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摘 要：文章在已有研究的基础上，对 2016 - 2021 年全国大部分地区高中数学联赛初赛试卷中的数列试题进行了分析探究.文章将数列试题归纳整理成了求通项公式、数列求值、数列求和、与 函数方程结合、与不等式结合、概率计算、存在性问题、数学归纳法、数列创新定义及其他探究类型 十大类.
关键词：高中数学联赛初赛,数列,试题研究
1 研究缘起
数列是高中数学联赛初赛的必考内容之一，由 于数列知识的命题灵活度高，成为数学联赛的一大 难点，参赛选手若能够攻克这一难点，相信对提高其 竞赛成绩定有所帮助.另外，国内关于专门研究高中 数学联赛初赛数列试题的文章较少，因此笔者希望 通过文章的论述，能够为此问题的研究提供一些参 考.最后，数列试题往往知识容量大，题目的综合性 较高，对学生的思维能力、创新能力以及运算能力有 较高要求，若是学生对数列试题有所突破的话，相信 能很大程度地提高其数学素养.
2 研究设计
2. 1 研究对象
文章以 2016 - 2021 近六年的高中数学联赛初 赛数列试题作为研究对象，主要从高中数学联赛概述及要求、高中数列知识纲要、高中数学竞赛数列问 题的十大题型这几个方面进行分析.
2. 2 研究思路及方法
文章主要采用了文献研究法和实践分析法.
3 研究结论
文章选取 2016 - 2021 近六年里，全国大部分地区自行组织的高中数学联赛初赛的真题进行统计分 析，数据来源于中国数学会普及工作委员会及各省 市数学会联合编写的《 高中数学联赛备考手册》.
3 . 1 横向数据对比
通过统计 2016 - 2021 近六年的高中数学联赛初赛数列试题发现，可以将试题的提问方式归类为 以下几种类型：求通项公式、数列求值、数列求和、与 函数方程结合、与不等式结合、概率计算、存在性问题、数学归纳法、数列创新定义以及其他探究类型.下面，对 2016 - 2021 年高中数学联赛初赛数列试题题量进行统计分析，具体见表 1.
对上述表格的内容进行分析，可以得到以下一 些信息：
从每年数列试题题量的占比上看，2016 年的占 比约为 20.87% ，其中，数列求值类考查了 11 道，考 查次数最多，约占 2016 年的 25.58% ;2017 年的占 比约为 21.84% ，其中，数列求值类考查了 19 道，考 查次数最多，约占 2017 年的 42.22% ;2018 年的占 比约为 15.53% ，其中，数列求和类类考查了 10 道， 考查次数最多，约占 2018 年的 31.25% ;2019 年的 占比约为 11.17% ，其中，数列求值类和数列求和类 考查 了 6 道，考 查 次 数 最 多，都 约 占 2019 年 的 26.09% ;2020 年的占比约为 16.50% ，其中，数列求 值类考查了 10 道，考查次数最多，约占 2020 年的 29.41% ;2021 年的占比约为 14.08% ，其中，数列求 值类考查了 10 道，考查次数最多，约占 2021 年的34.48%.
从题型的集中与分散程度上来看，2016 -2021年每年考查的题型大致相同.
从表 1 中的信息可以看出，近六年来的数列试题考查数量较为失衡，具体见图 1.
从图 1 可以看出，2016 -2021 近六年高中数学
联赛初赛中数列题的考查数量波动较大.2016 年、 2017 年都多于了 40 题，2018 年和 2019 年都少于了 40 题.到了 2020 年突然上升，达到了 34 题.2021 年又突然减少，与 2020 年相比，少了 5 道题.
从每年数列题目的提问方式上来看，数列求值 问题是近六年数列题中最常考的题目类型，其次是与不等式结合的问题.具体见图 2.
从图 2 可以得出，2016 -2021 近六年高中数学联赛初赛的数列题中，“求通项公式”类考了 16 道， 其中，占比约为 7.77% ;“ 数列求值”类考了 62 道， 其中，占比约为 30.10% ;“数列求和”类考了 32 道， 其中，占比约为 15.53% ;“与函数方程结合”类考了 9 道，其中，占比约为 4.37% ;“ 与不等式结合”类考 了 38 道，其中，占比约为 18.45% ;“概率计算”类考 了 7 道，其中，占比约为 3.40% ;“存在性问题”类考 了 9 道，其中，占比约为 4.37% ;“数学归纳法”类考 了 3 道，其中，占比约为 1.46% ;“数列创新定义”类 考了 24 道，其中，占比约为 11.65% ;其他探究类型 考了 6 道，其中，占比约为 2.91%.
下面，对 2016-2021 年高中数学联赛初赛数列试题的分值进行统计分析，具体见表 2.
对表 2 的内容进行分析，可以得到以下 一 些 信息：
从每年考查数列试题的分值上看，2016 年共计 502 分，2017 年共计 516 分，2018 年共计 424 分， 2019 年共计 263 分，2020 年共计 388 分，2021 年共 计 324 分，总共 2417 分.
从每年考查数列试题分值的占比上看，2016 年 的占比约为 20.77% ，其中，与不等式结合类查了 105 分，分值最高，约占 2016 年的 20.92% ;2017 年 的占比约为 21.35% ，其中，数列求值类考查了 149 分，分值最高，约占 2017 年的 28.88% ;2018 年的占 比约为 17.54% ，其中，数列求和类考查了 129 分， 分值最高，约占 2018 年的 30.42% ;2019 年的占比 约为 10.88% ，其中，数列求和类考查了 68 分，分值 最高，约占 2019 年的 25.86% ;2020 年的占比约为 16.05% ，其中，与不等式结合类考查了 154 分，分值 最高，约占 2020 年的 39.69% ;2021 年的占比约为 13.41% ，其中，数列求值类考查了 68 分，分值最高， 约占 2021 年的 20.99%.
从表 2 中的信息可以看出，近六年来的数列试 题所占分值较为失衡，具体见图 3.
从图 3 可以得出，2016 -2021 近六年高中数学联赛初赛中数列试题所占分值波动较大.2016 年、 2017 年所占分值相对高一些，大于 500 分，2018 年 其次，大 于 400 分，2020 年、2021 年 大 于 300 分， 2019 年所占分值相对低一些，小于 300 分.
从每年数列题目的提问方式上来看，与不等式结合问题是近六年数列题中所占分值最高的，其次 是数列求值的问题，而概率计算的问题所占分值较 低.具体见图 4 ：
从图 4 可以得出，2016 -2021 近六年高中数学联赛初赛的数列题中，“求通项公式”类所占分值为 152.其中，占比约为 6.29% ;“ 数列求值”类所占分 值为 466.其中，占比约为 19.28% ;“ 数列求和”类 所占分值为 393 ，其中，占比约为 16.26% ;“ 与函数 方程 结 合 ”类 所 占 分 值 为 169 ，其 中，占 比 约 为 6.99% ;“ 与不等式结合”类所占分值为 562 ，其中， 占比约为 23.25 % ;“ 概率计算”类所占分值为 46 ， 其中，占比约为 1.90% ;“ 存在性问题 ”类所占分 值为 187 ，其中，占比约为 7.74 % ;“ 数学归纳法 ” 类所占分值为 56 ，其中，占比约为 2.32% ;“ 数列 创新 定 义 ”类 所 占 分 值 为 308 ，其 中，占 比 约 为 12.74 % ;其他探究类型所占分值为 78 ，其中，占比 约为 3.23 %.
参考文献：
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