高中数学立体几何平面化思想的实践探究论文

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关键词 :立体几何；平面化；转化；平面几何

1 高中数学立体几何与平面几何的关联与对应

高中数学立体几何 ,是初中平面几何的延伸 ,二 者同属几何学 ,知识方法具有关联性. 平面几何培养 学生的推理论证能力和代数化简能力 ,而立体几何 培养学生的逻辑推理与空间想象能力. 教师在立体 几何中的教学方式 ,只有符合学生的认知发展规律 , 能够引导学生观察、类比、归纳 ,才能取得良好的教 学效果. 学生在立体几何中的学习方式 ,只有完善思 维结构特征 ,能够将问题分析、迁移、转化 ,才能取得 良好的学习效果. 而学习立体几何 ,可以借助平面几 何类比得到立体几何 ,或将立体几何转化得到平面 几何 ,二者在教学与学习中既有统一性 , 又有关联性. 作为平面几何的延伸 ,立体几何在知识、方法及 思想上和平面几何是相呼应的 ,其本质是二维对三维的对应关系.


2 高中数学立体几何的平面化思想的定义

立体几何的平面化思想 , 即将空间中的点、线、面的关系 ,通过转化的思想 ,使之转化到某一个平面 内 ,利用平面几何相关的知识、定理进行研究的思想 方法. 在解决问题时 ,抓住平面几何图形的特征 , 比 如三角形的中位线原理 ,三角形全等原理 ,三角形的 相似比关系 ,或者通过解三角形 ,得到题目所需的代 数、几何关系 ,对于更为复杂的几何问题 ,应用转化 与化归、函数与方程、数形结合等思想解决问题.

3 高中数学立体几何问题应用平面化思想的对策

3 . 1 平面抽离法

当几何体中的线与面的关系不明确时 ,可以将 问题所涉及的局部平面抽离出空间 ,借助其平面图 形更加直观的观察 ,并结合平面几何知识 ,得到需要 的线线、线面或面面关系. 以立体几何探究性问题为 例 :已知平面 ABCD⊥平面 A A 1 D1 D ,其中正方形 A A 1 D1 D 棱长为 1 ,矩形 ABCD 中 ,AB ＝2 ,点 E 是线段 AB 的中点 ,试问 :线段 AB 上是否存在点 P ,使平面 D1 PC 与平面 PCD 的夹角大小为 60°? 若存在 ,求出BP 的长 ,若不存在 ,说明理由.

解题分析  (1)立体几何问题平面化 : 过点D1 作D1 H⊥PC ,可证明得到 PC⊥平面D1 DH ,从而证明 得到 DH⊥PC ,说明 ∠D1 HD 即为平面D1 PC 与平面 PCD 的夹角；(2)平面抽离 :在立体几何中抽离出与未知量 有关的平面图形 ,将知识化归为平面几何问题；(3)平面几何问题代数化 :在 Rt△D1 DH 中 , 由D D1DH ,矩形 ABCD 中 , 由 △DHC 与 △CBP 的相似性 ,得到DH＝DC   从而确定 CP 的值 ,根据勾股定理BP2   ＝CP2  －CB2 ,计算得到 BP ,从而说明点 P 的存在性. 3 . 2 侧面展开法常应用在立体几何的折叠问题中. 通过对几何 体的侧面进行展开 ,结合其侧面展开图研究问题 ,是 平面化思想的重要手段与方法. 通过化曲为直、化折 为直 ,结合侧面 ,展开研究其平面与几何体的关联 性 ,找到题目所需的的数量关系和位置关系 ,借助平 面几何相关知识解决问题. 以立体几何的折叠问题 为例 :在△ABC 中 ,AD⊥BC ,ED＝2AE ,过 E 作 FG∥ BC ,且将△AFG 沿 FG 折起 ,使∠A'ED ＝60° ,求证 : A'E⊥平面 A'BC.

解题分析  (1)几何体的侧面展开 :借助展开 后的平面图形 ,结合立体图形研究 ,抓住图形的两个 关键 :不变的线线关系 ,不变的数量关系；(2)立体几何问题平面化 : 由平面图形的 AD ⊥ BC ,得到空间中的 AE' ⊥BC ,在△A'ED 中 ,构造余 弦定理 ,计算得到 A'D⊥A'E；根据线面垂直的判定 定理推导证明 ,得到 A'E⊥平面 A'BC.

3 . 3 截面法

常用于立体几何的截面问题与球的切接问题. 截面法大体分为两种 ,交线法与性质法. 应用交线法 作截面 ,作图关键在于确定截点 ,作图依据为基本事 实；应用性质法作截面 ,作图关键在于找到平行的直 线或平面 ,作图依据为线面平行、面面平行的性质定 理. 通过作出与未知量有关的截面图形 ,数形结合 , 产生与问题有关的平面几何关系 ,将立体几何问题平面化.

以立体几何的截面问题为例 :正方体 ABCD － A 1 B1 C1 D1   的棱长为 2 ,M、N 分别是 A 1 B1 、A 1 D1  的中 点 ,过直线 BD 作平面 α ,使得平面 α ∥平面 AMN ,求 平面 α 截该正方体的截面面积.

解题分析  (1)性质法作截面 : 以C1 D1  ,B1 C1 的 中点 P ,Q 为截点 ,连接 PQ ,B1 D1  ,DP ,BQ ,NP ,得到 截线 ,根据面面平行的性质定理 ,作出满足条件(过 直线 BD ,且与平面 AMN 平行)的截面 DBQN；(2)立体几何问题平面化 :根据平面几何中梯 形的定义 ,证明得到四边形 DBQN 为梯形 , 通过梯 形的面积公式 ,计算得到截面 DBQN 的面积.
以外接球问题为例 :三棱锥 P－ABC 中 , △ABC 为直角三角形 ,AB ＝AC ＝ 1 , △PBC 是正三角形 ,平 面 ABC⊥平面 PBC ,求三棱锥 P－ABC 的外接球的 半径.

解题分析  (1)交线法找球心 :根据等腰直角 三角形的性质 ,可知△ABC 的外接圆圆心是 BC 的 中点 D ,直线 PD⊥平面 ABC；根据正三角形的性质 ,可知△PBC 的中心 O 为△PBC 的外接圆圆心；过 O 作平面 PBC 的垂线 l ,找到球心也就是两垂线的交 点 O；(2)立体几何问题平面化 :根据外接球的定义 , 易得 OB 为三棱锥 P －ABC 的外接球半径 ,借助正 三角形的性质和直角三角形的勾股定理 ,列出代数 关系 ,计算得到球半径.

4 高中数学立体几何的平面化思想的实践难点

高中数学立体几何问题中 ,如何寻找关键的平 面 ,如何转化为平面几何问题 ,是教师教学的难点 , 也是学生解题的难点 ,它的实质是利用几何相关的 定义和性质定理将立体几何问题平面化 ,从思想上 要注意空间与平面的相互转化.

5 高中数学立体几何的平面化思想的教学案例

5 . 1 高中数学必修第二册《 立体几何初步》中应用平 面化思想的教学实例

已知正方体 ABCD －A 1 B1 C1 D1   棱长为 1 , 线段 AD 的中点为 M,动点 P 在不含边界的正方形 ABCD 内运动 ,满足B1 P ∥平面A1 BM,求线段C1 P 的最小值.

教学内容分析  必修第二册《立体几何初步》 中 ,处理立体几何的最值问题 ,需要将动态问题静态 化 ,应用几何推理与代数推理相结合的办法实施. 也 就是找到动点在变化过程中的特殊的、确定的位置 , 借助平面几何的相关定理或进一步转化为函数、不 等式问题来处理.

解题思路分析 :根据面面平行的相关定理 ,推导 得到动点 P 落在定直线 DN 上；关联平面几何的知 识 ,代入点到直线的距离公式 ,或者构造勾股定理 , 计算点C1 到直线 DN 的距离.

解题难点分析  由线面平行的判定定理、面面 平行的性质定理推导关系 ,构造截面 , 找到动点 P 所在的定直线的过程 ,是解题的难点.平面化思想的应用分析 :(1)作出截面 : 由B1 P//平面A 1 BM ,转化得到过 点B1 的平面与平面A 1 BM 平行 ,作出截面B1 QDN ,从 而构造出与之相关的不变因素 , 即动点 P 在定直线 DN 上；(2)动态问题静态化 :动点 P 到定点C1  的距离 C1 P ,转化成定点C1 到定直线 DN 的距离 , 当C1 P ⊥ DN 时 ,C1 P 取得最小值. 根据三垂线定理 ,可证明底 面上 CP⊥DN ,最终将问题转化成平面几何的最值 问题；(3)立体几何问题平面化 :在底面 ABCD 上 , 由
△DCN 等面积关系 : DN · CP ＝DC · CN ,求解DN；在 Rt △PC C1   中 , 根 据 勾 股 定 理 C1 P2   ＝ CP2＋C1 C2 ,计算得到 C1 P 的最小值.

5 . 2 高中数学选择性必修第一册《 空间向量与立体 几何》中应用平面化思想的教学实例

在四棱锥 A －BCDE 中 ,平面 ACD⊥平面 CDE , AC⊥CD , △BCE 为正三角形 ,平面 DAC 与平面 ACE 的夹角大小为 60°. (1)求证 :CD//平面 ABE；(2)若 AC＝2 ,BC＝2 ,点 G 为线段 AB 上的点 ,直线 BC 与平面教学内容分析 :选修第一册《空间向量与立体 几何》中 ,空间向量法是解题的重要工具. 解题的难点在于建系及写出坐标 ,对于较复杂的不能直接建 系的几何体 ,将局部平面抽离出几何体 ,转化到该平 面图形中研究坐标系及求解坐标.

解题思路分析 : 由面面垂直的性质定理 ,可以证 明 AC 与 CD、CE 分别垂直. 结合平面与平面的夹角公式 ,构造线线平行 ,根据线面平行的判定定理 ,推 证得到 CD//平面 ABE；建立空间直角坐标系 ,求出 所需的各点坐标 ,计算所需的方向向量 ,求得平面的 法向量 ,利用空间向量中直线与平面的夹角公式 ,列出方程关系 ,计算未知数的值 ,代入得到点 G 的坐 标 ,求出线段 AG 的长度.

解题难点分析  (1)建系中的难点 :根据面面 垂直的性质 ,证明 AC⊥平面 CDE ,可得 AC 为 z 轴 , 难点在于底面 BCDE 上要找到经过点 C 且互相垂 直的两条直线；(2)坐标化的难点 :底面 BCDE 上各点的坐标 , 及线段 AB 上的点 G 的坐标的求解.高中数学立体几何问题的平面化思想 , 即空间 向平面转化、三维向二维转化的思想 ,是立体几何中 最基本也是最重要的数学方法 ,贯穿着整个立体几 何学习的始末. 平面化的本质是应用平面化思想的 对策 ,包括平面抽离法、侧面展开法、截面法 ,把空间 中的元素转化到与已知条件和未知结论有关的平面 中解决. 应用平面化思想解题的过程中需要把握三 个要点 ,一要弄清立体几何中线与面的位置、数量关 系；二要找到三维中的几何元素对应的二维平面的 几何元素；三是利用平面几何知识解决问题 ,构造已 知元素与未知元素的代数关系式. 立体几何问题的 平面化思想 ,对突破空间障碍 ,对提高解题效率 ,灵 活学习立体几何有巨大的帮助.

参考文献 :

[ 1 ] 李敏. 立体几何与平面几何的衔接教学研究 [ D ] . 呼和浩特 : 内蒙古师范大学，2018 .
[2 ] 谢晓强. 立体几何中的平面化思考[J ] . 数学教 学研究，2004 (06 ) :13 －15 .
[3 ] 林良斌. 立体几何动态问题从空间到平面的转 化策略[J ] . 数学学习与研究，2019 ( 13 ) :130－131 . 

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