“数值分析”课程教学改革的思考与建议论文

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摘要：数值分析是数学专业的主干课程之一，本文结合课程自身特点，从课程目前存在的问题出发，在教学内容和教学方法方面提出了几点教学改革建议。经实际讲授，效果良好。

关键词：数值分析；教学方法；教学改革

本文引用格式：李俊玲，等.“数值分析”课程教学改革的思考与建议[J].教育现代化,2019,6(24):62-64.

        数值分析也称计算方法，是高等院校数学及多数理工科专业的必修课程，是一门重要的专业课。它是数学与计算机技术结合的一门学科，是利用计算机解决数学问题的理论和方法，是计算数学的一个重要分支，在工程技术的数学建模及问题求解中有广泛应用[1,2]。

一“数值分析”课程教学改革的思考

        下面结合文献[3]，简要分析一下现有的数值分析课程教学中存在的几个问题。一是课堂趣味性不强，公式繁多冗长，且需要一些先修课程作为基础，比如：线性代数，数学分析，常微分方程等。对基础性知识相对薄弱的学生，学习的主动性不高，并且对各方法中繁琐公式的推导，易产生排斥心理。二是理论性强，知识点多，各章节之间衔接较少，学生理解起来比较困难，所以学习起来有些吃力。三是尽管现在都很重视课程实践，但很多实践内容的设计与理论脱节，大部分实践课时安排在理论授课结束以后。应遵循实践与理论相结合的原则，让学生在实践中自己得出结论，从而使实践在理论授课中达到承上启下的作用。四是学生没有充分认识到学习这门课程的重要性和实用性，因而在课程学习遇到困难时，往往选择放弃学习。

        基于这些问题，结合文献[3-6]和笔者几年来的讲授经验，提出了几点教学改革建议。为激发学生学习兴趣，引入一些或真实或有趣的案例；为活跃课堂气氛，培养学生的数学素养，穿插数学史和数学家的介绍；为引导学生自主思考，采用由问题驱动的启发式教学[5]；为加深理论与实践的联系，在理论授课中穿插实践[6]，诱导学生自己在实践中得出结论；为激励学生的学习意愿，把现代数学的最新发展、最新思想引入到课程中来，让学生认识到本课程的重要性，介绍与数值分析交叉的其他新兴学科，以及该课程所学算法在这些交叉学科中的应用。

二“数值分析”课程教学改革的建议

（一）引入真实有趣案例，增强学生代入感

       在教学过程中，加入一些真实有趣的案例，加深学生印象，从而对相关数学概念有更直观和深入的理解。例如，在讲授舍入误差时，引入了下面的历史真实案例。例1因舍入误差导致的重大灾难——因特尔奔腾处理器缺陷。
1994年夏天，因特尔公司满怀期待着其新的奔腾处理芯片在商业上的成功，以同样的时钟频率运行，新的芯片运算除法比以前的芯片快两倍。就在此时，弗吉尼亚的数学家托马斯∙莱斯利教授正在利用装有新奔腾芯片的计算机上计算素数的倒数之和，其计算结果和理论上的结果相差很大，而在一台老式486CPU的计算机上运算结果是正确的。最后，莱斯利把误差归咎于新的因特尔芯片，在与因特尔接触并且几乎没有得到回应后，莱斯利在因特网上发表了一封公开信寻求其他人来证实他的发现。这份邮件引发了诸多热议，以致数月后，IBM公司停止了其奔腾机器的出货，并在12月底因特尔公司应要求同意更换所有有缺陷的奔腾芯片，公司预留了4.2亿美元的准备金作为补偿费用，一笔为缺陷的巨大投资。那么新的芯片在算术运算中到底发生了什么样的错误？《纽约时报》刊出了下述奔腾处理器缺陷的例子：设A=4195835.0，B=3145727.0，考虑A−(A/B)×B。显然在精确的算术运算中，结果为0，但奔腾处理器算出的是256，这是因为商值A/B只精确到5位小数处。再例如在讲授误差的累积与传播时，首先以蝴蝶效应为例进行说明，然后引申到学生自己，告诉他们现在的努力累积起来会对未来的自己产生很大改变。最后再给出下面的有趣案例。

        例2截断误差的累计——百万富翁的诞生在1999年的电影《上班一条虫》中，其中一个角色创造了一个程序，把银行交易截断的零碎分币值存到他自己的账户。这并不是一个新的主意，曾经尝试这样做的黑客已经被捕。我们可以模拟这个程序来计算，假设已经访问了50000个银行账户，各账户余额均匀分布在100-100000元之间，年利率设为5%，每天按复利计，将截断的零碎分值存到一个初始余额为0元的非法账户中，试试看需要多少天成为百万富翁？再比如引入插值的概念时，先举一维和二维的例子，然后采用下面的例子生动形象的给出插值的应用背景。借助这些有趣的例子，让学生对插值先有个直观的认识，再来讲授插值的概念等内容。

         例3如图1所示的动画制作中的关键帧插值。动画制作中的中间帧（中间画）是由关键帧（原画）采用插值方法给出的。

（二）穿插数学史，培养学生数学素养

        在教学过程中，穿插一些数学史，讲授以某个数学家命名的方法时，顺便介绍一下这个数学家的相关信息，这样既能增加课堂趣味性，又能培养学生的数学素养。

         例如，在讲授求解线性方程组的Gauss消元法时，介绍一下这个印在德国马克上的有史以来最伟大的数学家的生平、与数学相关的趣事以及他在数学方面的研究成果；在讲授求解非线性方程的Newton法时，也顺便介绍一下这位科学巨匠的数学成果；在讲授Lagrange插值和Newton插值时，讲述一下插值的起源、历史以及两人在插值方面的贡献。

（三）启发式教学加课后实践，诱导学生主动思考

        整个教学过程，采用启发式教学，以问题驱动值函数？（利用Weierstrass逼近定理给出说明。）满足条件的插值多项式是否存在，存在时是否唯一？给出唯一性的定理并证明；然后是如何求解插值多项式？借助不同的基函数给出Lagrange插值和Newton插值的推导过程；最后是问题解决的怎么样？即插值余项的结论。

          再例如讲授数值微积分部分，首先提出问题，为什么要考虑数值微积分？让学生自己认识到哪些问题传统微积分方法的无法求解；接下来就是如何给出微分或积分的近似值？引导学生从微积分的定义和几何意义出发，给出微积分问题的数值计算方法；进一步提示学生结合已学插值相关内容，给出基于插值的数值微积分方法；最后是近似的效果怎么样？即误差部分的相关内容。

（四）承上启下式的课后实践，让学生在实践中自己得出结论

       “纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行”，数值分析的学习离不开课后实践[4,6]，学生自己动手操作一遍得到的结果印象往往更深刻，所以各章节内容都给学生留一定的实践作业。这些实践作业可以是已讲授内容的实践巩固，也可以是待讲授内容的提前演练。
 
        例如在Lagrange插值内容讲授时，先课堂举例，对同一个函数分别采用线性插值和抛物插值，比较二者的近似效果。然后提问学生，是否插值节点越多插值效果越好？随着插值节点的增多，插值多项式是否一致收敛到被插函数？接着留一个课后实践题，给两个被插函数（其中一个是Runge函数），要求学生分别取不同的节点数（例如n2,5,10）来构造Lagrange插值多项式，比较插值效果，并结合实践题的结果回答上面的问题。这样学生既巩固了Lagrange插值的程序实现，又提前了解了多项式插值的Runge现象，下一次再在课堂上讲授Runge现象和分段插值，学生可以更好的掌握这部分内容。

         再比如病态方程组部分的讲授，在讲解内容之前，先抛出一个问题：对线性方程组，当系数矩阵发生微小变化时，解向量是否也只发生微小变化？然后留两个实践作业，以Hilbert矩阵为例，一是让学生求解以3阶Hilbert矩阵H3为系数矩阵的某个线性方程组H3 xb（给出精确解），要求学生对系数和右端分别保留三位和两位有效数字，利用Gauss消元法给出方程组的解，并与精确解比较，对上面抛出的问题给出结论；的方式[5]，诱导学生自主思考。各章节内容的讲授另一个作业是计算各阶Hilbert矩阵||H||围绕三个问题进行展开：为什么要提出这个问题；如何解决这个问题；解决的效果怎么样。例如讲授插值部分，首先提出问题，为什么要做插值？什么时候需要用到插值？先举实例让学生理解插值的定义，接着提问为什么选多项式作为（n3,4,...,10）的值。这样学生既巩固了Gauss消元法和矩阵范数的程序设计，同时事先对病态方程组有了直观的认识，接下来再来讲授病态方程组的定义和条件数等内容，学生印象更深，也更容易接受和理解。

（五）与时俱进，激励学生学习意愿

         把现代数学的最新发展、最新思想反映到课程中来[3]。近年来，随着大数据和人工智能的兴起，掀起了一轮学习数据挖掘、机器学习相关课程的热潮。事实上，数值分析中的算法也经常在机器学习等课程中出现，其中具有代表性的有梯度下降法，主要运用在线性回归、逻辑回归和神经网络方面；还有牛顿法，主要用在线性回归等问题中。课堂上简要介绍一下这些算法的基本思想，告诉学生通过数值分析课程的学习，机器学习、人工智能等课程相关算法的学习将会变得更容易，进一步让学生认识到本课程的重要性和实用性。

三结语

         本文针对现有数值分析教学存在的问题，本着激发学生学习兴趣，让学生更好地理解和掌握课程内容的原则，提出了几点教学改革建议。经实际讲授，学生的反馈良好。

参考文献

[1]李庆扬，王能超，易大义.数值分析：第5版[M].北京：清华大学出版社，2008.
[2]同济大学计算数学教研室.现代数值计算：第2版[M].北京：人民邮电出版社，2014.
[3]杜延松.关于《数值分析》课程教学改革研究的综述和思考[J].大学数学，2007，（2）：8-15.
[4]吕娜.高等数学教学改革的几点思考[J].教育现代化，2017，32:111-112.
[5]聂存云，陈晓玲，杨继明，等.“问题驱动式”教学法在“数值分析”课程教学中的应用与研究[J].湖南工程学院学报，2016（6）：100-104.
[6]肖飞雁.“教学做”一体化教学模式在“数值分析”教学中的研究与实践[J].大学数学，2016,32（1）:66-70.

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