摘要:数学模型是抽象数学知识与现实生活的重要中介,小学生形成数学模型意识、掌握数学模型思想后,能更有效将数学知识转换为数学应用能力。本文聚焦小学生数学模型意识的培养,认为教师应制订长期的数学模型意识培养计划,循序渐进地培养学生的模型意识,让小学生先形成符号意识,再逐步加深对数学语言的综合认知,最终形成应用数学模型的意识。
关键词:小学数学,模型意识,教学策略,进阶培养
《义务教育数学课程标准(2022年版)》(以下简称“新课标”)提到“数学模型意识”这一核心素养的培养目标是让小学生了解数学模型可用于解决各类生活问题,并初步形成运用数学概念和方法来解释或解决现实问题的能力。与数学模型意识相关的训练具备一定的实践功能,能帮助小学生加深对知识的理解,提高其数学应用能力,也能同步锻炼小学生的运算能力、推理意识和应用意识。
一、小学生数学模型意识的发展要求
数学模型意识与数学模型观念是数学建模能力发展的基础。《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》将数学建模定义为数学学科核心素养之一,具体指将现实问题进行数学抽象化处理,并使用数学语言表述问题、用数学方法建构模型并解决问题的能力。可以说,数学建模素养是数学学科高层次学习和应用的核心素养。但对小学生来说,要求其使用数学语言表达各类陌生和复杂问题,或用数学建模解决相应问题,显然不太现实。新课标下调了数学建模这一核心素养的培养目标,分为培养模型意识和模型观念两个低层次发展阶段:培养数学模型意识的重点是让小学生感受数学模型的普适性,要让其形成主动探索和应用数学方法解决生活问题的基本意识;培养初中生的数学模型观念,重点是让其对所学数学模型在解决哪类现实问题时更具优势,对数形转换、方程、函数等方法的应用情境有所了解,有意识地精准选择数学方法。
需要注意的是,培养数学模型意识、数学模型观念、数学建模能力的侧重点不同,小学阶段更注重习惯培养,初中阶段更注重在应用中总结经验和进一步培养习惯,高中和更高层次的数学教学则强调对数学思想及方法的灵活应用与组合。仅就小学阶段数学教学的要求来看,教师应厘清教学重心,避免过度强调建模的合理性,把重点放在学生认知发展和习惯培养上,逐步培养小学生以数学语言和方法来表达、思考和解决问题的意识。
二、小学生数学模型意识的发展逻辑
通过对模型意识、模型观念和建模能力的对比可以发现,数学建模能力的发展要经历多个过程,小学生难以通过先验学习模式快速熟悉并掌握数学建模的标准方法,而是要通过大量实践和训练等后验性的方法习得建模能力。对小学生而言,开展重复性生活化实践、跨学科应用训练虽然能够培养其数学模型意识,但效率偏低,还有导致小学生厌学的风险。教师应结合小学生认知发展和思维方式变化的基本规律,理顺数学模型意识的发展逻辑。
部分一年级小学生在初学数学时缺乏结合生活中计数、计算等的应用来理解数学符号的经验,他们在学习最简单的一级运算时就未对阿拉伯数字和运算符号的指代功能形成正确认识,更习惯以查、数等方式计算结果,在运算训练中常表现出效率低、错误率高等情况。根本问题就在于学生只了解数的计量功能,未充分理解数的符号指代功能,很难在这一基础上总结数学运算的特征与规律,这不仅会导致小学生的运算能力发展缓慢,还会对其后续的模型意识培养造成障碍。因此,在培养小学生数学模型意识前,应先培养小学生的符号意识。
小学生形成符号意识后,能理解数学符号的指代功能,也能初步了解用数学符号简化问题的功能。这时多数小学生还不具备将通俗的现象或问题转换为抽象数学模型的能力,这是由于他们缺乏“对通俗现象或问题进行数学抽象化处理和加工”的经验。在这种情况下,教师应着重培养学生数学语言表达能力,通过大量训练帮助小学生积累相应经验,这样才能逐步提高其提取数学要素、发现数学要素间关系的能力,进而为其运用数学方法解决生活问题积累充足的前置经验。在培养小学生的数学模型意识前,应将数学语言认知和表达能力的培养作为过渡。
当小学生熟练掌握基本的数学语言表达能力后,就可以自然过渡到数学模型意识发展阶段,教师只需设计特定的训练任务或做少量引导,就能有效推动小学生模型意识的发展。
三、小学数学模型意识的培养路径
结合小学生数学模型意识的发展逻辑来看,数学模型意识的培养需要跨越多个学段。建议各小学数学教研组或下设的备课组制订长期的模型意识素养发展计划,分学段培养学生的模型意识:第一学段应以培养数学符号意识为主,培养数学语言表达能力为辅;第二学段应进一步夯实符号意识,强化语言表达能力,初步建立数学模型意识;第三学段以培养数学模型意识为重点,同时排查并巩固学困生数学模型意识发展的薄弱环节、领域,有效促进模型意识发展。在细化分学段核心素养和模型意识的培养方案后,教师可根据以下建议开展各阶段教学设计工作。
1.夯实小学生的数学符号意识
数学符号意识是学生感悟符号的数学功能的意识,其本质是一种将实体转换为抽象符号的意识与能力。一年级小学生在数学学习中会表现出一定的能力差异,这种差异往往会在学习进位加法时集中显现。初学数字和10以内加法运算时,小学生尚可以用查、数替代计算,到进位加法时,一部分不能深入理解数位概念的小学生就会出现心算慢、错误率高的情况。出现这类问题的主要原因是小学生对数学符号的认知存在较大差异,更深层次的原因是小学生间存在多元智能差异。一部分数理逻辑智能较差的小学生对抽象化概念的认知较缓慢,这部分小学生很有可能选择更高效的纯抽象化认知策略,即生硬记忆进位加法规律,不以形象记忆作补充,这样虽然能掌握进位加法,但会将加法与生活应用逐渐割离,不利于数学模型意识的发展。
针对上述情况,教师可针对不同小学生实施不同培养策略。首先,教师应通过多元智能评估量表评估学生的智能特点和认知习惯,并对其进行分组。其次,设计多阶段的数学符号意识培养计划。例如,在人教版一年级上册第3课至第5课的数字认知教学中,教师可将数感和模型意识培养相融合,以“实物计数—非实物符号计数—简洁成组计数”的混合进阶教学和训练为主,让小学生先认识数的功能,再认识实物、数字、符号的关系,然后通过数位变化认识数学中“量”的简化处理。最后,教师根据学情调整教学和训练方案,若小学生的抽象认知能力较弱,便进行完整的混合训练;若小学生的抽象认知能力较强,则可以快速过渡到“非实物计数”单一训练或进阶训练。上述方法可以培养小学生对符号的感知能力,让小学生逐步认识到抽象符号可以代表不易计量的数、反复出现的公式等,并在相关训练中培养小学生以符号替代数、替代简单一级或二级运算结果的习惯。
2.加强学生的数学语言综合认知与表达能力
小学生形成良好的符号意识后,其在解决数学问题时会下意识对直观信息、条件做抽象化处理。
但进入第二学段后小学生将逐渐接触更复杂的数、更复杂的四则运算、涉及几何的数形结合应用等,这一时期小学生的数学符号意识只能用于帮助其理解通俗化文本中的数学条件,小学生很难快速提取数学条件之间的关系。引发这类问题的原因主要有两个,一是更复杂的抽象数学概念很难通过简单的符号表示,二是这一阶段的小学生缺乏对数学关系的深刻认知。
针对上述情况,在小学第一学段后期、第二学段、第三学段前期,教师应开展深入的数学语言认知教学和表达能力培养,提高小学生对复杂、抽象数学概念的认识,丰富小学生对数学关系的感知经验。
首先,教师应着重增强小学生对抽象数学概念的认知。例如,在人教版小学数学二年级上册“角的初步认识”的教学中,教师可以将“在一个端点、多条射线组成图形中查角的数量”“在有多个点的线段上查线段数量”两个问题结合起来,由小学生自主探索更规范、不易出错的计数方法。当其发现“以一侧的线(或点)为参照,逐个查参照线(或点)与之后线(或点)组成的角(或线段)”的规律后,教师可以适时提醒小学生探索计数规律后再计算结果。这种探究训练不以认识等差数列为目标,而是以发现数学规律为主要目标,让小学生意识到组合后的数学符号、特定的数学规律能够帮助其更高效地解决问题或以更简洁的方法描述某种情况。
其次,教师要引导小学生对比数学语言和生活化语言的优劣,使其充分认识数学语言的简洁和逻辑之美,激发学生的学习兴趣。例如,在人教版数学四年级上册“角的度量”的教学中,教师在本节教学结束后可引导小学生回顾二年级学过的角的分类的知识,让小学生对比旧的角的分类方式和新学的角的分类方式,组织小学生讨论并总结两种方法的差异,并以自举实例的方法说明优劣。小学生能够在讨论过程中发现“说出角度”比“说出角的类型”更直观且信息更精准,这种探索能让小学生发现数学语言可以更准确地传达信息,并激发小学生主动总结数学规律的意识。
最后,教师可以通过课堂提问、课后训练等方式锻炼小学生的数学语言表达能力。教师应对小学生数学表达进行点评,重点要对小学生的应用题解题过程和小组自由探究讨论中的表达内容进行检查,对小学生思考问题的逻辑性、表达的抽象化程度和严谨性进行评价,培养小学生规范使用数学语言表述信息的习惯。
3.培养小学生的数学模型认知与应用意识
当小学生形成良好的数学表达习惯后,其能从日常的学科内训练、跨学科实践中积累丰富的应用经验。部分小学生在遇到一些问题时能够习惯性地运用代数思维、整体思想、数学公式等,但其应用还有一定的“片段化”特征。无论是从发展认知还是从培养习惯的角度来看,这种“片段化”的模型应用更接近“基础数学应用”,并非真正的“具备数学模型意识”。其原因在于小学生还未对复杂问题中的模型形成完整认识,未真正理解复杂数学模型的特殊价值。
针对上述问题,可以在小学第三学段重点培养小学生对数学模型的认知和应用意识。
首先,教师可以在各类应用型问题、生活化问题的探究活动中设置开放性任务,让小学生自由选择方法来解决问题,尝试发现更简洁且完整的数学关系。例如,在人教版数学六年级“百分数”的单元复习中,教师可以设计一个混合百分数的四则运算探究题,小学生可以自由选择分数、倍数、分数、小数等转化方法进行计算,探究数的特殊关系,使其认识到数学应用不是简单的公式或定理的运用,而是在充分理解数学知识关系和结构的前提下发现事物的内在规律,以可行、便捷的方法解决问题。
其次,教师可以通过非典型的生活化问题引导小学生转变思维,以模型化的思想分析问题,打破“片段化”模型认知的桎梏。例如,在人教版数学六年级“圆柱与圆锥”的教学中,在安排计算圆锥体体积的作业后,教师可以额外设计“用玩具或生活器具测量圆锥体积”的拓展探究活动,让小学生发现不仅可以用公式计算几何体的体积,还可以用整体和部分的关系、组合的方式等测量或推算几何体体积,认识到复杂的数学问题可以通过数学关系的转化来简化和解决,从而认识到数学模型的宏观性、开放性等特征。这类教学都可基于“开放化探究活动”而设计,不必要求小学生必须以特定的方法解决问题,或给出具体的结论,只要能让小学生养成寻找数学应用中宏观模型的习惯即可。让小学生以这种方式积累经验,能够促进其数学模型应用能力的发展。
小学生数学模型意识的培养是一项长期任务,教师应制订跨越三个学段的长期培养计划,以培养小学生的数感和数学符号意识为开端,以培养数学语言认知和表达能力为过渡,最终培养小学生对数学模型的宏观认知,循序渐进地培养小学生的数学模型意识。
参考文献
[1]魏瑞霞.为“问题解决”而教:小学数学模型思维教育实践[J].人民教育,2022(10):56-58.
[2]俞丽春.小学数学认知结构的意义与建构[J].福建教育学院学报,2022,23(12):86-88.
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