浅谈高三数学试卷中题目的命制 — 一道导数压轴题的“诞生记”论文

 

SCI论文（www.lunwensci.com）：

　　摘要:本文基于浙江省高考数学考纲中对导数部分的要求,以导数的几何意义、单调性以及极值点为出题方向,再结合参变量的讨论进行命题.

　　关键词:导数;参数;不等关系

　　作为一名教师,我们不仅要注重课堂教学,命制试卷也是我们的必修课.一份数学试卷的题目从难度上大致分成简单题、中档题、难题三个档次.简单题主要考查基本知识、基本技能等,目标在于考查学生对数学基础知识的掌握程度,命制的时候可以从概念、技能本身出发;中档题主要是对重难点知识的考查,主要从思想方法、计算技巧、知识整合能力等方面进行命制;难题主要考查学生的综合能力,譬如分析能力、逻辑推理能力、知识迁移能力、计算能力等,在整张试卷中起到区分度的作用.试题的命制有两类:改编和原创,现笔者通过介绍自己原创的一道导数压轴题(第22题)的过程,浅谈如何命制一道题目.具体过程分为以下五个步骤.

　　1　立意—考什么?

　　P·R·哈尔莫斯曾说过:“问题是数学的心脏.”所以在试卷命制过程中,考什么很重要.根据高三备考和选题要求,要紧抓教材内容和考纲.在人教版导数章节前言中这样写道:导数定量地刻画了函数的局部变化,是研究函数增减、变化快慢、最值等问题的基本方法.浙江省高考数学考纲中对导数部分的要求是:了解导数的概念和背景,理解导数的几何意义;会计算基本初等函数及简单的复合函数的导数;函数的单调性与导数的关系;函数的极值与最值等.基于以上内容决定本次命题以导数的几何意义、单调性以及极值点为出题方向,再结合参变量的讨论.

　　2　选择模型—函数f(x)的形式

　　关于函数f(x)的形式,可以参照:课本典型例题、高考真题、热点问题等.笔者参照浙江省近几年的高考真题第22题函数模型进行命制,具体函数模型如下:f(x) =x-lnx(2018年);f(x) =alnx+,x>0(2019年);f(x) =ex-x-a(2020年);f(x) =ax-bx+e2(x∈R)(2021年).
 

　　不难发现这几年的函数模型是指数函数ex或对数函数lnx与一次函数或者根式函数所组成,所以笔者想有所改变,以指数函数ex和对数函数lnx为依托构造函数f(x).

　　首先构建以下函数模型:f(x) =ex-alnx、f(x) =ex+alnx,f(x) =aexlnx,这里可以用几何画板先把函数图象画出来,然后通过参数a的变化研究函数图象的性质,但是这几个函数图象均未达到笔者所希望的要求(几何画板演示部分省略),所以重新构造函数:f( x) =aex-xlnx( a>0) ,函数图象如图1,图2:
 

图1


图2
 

　　参数a在变化的时候,函数f(x)的图象可在定义域内单调递增,也可在定义域内有两个极值点,这就为我们研究函数性质提供多种可能,所以就选定此函数为本题的函数模型.

　　3　问题设置

　　根据初始所定的考点设置问题,首先确定本题有三问,难度层层递进:第一小问设定为求切线方程(考查学生求导能力及导数的几何意义,属于简单题);第二小问设定根据函数的单调性求参数a的范围(考查函数的导数与单调性的关系,以及关于含参恒成立问题,属于中档题);第三小问设定讨论参数a与函数f(x)的极值点或者零点之间的关系(考查学生数学推理的综合能力,属于难题).这样设定难易梯度既考虑到压轴题要让大部分学生能做的同时又可以体现区分度.

　　第一小问和第二小问在下一步骤再展示给大家,这里主要展示第三问成型的过程:

　　由图1可知存在参数a使得函数f(x)有两个极值点:xM和xN.

　　依据几何画板作图,参数a取值变化影响两个极值点的大小,但是我们可以得到如下不等式:

　　若函数f(x)在定义域内有两个极值点x1,x2( x1<x2) ,可选择证明的不等式:

　　1<x1x2<,1<x1x2<ln,x1>ax2,…
　

　　当参数a小于某个值时,函数f(x)有两个零点,具体如图1:xD和xE.

　　根据参数a以及两个极值点和两个零点的大小我们可以得到如下不等式:

　　若函数f(x)在定义域内有两个极值点x1和x2( x1<x2) ,两个零点x3和x4( x3<x4) ,可选择证明的不等式:x1+x4<x2+x3,x3x4<,…

　　利用参数a的变化以及相应零点和极值点的大小可以构造出很多不等式,但是构造的不等式证明的可行性需要研究,并不是所有构造出来的不等式都可以顺利证明.同时也因为笔者能力有限,构造出来的不等式,凭借数学直觉是对的,但是无法给出具体证明.通过对上面不等式证明的可行性探究,最后形成下面考题.

　　4　题目成型

　　题目已知函数f(x) =aex-xlnx( a>0).

　　(1)若a=1,求函数f(x)在x=1处的切线方程;

　　(2)若函数f(x)在定义域内单调,求实数a的取值范围;

　　(3)若函数f(x)在定义域内有两个极值点x1,

　　x2( x1<x2) ,证明:x1x2<

　　解析(1)f′( x) =ex-lnx-1,f′( 1) =e-1,

　　f(1) =e,所以函数f(x)在x=1处的切线方程是:y=( e-1)x+1.

　　(2)由题知f′( x) =aex-lnx-1,因为a>0,所以当x→+∞时,f′( x) →+∞,所以函数f(x)在定义域内单调递增,即f′( x)≥0恒成立.

　　所以a≥恒成立.

　　令g( x) =,
 

　　则g′( x) =

　　因为y=-lnx-1在( 0,+∞)单调递减,g′( 1) =0,所以g( x) 在( 0,1) 上单调递增,在( 1,+∞)上单调递减.所以a≥g( 1) =1
 

　　即实数a的取值范围是[  ,+∞.
 

　　(3)由(2)可知函数f(x)在定义域内不单调,所以实数a的取值范围是（0, .）
 

　　所以a=的两根即为函数f(x)在定义域内有两个极值点x1,x2( x1<x2).
 

　　

　　

　　令h(x) =t--lnt( t>1) ,
 

　　则h′( x) =+-=>0.

　　所以h(x)在(1,+∞)上单调递增.

　　所以>( x2>x1)成立.

　　故>=e>>.
 

　　故·=>x1x2.
 

　　即x1x2<

　　5　过程反思

　　命制题目有以下四个步骤:立意→确定模型→问题设置→题目成型.在命制过程中可利用一些软件,譬如几何画板或者GeoGebra软件作图,尤其是函数问题,画出图象会更直观地感知函数的性质,方便设置题目.当然在命制题目时可以选择改编,这样就可以省掉一些步骤.关于本题也有些许遗憾,第三问不等式的设置起点高,让一些优秀的学生无从下手,这样导致全对的同学偏少,同时学生刚刚完成一轮复习,大部分学生对函数的理解还不深刻,对数学基本方法和技巧应用的不熟练,如果这道题目放到二轮复习阶段进行测试,结果会好一些.

　　作为一线数学教师,我们不仅要会做题、会教书,同时也要根据学生的特点去命题.平时教学中我们常常教导学生要揣测命题人的意图,那么我们教师也可以转换角色作为命题人,在讲解问题时可以全面地教导学生思考每一个问题的意图.诚如著名数学家Jacobi把数学比喻成画家或者诗人的创作一样—是思想的综合.教师所精心命制的每一道数学题,也是我们的杰作,是我们教师对学生的认知和教学内容的有机结合.

　　参考文献:

　　[1]课程教材研究所,中学数学课程教材研究开发中心.高中数学选修2-3[M].北京:人民教育出版社,2019.

　　[2]同济大学数学系.高等数学(第七版)[M].北京:高等教育出版社,2018.