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摘 要 :本文将圆锥曲线的离心率问题按知识点进行分类，对同类型的题 目给出了类似的、相 对简单的解法，并进行了深层次的剖析，目 的是使学生能迅速将问题归类、抓住关键，找到数学本 源，从而由点到面突破，培养学生的数学核心素养.
关键词 : 离心率；范围；特殊三 角形；平行四边形；圆
圆锥曲线离心率问题通常是指椭圆和双曲线的 离心率问题，一般包含两类:一是求离心率值；二是求离心率的取值范围. 求解离心率，一般是构造参数 a，c 或 a，b 等式或者不等式，找出它们的关系，从而 计算. 离心率问题难点不在求解，而在找等量关系或 者不等量关系，也就是找出题目中的数学本源. 如何 能在最短的时间内，找到关系，最有效的办法是从数学本源出发，研究命题方向和结合的知识点，发现规 律，探究方法，形成一系列解题策略.
1 特殊三角形与离心率
这类题目通常利用特殊三角形的性质来找参数 关系，用到的性质一般有边角相等、三角形相似、面 积公式、正余弦定理、角平分线性质、高的性质、中线 的性质等，解题方法可用代数法也可用几何法，通常 数形结合，用几何法计算量较小，运算相对简单.
例 1 双曲线
＝ 1 ( a > 0，b > 0) 的左
右焦点分别为 F1，F2，离心率为 e，过点 F2 的直线交双曲线的右支于 A，B 两点，若△F1 AB 是不以点 F1 为直角顶点的等腰直角三角形，则 e2 等于 .
解析 因为顶点 A，B 在双曲线上，由双曲线的 定义，可得到含四个参量的两个等式，结合等腰直角 三角 形 这 个 条 件，可 以 消 掉 两 个 参 量，再 利 用 Rt△F1 BF2 解出 BF1，BF2 的值.
图 1
如图 1，不妨设点 B 是 Rt△F1 AB 的直角顶点，则
AF1＝ 2AB＝ 2BF1 .
又点 A，B 在双曲线上，由双曲线的定义，得 AF1－AF2 ＝2a，BF1 －BF2 ＝2a. ②
联立①②，得 BF1 ＝2 2 a，BF2 ＝2 2 a－2a. 在 Rt△F1 BF2 中，由勾股定理，得
2 平行四边形与离心率
与平行四边形结合的离心率问题一般有两类， 一类是题目中存在四边形；另一类是利用圆锥曲线 的对称性构造四边形. 用到的性质通常有 :对边平行 相等；两条对角线长度的平方和等于两倍的两个邻 边的平方和等. 解题时可用代数法也可用几何法.
例 2 如图 2，椭圆
＝1 ( a > b >0 )，直 线 l1 :y＝－
x，直线 l2 :y ＝
x，P 为椭圆上任意一点，过 点 P 作 PM//l1 且 与 直 线 l2 交 于 点 M，作 PN//l2 交 l1 于点 N，若 PM 2 ＋ PN 2 为定值，则 椭圆的离心率为 .
解析 因为 PM 2 ＋ PN 2 是定值，而式子中 的两个线段长度不好表示，所以可以利用平行四边 形的对称性进行转化. 点 P 在椭圆上，坐标满足椭 圆方程，于是想到把定值转化成与点 P 坐标有关的量， 代入椭圆方程，就找到了一个有关参数的等量关系.
设 PM
2＋PN
2 ＝ t 为 定 值，M ( x1，
x 1 )， N(x2，－x2 )，顶点 P(x，y)，因为四边形 PMON 是平行四边形，所以
3 圆与离心率
借助于圆的性质求离心率问题的题目相对较 多，考查点通常是圆的性质和圆锥曲线性质的结合， 比如弦的中点与圆心的连线与弦垂直，直径所对的 圆周角是 90°，半径相等，圆与圆的位置关系等.
例 3 如图 3，设点 F 为双曲线
＝1(a
>0，b > 0)的右焦点，O 为坐标原点，以 OF 为直径 的圆与圆 x2 ＋ y2 ＝ a2 交于 P，Q 两点. 若 PQ ＝ OF ，则 C 的离心率为 .
解析 两圆的半径分别有参数 a，c，找 a，c 的关 系，只需找两圆的关系即可. 解题方法可以用代数法 也可用几何法，但几何法要相对简单.
由对称性可知 PQ⊥x 轴，因为 OF 是圆的直径， 且 PQ ＝ OF ，所以 PQ 也是圆的直径.
所以 OM＝PM＝
OF＝c.
所以△POM 是直角三角形.
于是有 OP2 ＝OM2 ＋PM2 .
4 变量的范围与离心率
该类题目通常是先给出标准方程中某个参数的 范围，或者变量的范围，再结合具体图形的平行关 系、共线关系、垂直关系等求离心率的取值范围. 通常用代数法来求解.
图 3
例 4 如图 4，椭圆
的
离心率为 e，F 是 Γ 右焦点，点 P 是 Γ 上第一象限内 任意一点，
，若 λ < e，则 e 的取值范围是 .
图 4
解析 已知参数λ <e，所以要根据已知条件表示 出参 数 λ 的 值，因 为 点 P 在 第 一 象 限 且 ＝ λ (λ >0)，所以要先表示出点 P 的坐标. 设∠POF＝θ (0 < θ < )，由 · ＝0 得 OP⊥FQ. 所以 OQ ＝ OF ·cosθ. 点 Q 的坐标为 Q(ccos2 θ，csinθcosθ ). 又＝λ (λ >0)，得点
解析 由题可知
切线的斜率为 
图 5
总之，对于比较复杂的离心率问题，找出等量关 系或者不等关系是关键，通常会与很多知识结合起 来，有时还涉及数形结合. 对于一些常见公式，应该 引导学生自主观察、独立思考，把不熟悉的问题转化 为熟悉的问题，找出数学本源，从而更有效、简洁地 解决它，培养学生的数学核心素养.
参考文献 :
[ 1 ] 范军. 圆锥曲线离心 率的求法[ J ] . 数理天地 (高中版)，2020 ( 10 ) :25 －26 .
[2 ] 吴一哲，韩天禧. 例谈离心 率的求法[ J ] . 新高 考，2011 (02) :31 －33 .
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( a >0，b >0 )上，使得过点 M 且与椭圆在此点的切线
垂直的直线经过点
c 为椭圆半焦距，则椭圆的离心率的取值范围是
