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摘 要 :2022 年高考数学北京卷压轴题(即第 21 题，属组合数学范畴)以数列为载体，考查学 生对新情境新知识的理解，让学生在阅读数学符号和认识新概念的基础上，即时学习并创新应用， 体现了获取新知识的能力和创新意识. 文章给出了一种自然解法.
关键词:2022 年高考数学北京卷；压轴题；组合数学；自然解法
题目 (2022 年高考数学北京卷第 21 题)己知
Q :a1，a2，…，ak 为有穷整数数列. 给定正整数 m，若对任意的 n ∈ { 1，2，…，m }，在 Q 中存在 ai，ai ＋1， ai＋2，…，ai＋j (j ≥0)，使得 ai ＋ai ＋1 ＋ai＋2 ＋ … ＋ai＋j ＝n，则称 Q 为 m －连续可表数列.
(1)判断 Q :2，1，4 是否为 5 －连续可表数列? 是否为 6 －连续可表数列? 说明理由；
(2)若 Q :a1，a2，…，ak 为 8 －连续可表数列，求 证 :k 的最小值为 4；
(3)若 Q :a1，a2，…，ak 为 20 －连续可表数列， 且 a1 ＋a2 ＋ …＋ak <20，求证 :k ≥7 .
解析 (1)由题设可得 a1 ＝2，a2 ＝1，a3 ＝4.
因为 1 ＝a2，2 ＝a1，3 ＝a1 ＋a2，4 ＝a3，5 ＝a2 ＋a3；6≠a1，a2，a3，a1 ＋a2，a2 ＋a3，a1 ＋a2 ＋a3，
所以 Q :2，1，4 为 5 －连续可表数列，不为 6 －连续可表数列.
(2)若 k ＝1，则数列 Q :a1 只可能是 1 －连续可 表数列；若 k＝2，且数列 Q :a1，a2 为 m －连续可表数列，则 m≤3(因为由题设中的表述方法，最多只能 表示出 a1，a2，a1 ＋a2 共 3 个两两互异的数)；若 k ＝
3，且数列 Q :a1，a2，a3 为 m －连续可表数列，则 m≤ 3(因为由题设中的表述方法，最多只能表示出 a1， a2，a3，a1 ＋a2，a2 ＋a3，a1 ＋a2 ＋a3 共 6 个两两互异 的数) .
同理，可证得一般的结论 :若有穷整数数列 Q :
a1，a2，…，ak 为 m －连续可表数列，则 m≤k ＋ ( k－1 ) ＋ (k －2 ) ＋ … ＋1 ＝ k(k ＋1 ).
容易验证数列 Q :2，4，1 ，3 为 8 －连续可表数列.
综上所述，可得欲证结论成立.
(3 )若数列 Q :a1 ，a2 ，…，ak (k ≤5 )为 20 － 连续可表数列，则 20 ≤5 ＋4 ＋3 ＋2 ＋ 1 ＝ 15 ，这不可能! 因而满足题设的k ≥6.
若 k ＝6 ，得整数数列 Q :a1 ，a2 ，a3 ，a4 ，a5 ，a6 中 的连续若干项(至少一项，下同) 的和 a1 ，a2 ，a3 ，a4 ，a5 ，a6；a1 ＋a2 ，a2 ＋ a3 ，a3 ＋ a4 ，a4 ＋ a5 ，a5 ＋ a6；a1 ＋ a2 ＋a3 ，a2 ＋a3 ＋a4 ，a3 ＋a4 ＋a5 ，a4 ＋a5 ＋a6；a1 ＋a2 ＋a3 ＋a4 ，a2 ＋a3 ＋a4 ＋a5 ，a3 ＋a4 ＋a5 ＋a6；a1 ＋a2＋a3 ＋a4 ＋a5 ，a2 ＋a3 ＋a4 ＋a5 ＋a6；a1 ＋a2 ＋a3 ＋a4＋a5 ＋a6 最多能表示(下简称数列 Q 的连续项和表 示)出 21 个两两互异的正整数，且题设是能表示出 1 ，2 ，3 ，…，20 这 20 个正整数.
①若数列 Q 的六项均是自然数，由题设 a1 ＋a2 ＋a3 ＋a4 ＋a5 ＋a6 < 20 ，可得数列 Q 的连续项和均 小于 20(没有表示出 20)，与题设矛盾! 所以数列 Q 中有负项且负项的项数是 1(若存在两个负项，则数
列 Q 的连续项和表示中会少两个正整数，至多能表 示 21 －2 ＝19 个正整数，不满足题设).
若数列 Q 的项中还有 0 ，则数列 Q 的连续项和 表示中会少两个正整数(负项与 0 )，不满足题设，因 而数列 Q 的项是一项负五项正(且这五个正项两两 互异).
还可得 :数列 Q 的连续项和表示中除负项这个 和外组成的集合是{1 ，2 ，3 ，…，20 }. 因为其中最大的是 20 ，所以 20 的连续项和表示是最多的连续若 干个正项之和(即对数列 Q 的连续正项全部求和).
②因为“若数列 Q :a1 ，a2 ，a3 ，a4 ，a5 ，a6 满足题 设，则数列 Q′ :a6 ，a5 ，a4 ，a3 ，a2 ，a1 也满足题设”，所 以可只考虑数列 Q :a1 ，a2 ，a3 ，a4 ，a5 ，a6 (a1 < 0 或 a2<0 或 a3 <0)的情形.
若 a2 <0 且数列 Q 的其余五项都是正项，则 a1 ＝20 或 a3 ＋a4 ＋a5 ＋a6 ＝20. 若 a1 ＝20 ，则由 20 > a1 ＋a2 ＋a3 ＋a4 ＋a5 ＋a6 ，可得 a2 ＋a3 ＋a4 ＋a5 ＋a6 <0 ，得数列 Q 的连续项和表示中的 a2 ，a2 ＋a3 ＋a4 ＋a5 ＋a6 均不是正整数；若 a3 ＋a4 ＋a5 ＋a6 ＝20 ，则 由 20 > a1 ＋a2 ＋a3 ＋a4 ＋ a5 ＋ a6 ，可得 a1 ＋ a2 < 0 ，
得数列 Q 的连续项和表示中的 a2 ，a1 ＋a2 均不是正 整数. 均不满足题设.
同理，可证得 a3 <0 也不满足题设. 因而 a1 <0 ， 且 a2 ＋a3 ＋a4 ＋a5 ＋a6 ＝20.
③若两两互异的五个正整数 a2 ，a3 ，a4 ，a5 ，a6 中 没有 1 ，则 20 ＝a2 ＋a3 ＋a4 ＋a5 ＋a6 ≥2 ＋3 ＋4 ＋5 ＋ 6 ＝20.
因而{a2 ，a3 ，a4 ，a5 ，a6 } ＝ {2 ，3 ，4 ，5 ，6 }.
再由数列 Q 的连续项和表示中最小的正数是1 ，可得 a1 ＋a2 ＝1 .
若∃i ∈ {3 ，4 ，5 ，6 }，a1 ＋ai ＝0 ，则a1 ＋a2 ＋ … ＋ai ＝a2 ＋a3 ＋ … ＋ai － 1 .
得数列 Q 的连续项和表示中会少表示一个正整 数，不满足题设，因而∀j ∈ {2，3 ，4，5 ，6 }，a1 ＋aj ≠0.
而 aj ∈ {2 ，3 ，4 ，5 ，6 }，
所以 a1 ∉ { －2 ，－3 ，－4 ，－5 ，－6 }. 再由 a1 ＝1 －a2 ，a2 ∈ {2 ，3 ，4 ，5 ，6 }，可得
a1 ＝ －1 ，a2 ＝2 ，{ a3 ，a4 ，a5 ，a6 } ＝ {3 ，4 ，5 ，6 }，a2
＋a3 ＋a4 ＋a5 ＋a6 ＝20 ，a1 ＋a2 ＋a3 ＋a4 ＋a5 ＋a6 ＝19 ，a3 ＋a4 ＋a5 ＋a6 ＝18 .
再得数列 Q 的连续项和表示中 17 的表示只可 能是 a2 ＋a3 ＋a4 ＋a5 ＝ 17 ，进而可得 a1 ＝ － 1 ，a2 ＝ 2 ，{ a3 ，a4 ，a5 } ＝ {4 ，5 ，6 }，a6 ＝3 .
又由数列 Q 的连续项和表示中有 14 ，可得 a3 ＝ 4 ，{ a4 ，a5 } ＝ {5 ，6 }，得数列 Q 是 － 1 ，2 ，4 ，5 ，6 ，3 (但a2 ＋a3 ＝a5 )或 － 1 ，2 ，4 ，6 ，5 ，3(但 a2 ＋a3 ＝a4 )，均 不可能，因而 a2 ，a3 ，a4 ，a5 ，a6 中有 1 .
④由数列 Q 的连续项和表示中有 19 及 a1 ＋a2 ＋a3 ＋a4 ＋a5 ＋a6 < 20 ，可得 a2 ＝ 1 或 a6 ＝ 1(得 a2＋a3 ＋a4 ＋ a5 ＝ 19)或 a1 ＋ a2 ＋ a3 ＋ a4 ＋ a5 ＋ a6 ＝ 19(a1 ＝ －1).
若 a2 ＝1 ，则 a1 ＋a2 ＝a1 ＋ 1≤0 ，得数列 Q 的连 续项和表示中会少表示一个正整数；若 a1 ＝ － 1 ，可 得 a2 ≠1(否则 a1 ＋a2 ＝0 ，数列 Q 的连续项和表示 中会少表示一个正整数)，所以 ∃i ∈ {3 ，4 ，5 ，6 }，a1＋ai ＝0 ，得 a1 ＋a2 ＋ … ＋ai ＝a2 ＋a3 ＋ … ＋ai －1 ，数 列 Q 的连续项和表示中会少表示一个正整数. 均不 满足题设.
所以 a2 ＋a3 ＋a4 ＋a5 ＝19 ，a1 ≤ －2 ，a6 ＝1 .
⑤由数列 Q 的连续项和表示中有 18 及和为 19 的两两互异的四个数 a2 ，a3 ，a4 ，a5 均大于 1 及 a1 ＋ a2 ＋a3 ＋a4 ＋a5 ≤17 ，可得 a1 ＋a2 ＋a3 ＋a4 ＋a5 ＋a6＝18(得 a1 ＝ －2)或 a3 ＋a4 ＋a5 ＋a6 ＝ 18(得 a3 ＋ a4 ＋a5 ＝ 17 ，a2 ＝2 ，a1 ＋ a2 ≤0 ，数列 Q 的连续项和 表示中会少表示一个正整数).
所以 a1 ＝ －2 ，a2 ＋a3 ＋a4 ＋a5 ＝19 ，a6 ＝1 .
⑥由数列 Q 的连续项和表示中有 16 及和为 19 的两两互异的四个数 a2 ，a3 ，a4 ，a5 均大于 1(且 a2 ≥ 4 :因为 0 < a1 ＋a2 ＝a2 －2≠a6 ＝1)及 a1 ＋a2 ＋a3 ＋ a4 ＋a5 ＝ 17 ，可得 a2 ＋a3 ＋a4 ＝ 16(得 a5 ＝3)或 a3＋a4 ＋a5 ＋a6 ＝16(得 a3 ＋a4 ＋a5 ＝ 15 ，a2 ＝4)或 a4＋a5 ＋a6 ＝16(得 a2 ＋a3 ＝4 ，与 a2 ≥4 矛盾)或 a5 ＋ a6 ＝16(得 a2 ＋a3 ＋a4 ＝4 ，与 a2 ≥4 矛盾).
(ⅰ) a1 ＝ －2，a2 ≥4，a2 ＋a3 ＋a4 ＝16，a5 ＝3 ，a6 ＝1 . 由数列 Q 的 连 续 项 和 表 示 中 有 15 ( 可 证 得15 的表示中没有 a 1 也没有 a2 ) ，可得 a3 ＋ a4 ＋ a5＝ 15(得 a3 ＋ a4 ＝ 12 ，a2 ＝4 ＝ 3 ＋ 1 ＝ a5 ＋ a6 ，这不可能)或 a3 ＋ a4 ＋ a5 ＋ a6 ＝ 15( 得 a3 ＋ a4 ＝ 1 1 ， a2 ＝5 ，a 1 ＋ a2 ＝3 ＝ a5 ，这不可能) 或 a4 ＋ a5 ＝ 15 (得 a4 ＝ 12 ，a2 ＋ a3 ＝4 ，与 a2 ≥4 矛盾) 或 a4 ＋ a5＋ a6 ＝ 15( 得 a4 ＝ 1 1 ，a2 ＋ a3 ＝ 5 ，再得 a2 ＝4 ，a3 ＝ 1 ＝ a6 ，这不可能).
( ⅱ )a1 ＝ －2 ，a2 ＝4 ，a3 ＋a4 ＋a5 ＝15 ，a6 ＝1 .
由数列 Q 的连续项和表示中有 14 ，可得 a1 ＋a2 ＋a3 ＝ 14(得 a3 ＝ 12 ，a4 ＋a5 ＝3 ，{ a4 ，a5 } ＝ { 1 ，2 }， 得 a6 与 a4 或 a5 重复，这不可能)或 a1 ＋a2 ＋a3 ＋a4 ＝14(得 a3 ＋a4 ＝12 ，a5 ＝3 ，a2 ＝4 ＝3 ＋ 1 ＝a5 ＋a6 ，这不可能) 或 a2 ＋ a3 ＝ 14(得 a3 ＝ 10 ，a4 ＋ a5 ＝5 ，{ a4 ，a5 } ＝ {2 ，3 }，进而可得数列 Q 是 －2 ，4 ，10 ，2 ， 3 ，1(此时 a1 ＋ a2 ＝2 ＝ a4 ，这不可能)或 －2 ，4 ，10 ， 3 ，2 ，1(此时 a1 ＋ a2 ＝2 ＝ a5 ，这不可能))或 a2 ＋ a3 ＋a4 ＝14(得 a3 ＋a4 ＝10 ，a5 ＝5 ，再由数列 Q 的连续 项和表示中有 13 ，可得数列 Q 是 －2 ，4 ，3 ，7 ，5 ，1(但 a2 ＋a3 ＝7 ＝a4 ，这不可能)或 －2 ，4 ，2 ，8 ，5 ，1(但 a1 ＋a2 ＝2 ＝a3 ，这不可能))或 a4 ＋a5 ＋a6 ＝ 14(得 a4 ＋a5 ＝13 ，a3 ＝2 ＝a1 ＋a2 ，这不可能).
综上所述，可得欲证结论成立.
评注 这 道 压 轴 题 的 解 法 就 是 先 找 到 切 入 点“数列 Q :a 1 ，a2 ，a3 ，a4 ，a5 ，a6 的项满足 一 负五 正且负项在首或尾( 可不妨设负项在首)”，进而 可得数列 Q 的 所 有 正 项 之 和 是 20 ，其 连 续 项 和 表示中除 负 项 这 个 和 外 组 成 的 集 合 是 { 1 ，2 ，3 ， … ，20 }. 接下来 ，消化这 一 条件就可证得欲证的 结论成立.
参考文献 :
[1 ] 中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标 准(2020 年修订版) [M ]. 北京 :人民教育出版社，2020 .
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