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摘 要 :文章通过对 2021 年安徽省冬季联赛第22 题的解法探究，得到了相关研究对象在运动 变化过程中保持的规律性及其变式推广，并由试题的解答与变式得出了关于圆锥曲线的一 个统一 结论，从而揭示了问题的本质和规律.
关键词 :冬季联赛；解法探究；共轭弦性质；圆锥曲线
1 试题呈现
题目 (安徽省示范高中培优联盟 2021 年冬季联赛 (高二) 第 22 题) 已知椭圆 C :
＋
＝ 1 ( a > b >0 )的长轴长为 4 2，离心率为C
.
(1)求椭圆 C 的标准方程；
(2)已知斜率为
的直线 l 与椭圆 C 交于两个不同的点 A，B，点 P 的坐标为 (2，1 )，设直线 PA 与 PB 的倾斜角分别为 α，β，证明:tanα＋tanβ＝0.
试题第(1)问考查了椭圆的长轴、离心率等简 单的几何性质，体现了试题的基础性；第(2)问以圆 锥曲线共轭弦性质为背景设置了与动直线有关的定 值问题，综合性强，对学生逻辑推理、数学运算、直观 想象等素养有较高要求，值得深入探究.
2 解法探究
第(1)问椭圆 C 的标准方程为
＋
＝1(过程略)，下面探究第(2)问的解法.
证法 1 当直线 l 过原点时，点 P( 2，1 )在直线 l :y＝
x 上，不符合题意.
故设直线 l 方程为 y＝
x ＋t ( t≠0 )，A ( x 1，y1 )，B ( x2，y2 )，联立
得
则
由于直线l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，因此 Δ >0，即 t ∈ ( －2，0 ) ∪ ( 0，2 )，此时，直线 PA，PB 的斜率都 存在，所以，要证 tanα＋tanβ＝0，即证 kPA ＋kPB ＝0.
所以 kPA ＋kPB ＝0. 即 tanα＋tanβ＝0.
点评 证法 1 把待证问题转化为求证两直线 PA，PB 斜率之和为 0，从而几何问题通过坐标运算 转化为代数问题，既展示了坐标法的魅力，又体现了数形结合的思想. 继续探究，如图 1，发现当 Δ ＝0时，t＝－2 或 t ＝2，此时直线 l 与椭圆 C 相切，点 P 坐标为( －2，1 )或 (2，－1 )，直线 l 的斜率与椭圆 C在点 P 处的切线的斜率互为相反数，这一发现为进 一步探究试题本质提供了思路.
图 1
证法 2 设直线 PA 的参数方程为
( t 为参数),
代入椭圆 C :
＋
＝1，得( 1 ＋3 sin2 α )t2 ＋4 ( cosα＋2sinα )t＝0.则
由题意，得
即 2 ( yB －yA ) ＝xB －xA .
所以 tB ( 2 sinβ－cosβ ) ＝tA ( 2 sinα －cosα ).
代入 tA，tB 有－
· ( 2sinβ－cosβ) ＝
－ · ( 2sinα－cosα ).
整理，得
化简，得sin2 α ＝sin2β.
由于 0 <α <π，0 <β <π，且 α≠β，所以 α＝π－β. 从而 tanα＋tanβ＝0.
点评 证法 2 从直线 PA 与 PB 的倾斜角入手， 自然联系到应用直线的参数方程解题，亮点在于对 坐标的处理，借助参数的意义和三角恒等变换，整个运算过程一气呵成，简洁明了.
证法 3 作平移变换 τ:
则变换后的椭圆方程为
＋
＝1 .
整理，得 x ′2 ＋4y′2 ＋4 ( x ′＋2y′) ＝0.
设直线 AB 的方程为 mx ′－2my′ ＝1，代入上式，得x ′2 ＋4y′2 ＋4m ( x ′＋2y′ ) (x ′－2y′ ) ＝0. 即( 1 ＋4m )x ′2 ＋ (4 －16m )y′2 ＝0.
两边同时除以 x ′2，得
(4 －16m )
＋1 ＋4m＝0. ①
由于平移变换后点 P 的坐标变为 P′( 0，0 )，故 kP′A′，kP′B′是方程①的两个根，由韦达定理知 kP′A′ ＋ kP′B′ ＝4－6m＝0，由于平移变换下不改变直线的斜 率，所以 kPA ＋kPB ＝0.
点评 证法 3 通过平移变换巧妙地把椭圆上的 定点 P 转化为坐标原点 P′，变换后两直线 P′ A′， P′B′的斜率恰好是点 A′，B′的坐标比值，从而通过齐 次化处理，把两直线斜率之和问题转化为韦达定理 根与系数的关系，解答简洁明了，相比通性通法中运 算量大的特点，平移变换后齐次化处理很大程度上 避免了繁杂的运算，是解答过定点两条动直线斜率之积、之和问题的利器.
证法4 设直线 PA 的方程为 y －1 ＝k1 ( x－2)， 直线 PB 的方程为 y －1 ＝k2 ( x－2)，于是过点 P，A， B 的曲线系方程为[k1 (x－2) －(y －1 ) ] [ k2 (x －2)－(y －1) ] ＋λ ＋ －1 ＝0. ②.
又椭圆 C :
＋
＝1 在点 P (2，1)处的切线方程为 x ＋2y－4 ＝0，由题意知直线 AB 的方程可设为 x－2y＋m＝0，则曲线系方程②等价于
( x ＋2y－4) (x－2y＋m ) ＝0. ③
切线 x ＋2y－4 ＝0 上任取异于点 P 的一点，不 妨取 x ＝0，y＝2 代入②得 λ＝ －(1 ＋2k1 ) (1 ＋2k2 ).
比较方程②③中 x2，y2 的系数，得
1 ＝k1 k2 －
(1 ＋2k1 ) (1 ＋2k2 )，
－4 ＝1 －
(1 ＋2k1 ) (1 ＋2k2 ).
即
从而 k1 ＋k2 ＝0. 即 tanα＋tanβ＝0.
点评 证法 4“曲线系方程法”相比前面证法， 站在更高的观点，为我们解决这类解析几何问题提 供了新视角，但也有一定的局限性，在具体的解题实 践中，还需根据自身实际，选择适当的方法.
3 推广探究
著名数学教育家 G · 波利亚说“分解和重组是 思维的重要活动”，因此我们有必要深入到试题的 细节中去，通过逆向变换，亦或者改变曲线背景提出新 的问题，以探究试题内在规律，培养学生思维品质.
变式 1 已知 A，B 为椭圆 C :
＋
＝1 上的两个动点，点 P(2，1)，若直线 PA 的斜率与 PB 的斜率 互为相反数，证明直线 AB 的斜率为定值.
证明 设 A ( x 1，y1 )，B ( x2，y2 )，椭圆
＋
＝1写为
所以 kPA ＝
＝－
·
，
kPB ＝
＝－
·
.
由 kPA ＋kPB ＝0，得
－
·
＝0，
－
·
＝0.
分别整理，得
4y1 y2 ＋4y1 －4y2 ＝x 1 x2 ＋2x 1 －2x2 ..④
4y1 y2 ＋4y2－4y1 ＝x 1 x2 ＋2x2－2x 1 . ⑤，
④－⑤,得 8y1 －8y2 ＝4x 1 －4x2 .
即有 kAB
当直线 PA，PB 的斜率互为相反数时，我们发现 直线 AB 的斜率与椭圆 C 在点 P 处的切线的斜率互 为相反数，也就是说点 P 的位置唯一决定了 AB 的 斜率，反过来 AB 的斜率也唯一决定点 P 的坐标.
推广 1 设点 P ( x0，y0 )是椭圆 C :
＋
＝ 1( a > b >0)上一定点，A，B 是椭圆 C 上两个动点，若 直线 PA，PB 的斜率互为相反数，则直线 AB 的斜率
存在时，kAB ＝
.
证明 作平移变换 τ :
则变换后的椭圆方程为
整理，得 b2 x ′2 ＋a2 y′2 ＋2x0 b2 x ′＋2y0 a2 y′＝0. 设直线 AB 的方程为 mx ′＋ny′ ＝1，
代 入 上 式， 得 ( b2 ＋2mx0 b2 ) x ′2 ＋ ( a2 ＋ 2ny0 a2 )y′2 ＋2(nx0 b2 ＋my0 a2 )x ′y′＝0. 两边同时除以 x ′2，得(记 k ′＝
)
( a2 ＋2ny0 a2 ) k ′2 ＋ 2 ( nx0 b2 ＋my0 a2 ) k ′ ＋ b2 ＋2mx0 b2 ＝0.
由题意知，kP′A′，kP′B′ 是方程⑥的两个根，且 kP′A′ ＋kP′B′ ＝0，故 nx0 b2 ＋my0 a2 ＝0.
所以 kAB ＝
变式 2 如图 2，点 P ( x0，y0 ) (y0 >0 )为抛物线 C :y2 ＝2px (p >0 )上一定点，A ( x 1，y1 )，B ( x2，y2 )为抛物线 C 上两动点，若直线 PA 与 PB 斜率存在且互 为相反数，求证 :直线 AB 的斜率是非零常数.
图2
证明 因为点 P ( x0，y0 )，A ( x 1，y1 )，B ( x2，y2 )在抛物线 y2 ＝2px 上，所以
＝2px0 ⑨.
⑦－⑧，得(y0 －y1 ) (y0 ＋y1 ) ＝2p ( x0 －x 1 ).
即 kPA ＝
同理可得 kPB ＝
由 kPA ＋kPB ＝0，得
＋
＝0.
即有 y1 ＋y2 ＝－2y0 .
⑨－⑧，得(y2 －y1 ) (y2 ＋y1 ) ＝2p ( x2 －x 1 ).
即 kAB ＝
变式 3 已知直线 l :y＝－4x ＋m 与双曲线 E :
－
＝1 的右支交于不同两点 A. B，点 Q (2，2 )，
记直线 QA，QB 的斜率分别为k1 . k2，求证 :k1 ＋k2 ＝0.
证明 作平移变换 τ:
则变换后的双曲线方程为
－
＝1 .
整理，得 4x ′2 －y′2 ＋16x ′－4y′＝0. ⑩
设直线 l ′的方程为 px′ ＋qy′ ＝1(其中 p ＝4q)， 代入⑩式，得4x ′2 －y′2 ＋ ( 16x ′－4y′ ) (px ′＋qy′ ) ＝0.
即(4 ＋16p )x ′2 －( 1 ＋4q )y′2 ＝0.
两边同时除以 x ′2，得
－( 1 ＋4q )＋4
＋16p ＝0.
由于平移变换后点 Q 的坐标变为 Q′( 0，0 )，故 kQ′A′，kQ′B′是方程的两个根.
由韦达定理知 kQ′A′ ＋kQ′B′
=0
由于平移变换下不改变直线的斜率， 所以 k1 ＋k2 ＝0.
推广 2 设点 P( x0，y0 )是对称轴平行于坐标轴 的定圆锥曲线(包括圆、椭圆、双曲线和抛物线) C 上一定点，A，B 是 C 上两个动点，若直线 PA，PB 的 斜率互为相反数，则直线 AB 的斜率存在时为定值， 等于曲线 C 在点 P 处切线的斜率的相反数.
(1)当曲线 C 是有心圆锥曲线时，设方程统一形式为 λx2 ＋μy2 ＝1(λμ≠0)，则 kAB ＝
( y0 ≠0 )；
(2)当曲线 C 是抛物线时，可设 C :y2 ＝2px(p ≠0)，则 kAB ＝－
或 C :x2 ＝2py(p≠0)，则 kAB ＝
推广 2 也称为圆锥曲线共轭弦性质，以其为背 景命制的高考试题和竞赛试题屡见不鲜，像这样通 过挖掘改造著名数学问题来命题已成为近年高考数 学圆锥曲线压轴题命制的新趋势，这也启示一线教 师在教学中应充分利用这些素材，引导学生探究试 题解法，剖析试题本质，从而培育学生的思维品质， 落实学科素养.
参考文献 :
[ 1 ] 波利亚，涂泓译. 怎样解题—数学思维的新方 法 [ M ] . 上海 :上海科技教育出版社，2007 .
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