讨论函数 f(x) =(asinx+btanx)/x (0 < x < π/2 )的单调性论文

 

SCI论文（www.lunwensci.com）：

　　摘  要 :文章给出了关于函数f(x ) = 0 < x < (a ,b 是常数)单调性的完整结论.
　
　　关键词 :单调性;导数;分类讨论;循环论证;函数不等式

　　定 理    设 函 数  f ( x )   =（ 0 < x < ）( a ,b 是常数) .
 

　　(1) 当 a = b = 0 时 ,f(x ) = 0 （0 < x <）是常数函数 ;
 

　　(2) 当 a≤0≤b ( a≠b ) 时 ,f(x ) 单调递增 ;

　　(3) 当 b≤0≤a( b ≠a) 时 ,f(x ) 单调递减 ;

　　(4) 当 a > 0 ,b > 0 时 :当 0 < a≤2b 时 ,f(x ) 单调递增 ;当 0 < 2b < a 时 ,f(x ) 在(0 ,x0 ) , 上分别单调 递 减、单 调 递 增 , 其 中 x0   是 函 数 g ( x ) =axcosx - asinx +  - btanx （0 < x < ）的唯 一 零点( 可证函数g(x ) 有唯一零点) ;

　　(5) 当 a < 0 ,b < 0 时 :当 2b ≤a < 0 时 ,f(x ) 单调递减 ;当 a < 2b < 0 时 ,f(x ) 在(0 ,x0 ) , 上分别是单调递增、单调递减 , 其中 x0   是函数 g ( x ) =axcosx - asinx +  - btanx（ 0 < x <）的唯 一 零点( 可证函数g(x ) 有唯一零点) .
 

　　引理 1   sinx < x < tanx（ 0 < x <）

　　证明  如图 1 所示 ,AB是以点 O 为圆心半径为1 的圆弧. 过点 A 作AB的切线与射线 OB 交于点 N , 作 BM⊥OA 于点 M.
 

图　1

　　设 ∠MOB = x ( rad) （ 0 < x <）  ,可得2S△AOB  < 2S扇形AOB  < 2S△AON .所以 sinx < x < tanx.

　　注  在图 1 中 ,可得 sinx = BM < BA < AB = x. 用导数易证 x < tanx （ 0 < x <）.

　　若用导数证 sinx < x ,则涉嫌犯循环论证的错误 :因为证明(sinx ) ′ = cosx 要用到 lim = 1 ,而证明 lim= 1 要用到两边夹法则( 先由引理 1 得cosx < < 1)(容易把用两边夹法则的解题过程改成 用极限定义求极限) ,而在该过程中又需证 sinx < x.
 

　　引理 2   y =  ,y =在 （0 ,）上分别单调递减、单调递增.
 

　　证明  当 0 < x <时 , 由引理 1 可得 

　　（） ′ = =(x - tanx) < 0 ,
 

　　

　　所以欲证结论成立.

　　定理的证明  ( 1 ) 成立. (2 ) (3 ) 由引理 2 可得.

　　(4) 可得 x2f ′ ( x ) = axcosx - asinx +  -btanx （ 0 < x <）．
 

　　设 g ( x )  = axcosx  - asinx  +  -  btanx（ 0 < x <）可得

　　g′(x ) = 2bxsinx（  -（0 < x < .）
 

　　①当≤1 即 0 < a≤2b 时 ,故 g′(x ) ≥0 ,g (x ) 单调递增 , 所以 g ( x ) > g ( 0 ) = 0 , 即 f ′ ( x ) > 0 （ 0 < x < ） ,所以f(x ) 单调递增.

 

　　②当 > 1 即 0 < 2b < a 时 ,存在锐角 θ 满足-  = 0. 再由 h(x ) = -  （0 < x < ）单 调递增 ,可得 g (x ) 在(0 , θ) ,（ θ ,）上分别单调递减、单调递增.
 

　　又由 g (0 ) = 0 ,x→li()- g (x ) =xi()-   - a= + ,可得函数g (x )有唯一零点(设为 x0 ) ,进而可得f(x )在(0 ,x0 ) , （x0 ,）上分别单调递减、单调递增.
 

　　(5) 由结论(4 ) 可得.

　　推 论 1       若 函 数  f ( x )   = （0 < x <）( a ,b 是常数) ,则
 

　　(1) 当且仅当 a≤0≤b(a≠b) 或 0 < a≤2b 时 , f(x ) 单调递增 ;

　　(2) 当且仅当 b ≤0≤a( b ≠a) 或 2b ≤ a < 0 时 , f(x ) 单调递减.

　　推论 2    ( 1 ) 若f(x ) =(0 < x < ) ( a 是常数) 单调递增 ,则 a 的取值范围是( -  ,2 ] ;
 

　　(2) 若 f( x ) =  （0 < x <）( b 是常 数) 单调递增 ,则 b 的取值范围是[ , + .｝

　　推论 3   (1 )若f(x ) = (0 < x < ) (a 是常数)单调递减 ,则 a 的取值范围是 Ø;

　　(2) 若 f( x ) = （ 0 < x < ）( b 是常数) 单调递减 ,则 b 的取值范围是( ,0 ] .
 

　　参考文献 :

　　[ 1 ] 甘志国. 尴尬的循环论证—从 2014 年高考北 京卷理科第 18 题谈起[ J ] . 数学教学通讯( 中 等教育) ,2014(36) :52 + 54 .