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摘 要：模型意识是小学数学学科核心素养的重要组成部分。文章尝试以“植树问题”一课为例， 通过呈现核心问 题、聚焦核心问题、剖析核心问题和把握核心问题，让学生充分经历感悟模型意识、建构模型意识、完善模型意 识和应用模型意识，培养学生的模型意识，提升学生数学学科核心素养。
随着基础教育改革的推进和发展，数学建模越来越受到重视。《义务教育数学课程标准(2022 年版)》指出，模型意识主要是指对数学模型普适性的初步感悟 [1]。模型意识是小学数学学科核心素养的重要组成部分，是形成模型观念的经验基础。培养模型意识不仅能促进学生数学思维发展， 开展跨学科主题学习， 也能提高学生解决问题的能力，增强学生对数学的应用意识。因此，培养模型意识具有重大的现实意义。
一、缘由：为何基于核心问题培养模型意识
纵观传统的小学数学课堂，大部分教师能认识到数学思想的重要性，有在课堂教学中渗透数学基本思想的意识，积极创新教学理念和方式。但是，小学数学教材的明线侧重数学知识，数学模型思想是隐含其中的暗线，模型意识的培养在实际的小学数学课堂教学中渗透力度不够，存在着一些问题。例如，在教师层面，部分教师对数学模型思想理解不到位，缺少对模型意识的系统认识。部分教师在教学时没有结合学生的学习特征和教学内容，教学方式不符合建模规律，教学没有方向感，新知教学缺乏对模型意识的渗透，练习环节缺乏模型意识的强化，小结环节缺乏对模型意识的提炼，作业布置缺乏模型意识的体现，种种原因导致应用效果不佳。此外，部分教师没有深入挖掘教材中蕴含的模型思想，没有有效整合教材中零散的模型内容，导致教学有模型没思想。而在学生层面，小学生的模型意识相对欠缺，对模型思想的认识流于表面，对数学模型的认识只停留在朦胧状态。
核心问题，即统领一节课的中心问题、关键性问 题，需要学生思考，能发挥问题的价值的问题。本文 尝试以人教版五年级(上册)“植树问题”一课为例， 基 于核心问题， 充分调动学生参与数学学习的主动性， 使 学生深度思考，发现现实生活现象中蕴藏着的数学信 息，用数学的思维把这些现象抽象成数学模型，并用 数学模型解释现实生活中的现象，培养模型意识，初 步感悟、建构、完善和运用数学模型，帮助学生在亲 历建模的过程中培养模型意识， 感悟基本数学思想， 为 发展学生数学学科核心素养奠定基础。
二、策略：如何基于核心问题培养模型意识
(一)呈现核心问题，感悟模型意识
弗赖登塔尔认为， 数学源于生活， 又应用于生活， 数学知识的根源在于生活中的普通常识。学生需要认 识到现实生活中大量的问题都与数学有关，需要关注 数学知识的原型，对现实情境有充分的认识，能用数 学的眼光观察生活情境，发现和提出问题，并运用数 学知识解释现实生活中的现象，分析和解决问题，有 效培养模型意识。而在日常的小学数学课堂教学活动 中，大部分学生并没有完整地接受数学建模的专项课 程学习。学生有时能够记住某些特殊情况下的知识建 模， 但又往往因为生活素材过少、亲身体验不够等， 对 数学模型的认识只停留在表面，没有真正系统地认知 和感悟，没有有效经历数学抽象过程，导致对数学本 质的理解不够透彻，影响了数学建模，模型意识相对 薄弱。
创设合理有效的生活问题情境是培养模型意识的 有效途径。在小学数学课堂教学中，教师要充分利用 学生熟悉的生活素材，适时呈现核心问题，展现生活 中的数学原型，将数学问题生活化，让学生在真实且 有趣的生活情境中理解数学内容， 引导学生自主思考、 深入探究、合作交流等，围绕具有一定思维价值的核 心问题，聚焦知识的本质，由浅入深，逐步推进，经 历从生活原型问题逐步抽象到数学问题的过程，感悟 模型意识 [2]。
例如，在创建全国文明城市的背景下，教师从学 生熟悉的生活情境和已有的生活经验出发，呈现植树 问题：“在 1000 米的小路一边植树， 每隔 5 米栽一棵(两 端都栽)。 一共要栽多少棵树?”学生在梳理条件后提 出各种猜测， 如 199 棵、200 棵、201 棵等， 在复杂情 境中初步感知棵数和间隔数的关系。基于核心问题“到 底需要栽多少棵呢?有什么办法来验证呢?”，学生动 手实践，尝试画图验证，发现较难直接通过画图验证 复杂问题情境的猜想。这可以引发学生的认知冲突。 教师可以使学生利用学习任务单，主动选择较小的数 据， 通过画一画、算一算、找一找、说一说等环节， 在 解决问题的过程中体会：将未学过或者不易解决的问 题转化成已经学过的或者比较容易解决的问题，从简 单情境中发现规律，进而用规律解决复杂的问题情 境，化繁为简。基于核心问题，学生可以在学习中提 高解决实际问题的能力，增强合作交流的意识，养成 主动探究的习惯，初步感悟模型意识。
(二)聚焦核心问题，建构模型意识
建构主义认为， 知识不是简单地通过传授得到， 而 应由学生利用自己已有的知识和经验主动建构的。模 型意识并不是学生天生就具有的，而是一种需要后天 不断努力培养和建构的数学意识。在学生自主探究过 程中，教师不能直接灌输模型意识，而应当扮演好引 导者角色，引导学生聚焦核心问题，对学生进行指导 或点拨，使学生在具体的生活情境中理解问题，经历 感知、理解、想象、推理、抽象、概括等系列活动， 从 现实问题中提炼有用的数学信息， 舍去非本质要素， 在 自主探索的过程中建立更多感性认知，及时归纳、总 结探究结果，亲身经历数学建模的全过程，把握数学 模型的结构特点，建立对数学模型的理解，把新建立 的数学模型真正纳入原有的认知结构中，并逐步建构 模型意识。
例如，围绕核心问题“两端都栽时，棵数和间隔 数有什么关系?”，学生可以选择自己喜欢的较小的总长和间隔长，自主探究，合作交流，展示自己设计的 植树方案。教师要及时列表， 收集汇总学生的做法， 如 总长 10 米间隔长 5 米、总长 20 米间隔长 5 米、总长 10 米间隔长 2 米等情况，引导学生在总长相同间隔长 不同、总长不同间隔长相同、总长间隔长都不相同等 简单情境中， 探究棵数和间隔数的关系， 让学生发现“两 端都栽时棵数比间隔数多 1”这一重要规律。然后，学 生聚焦核心问题“为什么间隔数要加 1?”，借助写一 写、摆一摆、画一画等， 演示树与间隔的一一对应， 明 确多的“1”在哪里，建立“两端都栽”的植树问题 模型，即“间隔数 = 总长 ÷ 间隔长，棵数 = 间隔数 + 1”。面对生活中的实际问题， 学生能够通过观察、分析、 猜想、选择、验证、归纳、抽象等数学活动，采用自 主探究、合作交流等形式，研究“两端都栽”的植树 问题，剥离其他非数学的信息，抽象出数学问题的结 构及特征，即棵树和间隔数的关系，将实际问题初步 抽象成数学模型，这也是学生解决数学问题的前提。 在此过程中，学生还能用数学语言表达现实世界的数 量关系，感悟数学与现实世界的联系，运用数学思维 构建数学模型， 探求解决问题的方案， 建构模型意识。
(三)剖析核心问题，完善模型意识
小学数学教学有严谨的逻辑体系，当建构完新的 数学模型后，教师应及时引导学生联系已建模型，找 出内在逻辑关系。这既有利于学生深入理解新模型， 也 有利于学生进一步完善自身原有的认知结构。举一反 三能力的培养与问题教学之间存在天然联系。在教学 中，教师可以利用一个问题引出其他问题，让学生借 助一个问题解答同类型的问题。数学核心问题应是有 利于学生摸索与揭示事物本质的问题，既要符合问题 的特点，又要满足教学的需要。学生要运用数学语言 表达现实世界中的问题与数学的内在联系，解释表达 的合理性，并结合自主探究的结果及出现的问题拓宽 探究方向，进而完善模型意识 [3]。
例如， 在已经建立“两端都栽”模型的基础上， 教 师可以聚焦“只栽一端和两端都不栽，间隔数与棵数 之间有什么关系?”这一核心问题，让学生以四人小组 为单位， 借助线段图， 用一一对应的方法说明理由， 完 善植树问题的三种基本模型。然后，教师可以让学生 对比分析核心问题：“观察这三种情况，它们之间有什 么区别和联系?”针对植树问题两端都栽、只栽一端、 两端都不栽的三种情况，学生会把树与间隔一一对 应，发现棵数和间隔数之间的关系，抽象出植树问题 实际上是研究线段中的点和线的关系，经历完整的植树问题模型建构过程。在学习过程中， 学生会体会到“发 现—分析—归纳—总结”的本质就是一个小型的科研 过程，能够发展数学思维、完善模型意识。
(四)把握核心问题，应用模型意识
深度学习理论认为，学生的学习就是要对学习内 容达成深度理解和切身体验，要抓住学习内容的本质 属性， 把握知识的内在联系。学生的认识是在“实践— 认识—再实践—再认识”的过程中不断发展的。学生 经历充分的探究活动建立起来的数学模型，并非只是 针对个别数学现象或数学特征，而是对现实生活现象 的本质属性和特征进行抽象概括而形成的典型特征， 具 有一般性。应用是模型的重要价值，模型的存在使问 题的解决存在捷径。应用数学模型，绝不能单纯将模 型看作数学公式进行机械的记忆、复述与运用，而要 将模型作为训练学生数学思维的手段，为进一步锻炼 学生的数学思维服务。
教师要创设不同的问题情境，为学生呈现丰富的 表象积累，组成问题链，引导学生在运用数学模型解 决问题的过程中， 将已经生成的数学模型进行拓展， 衍 生出新的数学模型，回到现实生活情境中去体验和检 验，进一步理解并掌握数学模型。教师要引导学生从 不同角度观察发现模型的共同特征，体会模型的普遍 性和应用价值，了解数学模型是数学应用的基本途 径，可以用来解决一类问题，进一步培养学生主动建 模的能力和应用模型意识。
例如，教师可以利用“植树问题，我们真的只是 研究如何种树吗?生活中有类似这样的规律吗?”这一 核心问题， 让学生结合实际情境， 灵活判断生活中的“植 树问题”——“树”在哪里、“间隔”在哪里，从数学 上的三种植树问题拓展到环形植树问题。教师可以拓 展延伸到历史上著名的“二十棵树”问题——“20 棵 树，如果每行种 4 棵，怎样种植，才能使种的行数更 多?”，使学生学会用数学的眼光厘清不同类型植树问 题的关系，用数学的思维形成一定的解决方法，帮助 学生从各个方面认识植树问题，会用植树问题的模型 解决生活实际问题，用数学的语言表达现实世界。
三、期许：基于核心问题培养模型意识
数学学科核心素养的意义就在于我们应通过数学 教学帮助学生学会思维， 使他们想得更清晰、更深入、更全面、更合理。模型意识是重要的数学学科核心素 养之一，模型意识的培养是社会对人才培养的客观需 求，也是学生全面发展的必要条件。但是，模型意识 的培养是复杂性与综合性并存的过程， 并非一蹴而就。 模型意识的形成无法可视化，因此离不开教师的指 导，这就对教师的教学水平和学生的数学能力提出了 较高要求。
在平常的教学中，教师不能忽略对学生数学模型 意识的培养，教师应提高自身的建模教学意识，善于 在平时的数学课堂上发现、摸索和实践，完善课堂教 学策略，在各个教学环节中反复渗透核心问题，有意 识地培养学生的模型意识，真正让数学思维服务于学 生。教师应基于学生学情，依托核心问题，促使学生 思考和学习，密切联系学生实际生活。教师还要利用 核心问题整合教学内容，以学生为主体，在课堂上给 予学生充分的探究时间和空间，借助多元化的自主探 究活动，丰富学生对数学模型的认知，引导学生运用 已有知识和生活经验开展观察、操作、推理等活动， 经 历感知、感悟、建构、完善和应用数学模型的过程， 把 握数学模型的本质。
四、结束语
教师基于核心问题， 培养学生的数学模型意识， 有 利于学生养成良好的数学思维习惯，使学生对数学规 律产生更深层次的认识，感受学习数学的乐趣和价 值，真正实现深度学习，从而促进学生数学学科核心 素养的发展。
参考文献
[1] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准 (2022年版)[M].北京:北京师范大学出版社,2022.
[2] 黄琦.小学生数学建模能力培养的教学现状及提升 策略[D].绍兴:绍兴文理学院,2022.
[3] 王玉.小学生数学模型意识的培养策略[J].基础教育 论坛,2022(7):32-33.
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