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摘要:从构造函数与减元的角度给出2022年高考甲卷导数压轴题的多种解法，并给出该考题的变式以及考题溯源.
关键词:2022年数学高考；导数题；一题多解；考题溯源
1试题呈现
试题(2022年高考全国甲卷21题)已知函数
(1)若f(x)≥0，求a的取值范围；
(2)若f(x)有两个零点x1，x2，求证:x1 x2<1.
2试题分析
这道题综合考查利用导数研究函数的最值，再利用单调性与极值求给定条件下参数的取值范围，在此基础上研究两个零点之间的关系，是典型的极值点偏移问题.试题起点较低，绝大多数学生都可以拿分，但落点很高，第二问难度大，需要考生熟练掌握函数的有关性质，以及研究有关性质的基本方法和工具，并达到灵活运用的程度.对数学思想方法的考查也占很大成份，特别是对分类计论思想和转化思想的要求很高，只会死记硬背、按套路做题不会变通的考生是做不下去的.
极值点偏移问题的解题大方向主要有两个:构造对称函数和减少变量转化为一元函数问题.
3解法探究
所以f(x)在(0，1)内单调递减，在(1，＋∞)内单调递增，则f(x)min＝f(1)＝e＋1－a.因为f(x)≥0⇔f(x)min≥0，所以e＋1－a≥0，
得a≤e＋1.
故a的取值范围为(－∞，e＋1].
(2)由(1)知f(x)有两个零点的条件是a>e＋1，且在(0，1)和(1，＋∞)内各有一个零点，不妨设０ < ｘ１ < １ < ｘ２ .
下面证明:当 ｘ > １ 时，ｅｘ > ｅｘ.
设 ｓ( ｘ ) ＝ ｅｘ － ｅｘ， ｘ > １，则 ｓ′( ｘ ) ＝ ｅｘ － ｅ > ０.
所以 ｓ( ｘ )在(１， ＋ ∞ )内单调递增. 故 ｓ( ｘ ) > ｓ(１ ) ＝ ０，ｅｘ > ｅｘ 得证.
于是 ｘｅ １ｘ ＋ １ － ｅｘ － ｘ < ｅｘ ＋ １ － ｅｘ － ｘ ＝ １ － ｘ < ０.
所以 ｇ′( ｘ ) < ０. 则 ｇ ( ｘ )在(１， ＋ ∞ )内单调递减.
以下同解法 １.
方法 ３ (利用同构化简，再构造函数)
点评极值点偏移问题主要有两种基本类型，即x1 x2大于(或小于)常数a，以及x1＋x2大于(或
小于)常数a.构造函数
是解这类题的一种常用方法，这种解法的目的是得到不等式
再利用f(x)的单调性，得到与x1的大小关系.上面五种解法代表了解极值点偏移问题的两种常见方法:前三种方法是构造对称函数，后两种方法是利用消元、换元或对数平均不等式转化为一元函数问题.只有理解这两种方向解法的思维过程和基本方法，才能应对可能出现的各种变化，真正做到随机应变.当然，在实际运用中还需要根据具体情况灵活处理，有时甚至还要对解题方法作一定的变通，活学活用才是最重要的.
4变式
问题等价于证明:
5考题溯源
溯源1(2021年新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)＝x(1－lnx).
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)设a，b为两个不相等的正数，且blna－alnb
＝a－b，证明:
分析(1)f(x)的单调增区间为(0，1)，单调减区间为(1，＋∞).
(2)由(1)知f(x)在(0，1]上单调递增且limf(x)＝0，在(1，＋∞)上单调递减且f(e)＝0，x→0＋f(x)≤f(1)＝1.
则问题等价于证明:２ < ｘ１ ＋ ｘ２ < ｅ
通过构造函数ｇ(ｘ) ＝ ｆ(２ － ｘ) － ｆ( ｘ) (０ < ｘ <１)，再结合g(x)的单调递减即可证明，类似可证x1＋x2<e.
本题属于典型的极值点偏移问题，构造函数即可证明.
溯源2(2018年全国Ⅰ卷)已知
＋alnx.
(1)讨论f(x)的单调性；
参考文献:
[1]邓启龙.函数极值点偏移和拐点偏移问题的探究[J].数理化解题研究，2022(13):37－39.
[2]黄小妹.如何破解极值点偏移问题[J].数理化解题研究，2021(04):7－8.
[3]李鸿昌.一道新高考导数压轴题的解法探究[J].高中数学教与学，2021(15):22－23.
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