 a 的取值范围.关于含有参数的方程根的问 题，分离参数，构造新函数，通过研究新函数的单调 性确定参数范围，这是一种常见的解决问题的方法.
3.4 根据题设条件构造具体函数
例 4 (2021 年新高考Ⅱ卷 14 ) 写出一个同时 具有下列性质①②③的函数f ( x ) = .
( 1)f(x1 x2 ) =f(x1 )f(x2 ) ;
(2) 当 x=( 0.+ ∞ ) 时，f ' (x) >0;
(3)f ' (x) 是奇函数.
本题要求学生从已有条件出发，列举出一个满 足条件的函数.看似是一个“举例问题”，但其本质 上仍是一个构造问题，构造出一个函数f(x) 符合题 目中的要求、性质等信息.由于答案开放，所以在逻 辑思维的灵活性方面起到了很好地考查作用，同时 也为不同层次、不同水平的学生提供充分发挥自己 数学能力的空间.
通过以上对构造函数法例题的分析可以看到， 构造法确实是一种解决函数问题的好途径，当使用 常规思维方法无法解决问题时，合理构造函数模型， 利用函数的图象，通过数形结合，以形辅数，直观简 单明了地解决问题，启迪学生数学思维，开拓学生解 题思路，同时也提高了学生分析问题、解决问题的能 力，起到事半功倍、出奇制胜的效果.
4 研究启示
4.1 加强对函数概念本质的理解
学生学习数学概念的过程，就是学生掌握数学本质的过程.张奠宙先生认为数学本质是“数学知 识的内在联系，数学规律的形成过程，数学思想方法 的提炼，数学理性精神的体验.”从概念上看，函数 是一类特殊的映射，其本质是两个非空实数集之间 的对应 关 系，那 么 学生 除 了要 理解“对应”的 思 想，还要准确地认识集合、定义域、值域等，“ 函 数思想”就是以此为基础建立的，通过解 决相关 的问题，学生在原有的认知基础上，提 出质疑，认 真反思，逐步加强对函数概念的理解，学生清 晰 地认识了对应思想后，才能更好地理解函数的本 质特征，在解题过程中把握函数思想，提 高学生 的数学学科核心素养.
4.2 注重构造思想的渗透
构造法的应用很多，针对不同的数学问题可以 采用不同的构造方法，但并不是所有的问题都能够 通过构造适当的数学模型得以有效解决.在平常的 数学教学活动中，教师应注意循序渐进地对学生进 行构造思想的渗透，在潜移默化中增加对学生构造 思想的体验.运用构造法解决问题有助于学生构建 数学知识结构，在建构过程中，通过对已有的数学知 识经验进行整合重组，构造一个新的数学对象，形成 新的数学认知结构.运用构造思想解决问题是一个 综合了抽象思维、形象思维、逻辑思维等多种思维成 分的复杂思维过程，这一过程同时也是培养创造性 思维的过程.
参考文献 :
[1] 苏洪雨，章建跃，郭慧清.数学学科核心素养视 野下的高中函数概念教学“再创造” [J].数学 通报，2020.59(08) : 25-31 + 35 .
[2] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标 准(2017 年版 2020 年修订) [M].北京: 人民教育出版社，2020 .
[3] 陈旗.构造法在高中数学中的应用探究[D].西 安: 西北大学，2016 .
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