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摘 要 :分类讨论思想是初中数学解题中的重要思想方法，是中考的热门考点. 为使学生掌握 分类讨论思想在解题中的应用思路与技巧，在讨论中做到不重不漏，提高解题正确率，应注重结合 不同题型为学生讲解分类讨论思想的具体应用过程，使其积累丰富的应用经验.
关键词 :初中数学；解题；分类讨论思想；应用
应用分类讨论思想解答初中数学习题的难点在 于如何找到分类讨论的分界点. 不同的题型寻找讨 论分界点的方法存在较大差别，因此教学中应做好 相关习题题型的归纳以及分类讨论思想在解题中的 具体应用，给学生带来良好的解题启发.
1 用于求解绝对值中的参数
例 1 有理数 x，y 满足 | x | ＋ |y| ＝13，| x ＋y| ＝ 1，求 x 的值.
解析 ∵ | x | ＋ |y| ＝13，| x ＋y| ＝1，| x ＋y| ≠ | x |＋ |y |，可知 x、y 必定异号. 接下来需要进行分类 讨论 :
(1)当 x > 0，y < 0 时，则 x －y ＝ 13，y ＝x －13， ∴ |2x－13 | ＝1，则 2x－13 ＝ ±1，解得 x＝6 或 x＝7；
(2)当 x <0，y >0 时，则－x ＋y ＝13，y＝x ＋13， ∴ |2x ＋13 | ＝1，则 2x ＋13 ＝ ± 1，解得 x ＝ －6 或 x＝－7；
反思 解答绝对值问题时为更好的找到分类讨 论的分界点，应认真审题，结合所学，充分挖掘隐含 条件. 如题目中判断出 x、y 异号是分类讨论的关键.
2 用于求解函数中的参数
2. 1 遇有坐标轴名称不明确时需讨论
例 2 已知正比例函数 y ＝k1 x 与一次函数 y＝ k2 x ＋b 图象经点 P(－2，1)，其中一次函数 y＝k2 x ＋ b 图象与 y 轴交点坐标为 A(0，3)，求直线 y＝k1 x 与 直线 y＝k2 x ＋b 与坐标轴围成三角形的面积.
解析 ∵ 直线 y ＝k1 x 经点 P( －2，1 )，∴ 正比例函数解析式为 y＝
x.
∵ 直线 y＝k2 x ＋b 经点 P( －2，1)与 A(0，3)， ∴ 一次函数解析式为 y＝x ＋3 .
(1)两条直线与 y 轴围成△AOP，如图 1 所示，过点 P 作 PM⊥OA，垂足为 M，∴ S △AOP ＝
OA ·PM＝3.
(2)两条直线与 x 轴围成△BOP，如图 1 所示，
过点 P 作 PN⊥x 轴，垂足为 N，设直线 y＝x ＋3 且与 x 轴相交于点 B，∴ S △BOP ＝OB ·PN＝
.
由此可知，两条直线与坐标轴围成三角形面积
为或 3 .
反思 从已知条件可直接求出一次函数与正比 例函数解析式，然而在求两条直线与坐标轴围成三 角形面积时并未直接指出是 x 轴或 y 轴围成的三角 形，所以可采取分类讨论思想.
2. 2 遇有点位置不明确时需讨论
例 3 在平面直角坐标系中，已知点 A( －3， 0)，B(2，6)，x 轴上有一点 C 满足 S △ABC ＝12，求点 C 坐标.
解析 ∵ S △ABC ＝12，∴ AC＝4.
(1)当点 C 在点 A 右侧，点 C 坐标为(1，0)；
(2)当点 C 在点 A 左侧，点 C 坐标为( －7，0) . 由此可知，点 C 坐标为(1，0)或(－7，0) .
反思 由于无法确定 x 轴上点 C 位置，故而需要采取分类讨论.
2. 3 遇有 k、b 符号不确定时需讨论
例 4 一次函数 y ＝kx ＋b 图象与 x 轴、y 轴分别交于 A 与 B 两点，S △AOB ＝4，且 OA :OB ＝1 :2，求该 一次函数解析式.
解析 ∵ S △AOB ＝4，∴
OA ·OB＝4.
∴ OA · OB＝8 .
∵ OA∶ OB ＝1 ∶ 2
∴ 设 OA ＝x，OB＝2x (x > 0)，则 x ·2x ＝8，即 x ＝2(－2 舍去) .
∴ OA ＝2，OB＝4.
(1)当 k > 0，b > 0 时，一次函数 y ＝kx ＋b 图象 经第一/二/三象限，此时 A( －2，0)，B(0，4)，一次 函数解析式为 y＝2x ＋4. 同理可得 :
(2) 当 k > 0，b < 0 时，一 次 函 数 解 析 式 为 y＝2x－4.
(3)当 k <0，b > 0 时，一次函数解析式为 y＝－2x ＋4
(4)当 k < 0，b < 0，一 次 函 数 解 析 式 为 y ＝ －2x－4.
由此可知，一次函数解析式为 y＝2x ± 4 或 y ＝ －2x ±4
反思 因无法确定k 与 b 符号且二者的值存在 较多可能，故而需要分类讨论.
2. 4 遇有增减性不明确时需讨论
例 5 已知一次函数 y＝kx ＋b 自变量 x 取值范 围为－2≤x ≤6，对应函数值 y 的取值范围为 －11 ≤ y ≤9，求一次函数解析式.
解析 (1)若函数 y ＝kx ＋b 为增函数，那么一 次函数 y＝kx ＋b 图象两端点坐标为( －2，－11)与 (6，9)，一次函数解析式为 y＝2. 5x－6.
(2)若函数 y ＝kx ＋b 为减函数，函数 y ＝kx ＋b 图象两个端点坐标为( －2，9)与(6，－11 )，一次函 数解析式为 y＝－2. 5x ＋4.
由此可知，一次函数解析式为 y＝2. 5x －6 或 y ＝2. 5x ＋4.
反思 由于未明确一次函数 y ＝kx ＋b 中 k 值 的符号，所以无法确定函数增减性与其对应两个端 点坐标，需采取分类讨论.
3 用于求解图形中的线段长度
例 6 一张直角三角形纸张 ABC，∠C＝90°，AB ＝10，AC＝6，点 D 为 BC 边上任意一点，沿着过点 D 的直线折叠，使得点 C 落在斜边 AB 上的点 E 上，若 当△BDE 为直角三角形时，CD 的长为
.
解析 ( 1 ) ∠BDE ＝90°时，对应的情境如图 2 所示，∵ ∠C ＝90°，AB ＝ 10，AC ＝6，由勾股定理得
到 :BC＝ 102－62 ＝8，根据题意可知四边形 CDEF为正方形. 设 CD＝x，则 BD ＝8 －x，AF＝6 －x，易得△AEF ∽ △EDB，∴ AF/ED ＝ EF/DB， 即 
(2)当∠DEB＝90°时，对应的情境如图 3 所示，
连接 AD，则可知△ACD≌AED，CD ＝DE，AC ＝AE ＝ 6，设 CD＝x，则 BD ＝8 －x，BE ＝ 10 －6 ＝4，则在直角△DEB 中，由勾股定理得到 :x2 ＋42 ＝ (8 －x )2，解 得 x ＝3 . 综上可知 CD 的长为 3 或 
.
反思 遇到几何中的折叠问题时应冷静分析， 保证考虑问题的全面性. 必要时要画出相关草图辅 助分析，求解出满足题干情境的线段长度.
4 用于求解函数图象中点的坐标
例 7 如图 4，已知抛物线 y ＝x2 －2x －3 的顶 点为 E，且和 x 轴正半轴交于点 C，在 y 轴上存在一 点 D，满足 DC＝DE，若在直线 DE 上存在一点 P，使得以 C、D、P 为顶点的三角形和△DOC 相似，求出 所有可能的点 P 的坐标.
解析 根据已知条件容易求得 C(3，0)，E(1，
－4)，设点 D(0，x )，由 DC ＝DE，可知 
解得 x ＝－1，则点 D 的坐标为 (0，－1)，则 CD＝ . 设过 DE 的直线为 y ＝kx － 1，将 E 点坐标代入得到 k ＝ －3，∴ y ＝ －3x －1 . 过点 E 作 EF 垂直于 y 轴，垂足为 F，如图5 所示，容易 证得△DFE≌△COD，∴ ∠FDE ＝ ∠OCD，∠CDO ＝ ∠DEF，∵ ∠OCD＋ ∠ODC＝90°，即∠FDE＋ ∠ODC＝90° ∴ CD⊥DE.
(2) 当 OC 和 DP 为 对 应 边 时，由 △CDP ∽
△DOC，OC/DP＝ OD/DC，容易求得 PD ＝3 ，因 点 P 在 DE 上， 设 点 P ( x0，－ 3x0-1 )， 则
=
，解得 x0 ＝± 3，则对应点 P 的坐标为(3，－10)或( －3，8) .
综上，满足条件的点 P 的坐标有 : (
,－2) 、
( ,
0) 、(3，－10) 、( －3，8) .
反思 求解函数图象中点的坐标问题难度一般 较大，解题时应注重联系所学的一次函数图象、二次 函数图象、图形的全等与相似等知识点，尤其当对应 边不明确时应注重分类讨论. 根据图形的全等、相似 性质构建相关的等式关系，为求解点的坐标做铺垫.
为使学生掌握应用分类讨论思想解题的技巧， 既要注重为学生讲解相关的理论与例题，又要要求 学生做好学习的总结，把握不同题型分类讨论的注 意事项以及相关细节. 同时，要求学生结合自身学习 的薄弱点，及时进行针对性的训练，不断提高运用分类讨论思想解题的熟练程度.
参考文献 :
[ 1 ] 张进华，朱树方. 分类讨论思想在侧重教学中的 应用 策 略 探 讨 [ J ] . 考 试 周 刊，2021 ( 26 ) : 13 －14 .
[2 ] 刘美. 浅析分类思想在初中数学教学中的运用 [J ] . 科技视界，2021 (06 ) :167 －168 .
[3 ] 高飞. 分类讨论思想在初中数学解题教学中的 运用探究[J ] . 中学课程辅导(教师通讯)，2020 (24 ) :101 －102 .
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因点 P 在 DE 上， 设 点 P ( x0,－3x0－1 )， 则
，解得 x0 ＝ ±
