SCI论文（www.lunwensci.com）:
摘要：离散数学作为一门基础理论类课程,在计算机类专业课程中占有核心地位。学好离散数学不仅有利于培养学生的计算数学思维，还有利于学生后续课程的学习。但现今，离散数学的教与学，存在着各种各样的问题，需要我们对该课程进行教学研究与改革。本文从教学普遍化特征的角度，从教学特殊化特征的角度，分别探讨了离散数学的教学内容、教学方法、教学改革的方案，并提出相应的措施，为解决离散数学的教与学存在问题方面提供帮助。
关键词：离散数学；教学内容；教学方法；教学改革
本文引用格式：郭婧.《离散数学》教学研究与实践[J].教育现代化,2019,6(71):101-104.
当今世界，信息技术被越来越广泛地应用、融入到各行各业，融入到社会的方方面面。随着信息化技术的不断发展，计算机类专业在我国高等院校中开设得也越来越普遍。而离散数学作为计算机类专业的主干基础课程，在计算机类专业课程中占据着核心地位，并且为后续计算机课程的学习提供重要的理论基础。
离散数学作为以离散量为研究对象的数学型课程，具有概念多、定义多，理论性强、高度抽象、理解难度大等特点。作为计算机类的骨干基础课，学习离散数学的学生多、受众面广、学生的学习基础高低不一，因此，教学难度很大。
传统的离散数学教学，一直被拘束在课堂教学之中，教师仅仅使用粉笔、黑板及幻灯片进行教学。这种单一而缺乏实践的学习方式，使学生很容易被带入枯燥的理论学习中。而在枯燥单一的学习方式中学习，当学生遇到困难，想从其他学习方式中去求解，却很难解决，这样就很难将这门功课学好，也为后续计算机课程的学习带来困难。面对离散数学这样的教学困境，教师希望突破现状，高校也希望改革。
目前，全国各高校都在普及计算机学科，都重视离散数学计算机专业基础课程的教学，都在积极地进行离散数学教学研究，都希望研究出新的、多种形式的离散数学教学方法，都希望将学好的理论更好地应用到实际中去，以适应现今社会发展的需要以及人才的培养要求。
一离散数学教与学现状
（一）教材选用现状
离散数学是由多个数学分支交叉形成，各个分支又自成体系，总体框架性不强。现今的离散数学教材的内容大多雷同，不同的是只在于编排顺序的不同。
高校普遍选用的经典教材有：屈婉玲和耿素云[1]编写的离散数学；左孝凌[2]编写的离散数学；徐洁磐[3]编写的离散数学等。这些教材较为注重理论内容的呈现，并辅助以多种定义以及定理的证明，课后习题多为题目的演算求解。这些教材理论较为严谨、基础较为扎实，偏重于数学基础。
现今计算机技术，计算机信息产业日新月异，离散数学作为计算机学科的基础学科，离散数学教材作为经典教材，也需要不断地被完善，也要不断地被补充新的内容。才能适应新技术、新科技、新时代、新发展的需要。
（二）离散数学课时安排现状
计算机专业，被认为学习难度较大的专业。它知识面广、安排课程多，各门课程理论性强，学生要学好、学通、弄懂并非易事。学校要在规定的时间内完成教学，课时就显得非常紧张。
为了保证在规定的时间内完成教学，各高校普遍都在压缩课时，离散数学课也不例外。目前，多数高校将离散数学教学的课时从144课时削减为108课时，有些高校直接削减到56课时，甚至48课时。离散数学课程结构被分为数理逻辑、图论、集合论、代数系统四大部分[4]，离散数学的教学主要是完成这些内容的讲授。要保证教学质量，离散数学教学内容不能削减。在减少课时的情况下，完成原有离散数学教学内容就变得较为紧张。
如果在现有教学内容的基础上，再增加多形式的教学，如实验互动小组等，可能给原有内容进度带来更大压力。因此，内容的取舍以及教学形式的选择至关重要。
（三）学生学习现状
离散结构中数学理论性强，教材中存在大段定义、定理及数学推导，学生学习难度大。自己看书本难以吃透，心里容易产生抵触情绪，在学习上容易产生心理障碍，对学习更加不利。
现有的学生学习基础高低不同，面对同一本教材，同一上课进度，接收的程度也就会大不相同。大班教学无法照顾到所有学生，如果顾及所有学生，又会影响其他学生的进度。因此，计算机专业学生在学习离散结构时，普遍学习积极性不高。由于学生学习效果不佳，也会影响学生后面计算机专业其它的课程学习。
目前，从离散数学课教材的选用情况上、从离散数学的课时安排上、从学生学习离散数学现状上等几方面来看，离散数学教与学都存在着许多困难，面临着各种的问题。因此，离散数学的教学需要认真研究，离散数学的教学改革势在必行。
二 离散数学的教学研究改革
（一）从教学普遍化特征的角度
离散数学是计算机专业的核心基础类课程，也是计算机专业中比较难学的课程。离散数学在教与学存在着的困难、问题，在计算机专业其它课程都存在着，它具有问题的代表性。因此，搞好离散数学的教学改革，研究离散数学教学中出现的困难，解决好离散数学教学中所出现的问题，提供可借鉴、可复制教学改革的成功经验，对于计算机专业其他课程的教学、改革、提高，都有着十分重要的积极意义。
1.教学内容的标准化与个性化
长期以来，各高校都采取选择有教学经验的优秀教师，进行大班化的教学，以缓解优秀教师资源紧张的状态，也就是俗语中所说的上大课。这种教学方式好处是提高优秀教师的利用率，缺点是现场教学效果不好。
随着时代的发展，高校为了提高教学质量，提高学生的学习兴趣，纷纷采取小班化教学。小班化教学的特点是，教师采用现代科技手段，运用多媒体、制作幻灯片、制作幻灯片进行教学。教师进行近距离讲课，便于现场和学生互动，搞活现场教学气氛，提高学生学习兴趣，提高学生学习效果。
小班化教学固然好，但是也存在着现实问题。从学生的角度来讲，在各个小班化中，有可能出现各个教师根据自己的教学经验，所制作的教学幻灯片、幻灯片不一样。用制作的不相同的幻灯片、幻灯片进行教学，就可能会出现各小班教学效果的不相同，同时也有可能会出现各个小班教学进度的不一样。但是，到了在期末，学校考核学生都采用同一个标准，学生考试都采用同一个试卷。这样最终的结果是，会给学生的学习带来困难，学生的考核、考试结果也会相差很大。
从教师的角度来说，教师主要任务、主要精力就是备好课、教好课。为此，教师课前需要花大量时间进行备课，要研究所教课程哪些是重要点、哪些是难点，哪些需要重点讲，哪些是一带而过，哪些需要讲推理过程，哪些需要讲解例题、习题。教师在上课前需要一一准备好。如果让教师在花费大量时间进行备课的同时，再让教师花时间、花精力去做幻灯片，再去优化、美化幻灯片的内容，教师的时间、精力肯定不够的。所制作出的幻灯片肯定是不理想的，其效果肯定是达不到预期的。最终会影响到教师教学的效果。制作幻灯片，并在里面填入教学内容是一个综合性的工作。如果对幻灯片的教学内容进行标准化，对幻灯片的制作过程进行标准化，就可以较好地解决这些问题。
具体方案如下：
我们可以把离散数学这一门课的教师组成一个教研组，由擅长幻灯片及资深的教师领头，所有教师共同努力，制作完成一套成熟的标准化幻灯片。让教离散数学课好的资深教师，以公开课或网络课程等形式向其他教师示范讲课，在宣讲中讲明离散数学课程教学中应该注意的重点、难点，讲明课程中各个部分需要花费的教学时间。让其他教学经验相对不足的老师从中能够得到学习，从中得到提高。
这样做能够带来两点好处，一是避免其他老师因经验不足而使课程讲解不透彻，重难点不突出，教学进度不一致等问题，二是避免所制作出的幻灯片不够成熟，不够美观、不够不清楚而影响课堂效果等问题。另一个方面，我们要求所制作幻灯片标准化，所讲课内容的标准化的同时，也要根据教学实际情况，允许教师保持一定的教学个性。每一位教师有着自己教学经验，有着自己的教课习惯，有着自己的教学风格，讲授知识的过程无法完全统一。因此，老师可以根据自身教学实际情况，在保证重点、难点不变的前提下，进行修改标准化幻灯片，讲述内容也可以依照自己的风格进行适当修改，从而保证教学质量。
2.教学层次化
高校所招的一批学生，层次的高低水平必然有所差异。对于层次不同的学生来说，适当按基础进行分班教学，可以提高学生学习兴趣，可以提高教学的质量。
按基础分班教学，教师可将教学内容分层次，分为必须掌握的内容、选择掌握的内容，以及扩展内容。教师可根据所分班学生的基础的高低，进行有针对性的教学，以达到所有同学共同进步。
如果不按基础分班教学，所有学生都学习相同内容，在有限的课时学习，基础不好的学生在听扩展内容时可能会听不懂，甚至可能导致必须掌握的内容、选择掌握的内容也学得不好、不扎实，最后有可能影响到学生整体学习的效果。
我们再分析一下离散数学教学的一般最常见问题，笔者在调研发现，一个班级里大多数学生在学习离散数学后都觉得有难度，听不懂，最后考核后不及格率很极高。所以，在离散数学教学上，也要按基础分班，分层次教学。教师应将教材分为必须掌握的内容、选择掌握的内容，以及扩展内容。要求学生在学习离散数学中，要掌握教材中必须掌握的内容。其它学习内容，再根据学生下一步的学习能力、层次而定。我们不应舍本求末，不能重点、难点模糊。
因此，在离散数学讲课内容的标准化的基础上，教研组可一起讨论，根据教学班级的实际情况，将一些班级讲授最基本教学内容、教学安排保持不变，花费时间花精力讲授必须掌握的内容，让学生能掌握教材中最基本的知识。可将另外一些班级在讲授必须掌握的内容的基础上，再讲授一些选择掌握的内容，以及扩展内容，让学生多学习掌握一些知识。扩展内容可根据实际教学的效果分配教学的时间，从而把离散数学讲课内容分层次，做到有针对性的层次化教学，把重难点精细化，动态调整习题讲解及与学生的互动。
3.教学形式多样化
现今，计算机信息化技术大力发展，网络教学、在线教育大规模兴起。在线教育有着其独特优势，一是学生随时随地使用电脑，甚至一部手机就能接受教育，不需要花费时间赶到课堂上听课，教学时间灵活，二是学生可以反复听，不懂的地方也可以多听几遍，复习时再听一遍，减慢学习的进度以适应掌握的程度，三是学生可以留言给老师互动，老师来讲解、来及时解疑。所以，在线教育开辟了一条新的通往“书山”的道路。
尽管如此，课堂教育不能完全舍弃。其一，教师学生是互动两方，面对面教育十分必要，它不仅能达到良好的气氛和学习效果，教师还能针对学生的问题，提出改进措施并且布置作业，对学生作业进行批改指正。其二，学生都是有惰性的，让所有学生自觉的课后自主学习不现实，最后不仅达不到学习目的，连基本的学习都达不到。因此，现今，慕课的形式受到推崇，对重要基础课程应该进行课堂教育，教师在网上录好课程学习，学生再及时复习课堂教育，做到两者相结合，提高教与学的质量。此外，对于一定基础的学生，设计研究性学习方法。美国数学家哈斯勒·惠特尼[4]提出使用自己的直觉来解决问题，把研究融入教学的情景中，预设一些情景和问题，并适当性地选择一些问题，让学生自己查阅课外参考资料，再进行讨论，这是一种开放性的学习方式，让所有的学生都参与。先讨论问题，设计问题，再扩展性研究新的问题，升华问题。研究性学习方法能够培养学生的自觉学习能力，归纳问题能力，研究性思维能力，联想思维能力等，激发学生的参与性，以学生为中心教学。研究性学习方法，对于学生的基础有一定的要求，并且需要花费课时来研究课题，而学生的基础不一，很难大面积的推广。可以在部分班级上进行示范性推广，进行研究性学习，加强课堂的学习效果。
（二）从教学特殊化的特征角度
从离散数学的特殊性考虑，有利于更有针对性的教学。因此，下面从几个方面进行分析：
1.离散数学的思维特征
离散数学作为计算机主干课程，也是一个研究离散性变量的、具有很强数学性色彩的课程。在离散数学中穿插了众多的定义、定理、推理，抽象化程度很高。不应把离散数学作当作普通的计算机课程，而应当作一门综合数学类课程。培养的过程应注意几点：
其一，在教学的过程中进行数学化思维的培养，并且严谨地进行学习推理过程，并适当地补充数学类知识；其二，离散数学学习应是一个从头到尾的不停地讨论总结的过程，在每一节课后、在每一章内容后、甚至每一节内容后，讨论概念，总结重点，并把有关系的重点之间标注下来，把不同节课之间的联系、不同章之间的联系、不同节内容之间的联系都记录下来，最后课程被总结成一张重点图表。其三，需要进行抽象化、具体化的统一，离散数学抽象化，很难理解，如何从表面性学习理解，需要花费很多的时间精力，却可能收效甚微，在难理解的重点上，需要转换概念，举例让学生理解，并辅助典型习题，甚至可以以实验程序演示。
2.各个章节各个部分的连接性
离散数学包含数理逻辑、集合论、图论、抽象代数四大部分。其中，几大部分的内部关系为，数理逻辑包含命题逻辑、谓词逻辑两大部分，研究如何数学逻辑表示现实问题，并进行推导过程。在命题逻辑思维基础上，发现了表述的局限性，引出了谓词逻辑的概念。集合论包含集合及运算律、二元关系及函数。
二元关系建立在集合的概念上，函数则是特殊的二元关系，涉及了映射的概念。图论包含图的基本概念、几种特殊的图，即在图的基本概念之上引出较为重要的图及其应用。抽象代数包含运算及性质、典型的代数系统，代数系统为以元素的运算及性质以及与运算有关的公理为基础定义的数学结构[5]。
另外，离散数学中几大部分的关系为，数理逻辑中推理逻辑的概念至关重要，集合论中集合的运算及算律也使用了逻辑语言。集合论中笛卡尔子集之上定义关系，在关系的子集之上定义映射，在映射之上定义抽象代数中的运算，在集合和关系的运算之上定义代数系统，而图论是代数系统的重要分支[6]。
3.离散数学与其他课程之间的关系
计算机专业的后续课程与离散数学息息相关。例如，集合论中的集合二元关系，图论中的图、树都在数据结构中应用到，数据库原理也涉及到了数理逻辑关系以及二元关系。具体地来说，数据库原理中重要的一类数据库为关系数据库，关系数据库中的数据以二维表的形式储存，实体与联系为有序的n元组，多个有序n元组组成的集合为二维表。又例如，图论在计算机图形学、计算机网络都作为相关概念的基础，只有将图论概念了解透彻，在学习中能节省查找资料的时间，打下深厚的基础才能学好后续课程。
数理逻辑用到程序优化中，学生不仅需要编写出程序，还需要练习编写高效率的程序，理清程序的脉络，检查程序是否冗余，也是程序优化重要一关。人工智能中经常涉及逻辑，用来描述及验证是否进入某一状态，涉及相关知识处理，并且涉及演绎推理，从已知知识推理未知知识。信息安全中则用到群、初等数论。群、初等数论作为一个重要的数学结构，并且适用了数学计算的规律[7]。
通过以上例子可以看出，离散数学不仅仅是一门独立的课程，而且在学习过程中，必须明确各个部分在其他后续课程的应用，而不是当作孤立的知识，陷入死板的学习中。研究与应用作为计算机中两大分支，学习完知识，必须学会如何应用。教师在教学中必须有意识的明确引导学生去思考学习到的知识的应用，在教学中重点点明。
4.离散数学的实践
离散数学作为一门重要基础课程，不能脱离实践。理论课程也可以辅助实验课程，提高学生对课程的兴趣与理解。适当的选取一些有意义的典型的问题，让学生编写算法程序上机实验。以小组或个人为单位，分别命题，让学生写出方案，并且写出对题目的思考。进一步的，出一些扩展的有难度的问题，给学生作为加分项目，有条件的可以举办离散数学实践大赛，组织学生参加，以锻炼学生的动手能力和勤于思考的能力。
5.离散数学的考核
离散数学的考核往往以试卷的形式出一些题目，再计算平时的表现。考核方式单一，无法完全实现课程的培养目标，也无法完成培养学生的专业素养。针对考核方式，笔者有如下建议：
a.在平时的表现考核中，增加多次主题论文，规定学生写的论文不能有雷同，可以是某个主题写自己思考或写不同知识点的联系区别等。
b.加入实验报告的形式，把4中离散数学实验作为考核的部分，最后期末考核也可以引入一次上机实验。
c.在平时的学习中，也可以引入类似翻转课堂的形式，让学生先预习，然后每个学生轮流在课上讲一段，可以讲新的内容，也可以讲自己的感想，作为平时成绩的一环。
三小结
离散数学作为一门基础课程，与其他专业课程有同等地位，离散数学的教学研究有利于提高教学效果，使学生在学习中有更好的学习体验，以适应现今工程教育的需要。其他课程的教学研究同样可以借鉴，所有课程的学习课程教学原理是共通的。另外，一些课程是作为一个课程体系出现的，不应被孤立地看待，在教学中以系统整体方式对待课程。离散数学的教学研究必然需要在实践中不断探索总结、不断更新、不断交流，以达到素质教育、能力教育的目的。
参考文献
[1]屈婉玲,耿素云,张立昂.高等数学（第二版）[M].清华大学出版社,2008.
[2]左孝凌,李为鉴,刘永才.离散数学[M].上海科学技术文献出版社,1982.
[3]徐洁磐.离散数学导论（第二版）[M].高等教育出版社,1991.
[4]叶青,米春桥,唐波.地方应用型本科院校离散数学研究性教学改革与实践[J].大学数学,2016,32(6):53-56.
[5]杜衡吉.地方师范院校计算机专业《离散数学》教学改革探讨[J].教学园地,2013(25):55-57.
[6]陶丽娜.具有计算机专业特色的离散数学教学改革探讨[J].科技视界,2018(22):95+69.
[7]戴娟.高职院校离散数学与数学教学改革[J].常州信息职业技术学院学报,2004(04):27-28.
关注SCI论文创作发表，寻求SCI论文修改润色、SCI论文代发表等服务支撑，请锁定SCI论文网！ 文章出自SCI论文网转载请注明出处：https://www.lunwensci.com/jiaoyulunwen/28229.html
