SCI论文（www.lunwensci.com）:
摘 要：分类讨论是数学学科的重要思想之一，每年高考题都会涉及到分类讨论思想的考查， 是高中数学教学的重点．为提高学生的分类讨论思想能力，促进其解题能力及数学学习成绩的提 升，教学实践中应采用理论讲解和习题巩固相结合的教学方法，指导学生在不同题型中的应用分类讨论思想.
关键词：分类讨论思想；高中数学；解题
分类讨论思想在高中数学解题中有着广泛的应 用，不同习题分类讨论的切入点及讨论标准存在差 异，因此，教学实践中应为学生做好解题示范，注意 预留“空白”，要求学生认真揣摩分类讨论的标准与 过程，做好方法的归纳、整理，以便理解与掌握分类 讨论法.
1 解答三角函数习题
三角函数题中产生分类讨论的情况主要有周 期、相位、图象的不确定等，解题时应从这些不确定 的对象入手，运用已知条件尽可能的将不确定对象 的范围进一步精确，通过分类讨论尝试推导出矛盾， 从而解决问题.
点评 根据函数f( x ) 在给定区间的单调性，确 定其周期范围，再运用周期公式得出 ω 的范围．结 合图象中的已知点、对称轴进行分类讨论，看计算出 的 ω 是否在解得的范围内，得出最终结果.
2 解答解三角形习题
解三角形 常 用 的 知 识 点 有 正 弦、余 弦 定 理 ， 但在运算的过程中可能会出现多种情况 ，此时需 进行分类讨论．分类讨论的依据有三角形的内角 的分类 ，边的分类等．分类讨论中 ，若某种情况能 推出矛盾 ，则应舍去该种情况；如不能推出矛盾 ， 则该种情况成立.
点评 根据题干中给出的等式，运用正弦定理 进行转化得出 cosA 的值有两个；分别对两个值讨 论，发现 cosA =
不符合题意，而 cosA =
符合 题意，在 cosA =
的条件下计算出△ABC 的面积即可.
3 解答导数习题
导数是高中数学中最易考查分类讨论思想的知 识 [1] . 分类讨论常出现对函数求导后，因参数值的 不确定性，导致函数在不同区间的单调性不同．对参 数分类讨论过程中，判断得出的参数值或范围是否 符合题意.
例 3 已知函数 f( x ) = xex + 1 , g( x ) = a ( ex -1) , 当 x > 0 时，有f( x ) ≥g( x ) , 则实数 a 能取到的 最大整数为( ) .
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
解析 令 h( x) =f( x ) - g( x ) = xex + 1 - a ( ex - 1) = ( x - a) ex + a + 1 , 则 h ′ ( x) = ( x - a + 1) ex .
当 a≤1 时，h ′ ( x) > 0 在(0 , + ∞ ) 上恒成立，此 时，h( x) 单调递增，要想满足题意只需 h(0) ≥0 , 此时 h(0) = 1 满足题意.
当 a > 1 时，令 h ′ ( x) = 0 , 解得 x = a - 1 , 则当 0< x < a - 1 时 h ′ ( x) < 0 ,h( x) 单调递减；当 x > a - 1时，h ′ ( x) > 0 , h( x ) 单调递增；h( x ) min = h( a - 1) =- e a - 1 + 1 + a , 要想满足题意只需 - e a - 1 + 1 + a≥0 ,即 1 + a≥e a - 1. 当 a = 2 时. 3 > e 成立；当 a = 3 时 4> e2 不成立.
综上分析，实数 a 能取到的最大整数为 2 , 故选 择 B 项.
点评 求参数 a 能取到的最大整数，需将问题 转化为恒成立问题，而恒成立对应求函数的最值，因 此，分类讨论主要围绕求函数的最值展开，期间需灵 活应用导数知识.
4 解答数列习题
数列习题中分类讨论常出现的情况有公差和公比的不确定性、通项公式的不确定性等，尤其对于部分数列需将偶数项与奇数项的通项公式分开考虑， 运算时应搞清楚奇、偶项的内在联系，保证推理的严 谨性与正确性．
例４ 已知数列｛ ａｎ ｝中 ａ １ ∈Ｚ，ａｎ ＋１ ＋ ａｎ ＝２ｎ ＋３，前 ｎ 项的和为 Ｓｎ ，若 Ｓ１３ ＝ａｍ ，则正整数 ｍ ＝（ ）．
Ａ．９９ Ｂ．１０３ Ｃ．１０７ Ｄ．１９８
解析 由 ａ ｎ ＋ １ ＋ ａ ｎ ＝２ ｎ ＋３ 得到 ａ ｎ ＋ １ －（ ｎ ＋ １）－１ ＝ －（ ａ ｎ － ｎ － １），则数列｛ ａ ｎ － ｎ － １｝为公比 １的等比数列，则 ａ ｎ － ｎ － １ ＝（ － １）ｎ － １（ ａ １ －２），由数列｛ ａ ｎ ｝前 ｎ 项的和为 Ｓ ｎ 得到：Ｓ １３ ＝ ａ １ ＋（ ａ２ ＋ ａ３ ）＋ … ＋（ ａ １２ ＋ ａ１３ ）＝ ａ １ ＋２（２ ＋４ ＋ … ＋１２）＋３ × ６ ＝ ａ １＋１０２．
当 ｎ 为奇数时 ａ １ －２ ＋ ｎ ＋ １ ＝ ａ １ ＋ １０２，解得 ｍ＝１０３；当 ｎ 为偶数时，－（ ａ １ －２）＋ ｎ ＋ １ ＝ ａ １ ＋ １０２，ｍ＝２ ａ １ ＋９９由 ａ １ ∈Ｚ ，则 ｍ ＝２ ａ １ ＋９９ 只能为奇数，此时无解．综上分析 ｍ ＝１０３ ，选择 Ｂ 项．
点评 数列的的通项公式中含有（ － １）ｎ － １ ，导致数列的偶数项与奇数项的值不同，因此，需将其分 开进行考虑，推理、计算出符合题意的结果．
５ 解答圆锥曲线习题
圆锥曲线是高中数学一个重难点，圆锥曲线习 题中产生分类讨论的情况多种多样，尤以直线与圆 锥曲线的关系不确定时为讨论的切入点，讨论过程 中为减少运算量，提高运算效率，应认真观察图形， 注重几何性质的应用．
例 ５ 已知 Ｆ１ ，Ｆ２ 为双曲线 Ｃ：ｘ２
＝ １（ ｂ ＞０）的左、右焦点，过点 Ｆ２ 的直线和双曲线交于 Ａ ，Ｂ 两点，当△ＡＢＦ１ 为等边三角形，则 ｂ 的所有取值的 积为（ ）．
Ａ ．２ Ｂ ．３ Ｃ．２ ２ Ｄ．２ ３
解析 （１）当过点 Ｆ２ 的直线和双曲线相交的情境如图 １ 时，设｜ＡＦ２｜＝ ｍ（ ｍ ＞ ｃ － １），则由双曲线定义可得｜ＡＦ１｜＝｜ＡＦ２｜＋２ａ ＝ ｍ ＋２，由△ＡＢＦ１为等边三角形，可得｜ＡＦ１｜＝｜ＢＦ１｜＝｜ＡＢ｜＝ ｍ ＋２，可得｜ＢＦ２｜＝２，由双曲线的性质可得｜ＢＦ１｜－｜ＢＦ２｜＝｜ＡＢ｜－｜ＢＦ２｜＝ ｍ ＝２，则｜ＡＦ２｜＝｜ＢＦ２｜，则 ＡＢ⊥Ｆ１ Ｆ２ ，则 ２ｃ ＝４ ｃｏｓ３０ ° ＝２ ３ ，则 ｃ ＝ ３ ，ｂ ＝ ２；
（２）当过点 Ｆ２ 的直线和双曲线相交的情境如图 ２ 时，设｜ＢＦ２｜＝ ｎ（ ｎ ＞ ｃ －１），则｜ＢＦ１｜＝｜ＢＦ２｜＋２ ａ ＝ ｎ ＋２，由△ＡＢＦ１ 为等边三角形，可得｜ＡＦ１｜＝｜ＢＦ１｜＝｜ＡＢ｜＝ ｎ ＋２，｜ＡＦ２｜＝２ ｎ ＋２，又由｜ＡＦ２｜－｜ＡＦ１｜＝２ ｎ ＋２ －（ ｎ ＋２）＝２，解得 ｎ ＝２，则｜ＡＦ１｜＝４，｜ＡＦ２｜＝６，则△ＡＦ１ Ｆ２ 中由余弦定理可得｜Ｆ１ Ｆ２｜２＝｜ＡＦ１｜２ ＋｜ＡＦ２｜２ －２｜ＡＦ１｜ＡＦ２｜｜ｃｏｓ６０ ° ＝２ ７ ，则 ｃ＝ ７ ，此时，ｂ ＝ ６．结合以上两种情境可得 ｂ 的所有取值的积为 ２ × ６ ＝２ ３ ，选择 Ｄ 项．
点评 对于情况一 ，等边△ＡＢＦ１ 位置较为特 殊 ，可借助双曲线和等边三角形性质构建线段之 间的关系 求 解．对 于 情 况 二 ，则 需 应 用 余 弦 定 理 进行运算．
综上所述，应用分类讨论思想解答数学题时，应 明确为何要进行分类讨论，分类讨论的依据是什么， 怎样对分类讨论的结果进行合理取舍，等［２］．解题 教学中，为使学生掌握技巧、把握思路，既要展示经 典例题，又要加强专题训练，启发学生的同时，帮助 其积累丰富经验，增强应用能力．
参考文献：
［１］ 俞洁．高中数学问题中的分类讨论思想例谈［ Ｊ］．中学数学，２０２２（０３）：３５ －３６．
［２］顾宣峰．分类讨论思想在高中数学解题中的应 用［ Ｊ］．高中数理化，２０２１（ Ｓ１）：２０．
关注SCI论文创作发表，寻求SCI论文修改润色、SCI论文代发表等服务支撑，请锁定SCI论文网！
文章出自SCI论文网转载请注明出处：https://www.lunwensci.com/jiaoyulunwen/76101.html
