数学分析观点下高中导数题的若干解题策略论文

 

SCI论文（www.lunwensci.com）：

　　摘  要 :导数题在高考数学中经常作为压轴题出现 ,具有一定的难度. 本文例举运用数学分析思想解高中导数题的方法.

　　关键词 :高观点;导数;高中数学 ;解题策略

　　高观点下的导数题一直以来都是高考的热点 , 往往在高考数学中都是以压轴题的形式出现 ,具有 一定的难度. 导数在高中数学中是重要知识模块 ,它 作为连接初等数学与高等数学的桥梁 ,有着丰富的 数学思想. 若导数题仅用初等数学方法来解 ,往往需 要很多技巧 ,但从数学分析观点来看导数题 ,这些问 题往往迎刃而解. 本文以不同地区数学考试导数题 为例 ,从 Rolle 定理、Lagrange 中值定理等数学分析 视角出发 ,对导数题进行探究、分析. 同时 ,对在教学 过程中渗透高观点的思想方法提出建设性建议 ,进 而提高学生的基本数学素养.

　　1 试题解法研究

　　1. 1 Rolle 中值定理的应用

　　例 1   已知函数 f(x ) = ln ( x + 1 ) + ax2 ,若函数 f(x )在定义域上有 3 个零点 ,求整数 a 的最小值.

　　解析  对f(x )中的 x 求导 ,得

　　f ′ ( x ) =  .

　　若f(x )在定义域上有 3 个零点 ,则 f(x )至少存 在三个单调区间. 故 f ′ ( x ) = 0 至少存在两个大于- 1 的不等实数根. 令 g ( x ) = 2ax2  + 2ax + 1 ,则

　　解得 a > 2.

　　当 a = 3 时 ,f(x ) = ln ( x + 1 ) + 3x2 ,

　　则f ′ ( x ) = .
 

　　若 - 1 < x < -  ,则f ′ ( x ) > 0 ,f(x )单调递 增 ;若 -  < x <  , 则 f ′ ( x ) < 0 ,f(x )单 调递减 ;若 x >  ,则 f ′ ( x ) > 0 ,f(x )单调递增 ,且f（- 1）  < 0 ,f（- 1 ） > 0 ,f(0 ) = 0.
 

　　∃x1  ∈（  - 1 , - 1  ）,使得 f(x1 ) = 0 ; ∃x2  ∈（  - 1 ）,0  ,使得f(x2 ) = 0 ; ∃x3  = 0 ,使得f(x3 ) = 0

　　综上所述 ,整数 a 的最小值为 3.

　　分析  本题没有很直接地用到 Rolle 中值定 理 ,但是却有着 Rolle 中值定理的思想在里面 ,列出 本题只是为了向读者传达和展示高中试题背后的高 观点思想 ,而非使用高观点解题.

　　1. 2 Lagrange 中值定理的应用

　　例 2   已知函数 f(x ) = x2  - ax + ( a - 1 )lnx ,其中 a > 1. 若对任意 x1 ,x2  ∈ ( 0 , + ∞ ) ,x1   ≠x2 ,有＞－１，求实数ａ的取值范围．

　　解析  要证> - 1 , 由 Lagrange 中值定 理 得 , ∀x1 , x2  ∈ ( 0 , + ∞ ) , 且 x1   ≠x2 , ∃ξ ∈( 0 , + ∞ ) ,使得 =f ′ ( ξ ) , 因此 ,只需证明f ′ ( x ) ≥ - 1. 易知 ,f(x )的定义域为(0 , + ∞ ). 对f(x )中的 x 求导 ,得f ′ ( x ) = x - a +  .
 

　　f ′ ( x ) ≥ - 1 恒成立 , 即 x - ( a - 1 ) +  = ≥0 在(0 , + ∞ )上恒成立.
 

　　令 g ( x )  = x2    -  ( a - 1 ) x +  ( a - 1 ) ≥ 0  在 ( 0 , + ∞ )上恒成立.

　　因为 g ( 0 ) = a - 1 > 0 ,  > 0 ,所以只要使 Δ = ( a - 1 )2  - 4 ( a - 1 ) ≤0 ,所以 a ∈ ( 1 ,5 ]
 

　　分析  本题设计背景来源于微积分中的 La- grange 中值定理 ,例 2 由 2009 年辽宁高考数学理科 卷的 21 题改编而来 ,参考答案通过构造辅助函数 F ( x ) =f(x ) + x ,再研究构造函数的单调性 ,辅以分 类讨论的思想来解决 ,但这样做直观性不足 ,并且会 带来大量的计算 ;遇到问题中有 f(x1 ) -f(x2 )和 x1 - x2  或是f(x )和 ax + C( C 为常数) 的不等式 ,很多 情况下都可以用 Lagrange 中值定理来解决 ;这里提供的高观点解法 ,还原了本题的命题意图与思路 ,在 一定程度上体现了大学数学与高中数学的联系.
 

　　1. 3 L′Hospital 法则的应用

　　例 3   已知函数 f(x ) = 2sinx - xcosx - x ,f ′ ( x ) 为f(x ) 的导数. 若 x ∈ [ 0 ,π ]时 ,f(x ) ≥ax ,求 a 的取 值范围.

　　解析  当 x = 0 时 ,a∈R;当 x ∈ ( 0 ,π ]时 ,对不 等式进行参变量分离 ,得 a≤ - cosx - 1.
 

　　令 g ( x ) = - cosx - 1
 

　　则 g′ ( x ) =

　　令 h (x ) = 2xcosx + ( x2  - 2 )sinx ,

　　则 h ′ ( x ) = x2 cosx.

　　当 x ∈（ 0，） ,时 ,h ′ ( x ) > 0 , 当 x ∈（  ,π）时 , h ′ ( x ) <0 ,则 h(x )在（ 0，） ,上单调递增 ,在（  ,π）上 单调递减. 又 h (0 ) = 0 ,h （）> 0 ,h ( π ) = - 2π < 0 ,故h (x )在(0 ,π )存在唯一零点 ξ.
 

　　所以当 x ∈ ( 0 ,ξ )时 ,h ′ ( x ) > 0 ,h (x ) > 0;当 x ∈ ( ξ ,π )时 ,h ′ ( x ) < 0 ,h (x ) < 0.

　　故 g ( x )在(0 ,ξ )单调递增 ,在( ξ ,π )单调递减.

　　由 L′Hospital 法则知 ,limg ( x ) = - 2 =lim2cosx - 2 = 0 ,且 h ( π ) = 0 ,所以 h (x ) ≥0.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　x→0

　　故 a ∈ ( - ∞ ,0 ]

　　分析  解决这类含参不等式时 ,将参变量分离 是首选方法 ,但求分离出来的函数式最值很困难 ,利用L′Hospital 法则求解函数最值时 ,可以有效地避 免讨论 ,使解答过程更加简洁.
　
　　1. 4 Taylor 公式

　　例 4   设f(x ) = aex lnx +  , 曲线 y =f(x )在点(1 ,f(1 ) )处的切线方程为 y = ( e - 1 )x + 2.
 

　　求证 :f(x ) > 1.

　　证明  由已知 ,得 a = 1 ,b = 2.

　　所以f(x ) = ex lnx +  .
 

　　现在要证∀x > 0 ,有 ex lnx +  > 1 恒成立.
 

　　将 ex 在 x0  = 0 处进行 Taylor 展开 ,得 ex  = 1 +  + + … + + ο ( xn ) ,取前两项 ,得 ex  > 1 + x. 将式ex ≥1 + x 中的 x 换为 x - 1 ,得 ex - 1 ≥x. 即 ex ≥ex. 将式 ex  > ex 中 x 换为 - lnx ,得 lnx≥ - . 所以 ex lnx += ex（ lnx + ）> ex （ + ） = 1.
 

　　故f(x ) > 1.

　　分析  Taylor 公式的本质是将非多项式函数转 换成中学生较易处理的多项式函数 ,同时 ,恰当地运 用 Taylor 公式 ,能有效地避免导数中多次求导的方 法. 虽然高中教材上并未提到 Taylor 公式 ,但可以通 过“切线放缩”的思想将 Taylor 公式传授给学生 , 比 如说在人教版高中数学选修教材上有一组练习题 : 利用导数的单调性证明不等式 :lnx < x < ex ( x > 0).

　　只需稍加变式 ,例如 lnx < x - 1 ,ln ( x + 1 ) < x ,lnx > 1 - ,ex  > 1 + x ,等等 ,这些都有 Taylor 公式的影子 ,都可以指导学生进行研究.
 

　　1. 5 Lagrange 乘数法的应用

　　例 5   已知 a ,b ,c∈R +  ,a + b + c =1 ,求 +   + 的最小值.
 

　　解析  令 z =f( a ,b ,c ) =  +    +  ,
 

　　φ ( a ,b ,c ) = a + b + c - 1 = 0 ,

　　则 F ( a ,b ,c ,λ) = +   +  + λ( a + b + c - 1 ).

 

　　　　　　　　　 + λ = 0

　　则得到方程组 í-  + λ = 0 ,

　　　　　　　　　+ λ = 0

　　　　　　　　　îa + b + c - 1 = 0.


　　解得 a =  ,b =  ,c =  .
 

　　所以zmin  =f（, ,）= 36.
 

　　分析  Lagrange 乘数法是在 φ ( x ,y ) = 0 限制条 件下 ,求解函数 z =f(x ,y )的极值. 这一理论是求解 多元函数最值问题的快速方法 , 比较适用于客观题.

　　2 数学分析观点下高中导数试题教学建议

　　在实际教学中 ,要考虑到学生的学业基础水平 与认知水平 ,充分贯彻量力性原则. 可以在学生已有 的导数基础上进行拔高 ,让学生知道导数不仅仅只 有求导求极值 ,还有一些更高等的知识 , 比如微分中 值定理. 引入数学分析知识时 ,要关注学生个体之间 的差异性 ,努力做到让优等生在考试中利用“ 高观 点”知识得到学科优势 ; 对于中等生 , 教师可以将 “高观点”试题进行总结归纳 ,不需要讲解数学分析 理论的本质 ,以免过于抽象导致学生理解困难 ,应尽 量使学生做到在实际解题中积累相关经验 ,从而达 到利用“高观点”知识解题的目的 ;对于后进生则还 是重视高中数学基础知识的教学. 因此 ,这里笔者还 是认为面向学校较高层次的班级进行适当的“高观 点”知识的教学较为合适.

　　波利亚曾说“掌握数学就意味着善于解题” . 对 于中学教师而言也就是“教好数学就意味着善于研 究题目” . 因此 ,中学数学教师也要定期地学习数学 分析的有关知识 ,多关注近年来高考题、模拟题中的 数学分析背景 ,不断提高教师自身的数学素养. 只有 数学教师对题中的出题背景有了清楚的认识 ,才能 去教导学生解题 ,同时提高学生的思维水平.

　　参考文献 :

　　[1] 华东师范大学数学系. 数学分析上册( 第 4 版 ) [ M ] . 北京 :高等教育出版社 ,2010.

　　[2] 钱勇. 具有高等数学背景的高考数学试题探微 [J ] . 中学数学教学 ,2012(06) :47 - 49.