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摘要:对典型问题进行多方面探究，就是对问题从不同视角来审视，以不同的切入点探究问题不同的解答方案.经常进行这方面的训练，既能梳理解决这类问题的一般方法，寻求解答此类问题的通性通法，揭示问题的本质和一般规律，又能拓宽学生的知识面，积累解题经验，提高解题效率.
关键词:分式型；二元最值；问题；探究
本文通过对一道二元分式型齐二次条件最值题的探究，使学生学会数学地思考问题，优化数学思维品质.
1试题重现
题目(2021年第31届“希望杯”全国数学邀请赛高二2试第11题)已知a>0，b>0，则
2解法探究
点评解法１直接在进行代数恒等变换的基础上，利用二元均值不等式求解，其变形过程较为复杂，合理、准确地运用算理、算法进行变形是求解的关键.另外，运用均值不等式求最值时，务必要注意“等号”能否取到，该解法中等号成立的条件，即方程
6有解，所以解答是正确的.
点评 解法 ２ 首先进行比值换元和“二层” 换 元，然后进行代数恒等变换，变形出关于“二层” 新 元的均值不等式的结构形式，利用二元均值不等式 求解. 在运用均值不等式求最值时，“等号” 能否取 到是解答的关键.
解法 3 上同解法 2，得
所以Ｍｕ２－８ｕ＋３６Ｍ＝０.
因为ｕ≥
，所以关于ｕ的一元二次方程Ｍｕ２－８ｕ＋３６Ｍ＝０在[
，＋∞)上有实数根.
因为Ｍ>０，且二次函数ｙ＝Ｍｕ２－８ｕ＋３６Ｍ的图象开口向上，
点评解法４是在解法２进行比值换元和“二层”换元的基础上求导，利用导数研究函数的单调性求解.利用导数求解二元条件最值问题是一种有创意的方法途径.
3试题变式
若将上面赛题中的“系数”7换为5，那么求解的情况是怎样的呢?
参考文献:
[１]第三十一届”希望杯“全国数学邀请赛高二第２试试题.
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