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摘要:文章围绕2022届高三八省联考中的圆锥曲线大题进行研究，通过不同角度的探究，给出了该问题的5种解题方法，并进一步作了相应的方法总结，然后在课本中找出该题的“题根”，最后对此题还进行了推广拓展和变式探究.
关键词:八省联考；圆锥曲线；解法探究；课本溯源；拓展推广
2022年高三八省联考试卷第21题是一道新颖的解析几何大题，它采用开放性的二选一题型，给了学生很大的自由发挥空间.主要考查了圆锥曲线方程求解、四边形面积最值、三等分点问题，试题稳中求新，体现了考题的基础性、综合性、创新性，考查了学生数学运算、逻辑推理、直观想象等核心素养和关键能力，本文从该题的解法探究入手，然后再回到课本中追本溯源，最后对此题进行一般化推广和变式探究，以期对教学、研究、学习提供帮助.
1试题呈现
(1)求Γ的方程；
(2)如图1，过原点O作互相垂直的直线l1，l2，分别交双曲线于A，B两点和C，D两点，点A，D在x轴同侧，请从①②两个问题中任选一个作答:①求四边形ABCD面积的取值范围；②设直线AD与两渐近线分别交于M，N两点，是否存在直线AD使M，N为线段AD的三等分点，若存在，求出直线AD方程；若不存在，说明理由.
2解法探究
探究思路1(1)题难度不大，略.对于(2)题，选择①，求四边形ABCD面积的取值范围时，其通解通法是使用函数法，考虑利用直线AB的斜率来表示四边形的面积.
故四边形ＡＣＢＤ面积的取值范围为[６，＋∞).探究思路３此题还可使用齐次化法，从而构造出两条直线的斜率，利用垂直得到关键等式.
解析３设ＡＤ:ｍｘ＋ｎｙ＝１，与双曲线构造齐次:
，整理，得
探究思路４此题两条直线都经过原点这个定点，故考虑利用直线参数方程来求弦长.
解析４设直线ＡＢ的参数方程为
探究思路５题中直线ＡＢ和直线ＣＤ都经过原点，这里还可使用极坐标方程来求弦长.
３追本溯源
这道八省八校解析几何大题使用的方法多样，其实课本早有铺垫，它严格地贯彻了源于教材，高于教材的命题原则.它与人教版选修４－４中第１５页习题有着很大的相似性:
已知椭圆的中心为Ｏ，长轴、短轴的长分别为２ａ，２ｂ(ａ>ｂ>０)，Ａ，Ｂ分别为椭圆上的两点，且ＯＡ⊥ＯＢ.
(２)求△ＡＯＢ面积的最大值和最小值.
由此启发我们在教学中要回归教材，一要让教材和教辅资料各尽其责、物尽其用，防止本末倒置；二要重视教材中在知识发生和发展中呈现的那些经典的思维模式；三要注意挖掘教材中例题习题背后广泛而深远的意义，提炼更深层次的公式和结论，使学生深化相关知识.
４推广探究经
深入思考，通过纵向、横向和逆向的方法进行探究，得到此试题有如下拓展推广结论:
结论１经过原点作两条互相垂直的直线交双曲线
于四点，则此四点围成的四边形的面积的取值范围是
证明以原点为极点，ｘ轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两条直线交双曲线于Ａ，Ｂ和Ｃ，Ｄ四点，设
因双曲线极坐标方程
结论２经过原点作两条互相垂直的直线交椭圆
于四点，则此四点围成的四边形的面积的取值范围是
结论４经过原点作两条垂直的直线交双曲线于Ａ，Ｂ和Ｃ，Ｄ四点，并过原点作ＯＥ⊥ＡＤ，垂足为点Ｅ，则ＯＥ必为定值
事实上，因ＯＥ为定值，故点Ｏ在直线ＡＤ上的射影是以Ｏ为圆心，以
为半径的圆，这里我们把这个圆命名为双曲线或椭圆的基圆.并且此圆恰为四边形ＡＢＣＤ的内切圆，由此可得下面的结论５:
结论５已知圆锥曲线
，直线ｌ是圆ｘ２＋ｙ２＝ｒ２的任意一条切线，与圆锥曲线交于Ａ，Ｂ两点，则ＯＡ⊥ＯＢ的充要条件是ｒ＝
结论６经过椭圆
的左焦点作两条互相垂直的直线交椭圆于Ａ，Ｂ和Ｃ，Ｄ四点，则此四点围成的四边形的面积的取值范围是
5链接高考
题1(2016年高考全国Ⅰ卷理数20题)设圆x2＋y2＋2 x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1，0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过点B作AC的平行线交AD于点E，设点E轨迹为曲线C 1，直线l交C 1于M，N两点，过点B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.
题2(2013年高考Ⅱ卷理数20题)过椭圆
右焦点的直线x＋y－
＝0交椭圆于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为
又C，D是椭圆上两点，且CD⊥AB，求四边形ABCD面积的最大值.
综上所述，解析几何综合题通常基于几何性质或定理出发，通过特殊化，变更条件和结论来命题，特别对椭圆和抛物线的对偶性质，教师要挖掘问题的本质和内涵思想方法，要研究习题的变式推广，发展学生思维；要研究一题多解，培养学生的创新意识.
参考文献:
[1]肖骁.揭开面纱还原本质—二道高考试题赏析[J].福建中学数学，2014(05):14－16.
[2]罗增儒.解题分析—人人都能做解法的改进[J].中学数学教学参考，1998(07):29－30.
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过点
且Γ的渐近线方程为y＝
，因双曲线极坐标方程为
