考研数学题型解析——利用单调有界准则证明数列极限存在论文

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摘要：求数列极限或者证明数列极限存在是考研数学的一个重点题型，近年来对于这部分的考查并不难，也不需要学生运用太强的技巧去解题，但是学生的得分情况较差，究其原因，是学生没有很好地掌握这一题型的解题思路和方法。本文针对这一问题，给出证明数列极限存在的一种常用方法——单调有界准则的解题思路以及解题步骤的正确的、规范的书写方式。

关键词：考研数学；单调有界准则；数列极限

本文引用格式：张璐,孔祥朋.考研数学题型解析——利用单调有界准则证明数列极限存在[J].教育现代化,2019,6(67):114-116.

考研数学的考试大纲自2009年至今未发生变化，要求考生能够系统理解数学的基本概念和基本理论，掌握数学的基本方法。从考研数学的历年真题考查情况来看，考研数学每年考查“三基”的题目占到70%以上，重视对“三基”的考查，淡化了对一些特殊解题技巧的考查。而对三基的考查体现在试卷上便是对常考题型的掌握情况的考查。考研数学的题型已趋于稳定，并且大部分题型有相对固定的解题思路和解题方法，掌握好常考题型的解题方法对考生取得较好的成绩非常重要。

求数列极限这一题型是考研数学的一个重点题型，技巧性并不是很强，但是学生总体得分情况较差，主要是因为学生对于题型的方法总结不够，没有明确的解题思路，还有相当一部分考生书写步骤不规范。单调有界准则是高等数学的一个基本理论，同时也是求数列极限这一题型的常用方法。以下就如何利用单调有界准则证明数列极限存在并求极限这一题型进行详细解析，以给考生一个详尽的解题思路和方法，规范解题步骤。

一 单调有界准则

单调有界准则是判定数列极限存在的一个准则，它的具体内容为：单调有界数列必有极限。其中关于数列xn的单调性有如下定义：

若数列xn满足：n,xnxn1，则称数列xn是单调增加的；若数列xn满足：n,xnxn1，则称数列xn是单调较少的。单调增加和单调减少的数列统称为单调数列。

根据数列单调性的定义，若数列单调增加，那么它一定有下界，首项就是它的下界，那么只需要再证明数列有上界就可以说明数列极限存在。同理，若数列单调减少只需证明数列有下界就可说明数列极限存在。综上所述，单调有界准则在使用时，通常可再进一步表述为：数列单调增加有上界或单调减少有下界则极限一定存在[1]。

二单调有界准则的使用原则

一般情况下，证明数列极限存在的题目可以考虑用单调有界准则，特别地，当数列的通项xn是由递推式（即xnf(xn1)）给定的，通常要使用单调有界准则。若由递推式给定的数列要证明极限存在并求极限，则解题过程要分两步，第一步，先用单调有界准则证明数列的极限存在，即要证明数列的单调性以及有界性；第二步，令lim xna，通过对递推式两侧同时取极限得到关于极限a的方程并求出a的值，从而得到数列的极限。

需要特别指出的是如果想利用上述方法求数列极限，必须先证明数列极限存在再求极限，否则可能会出现错误。例如，数列xn满足x11，xn=1xn1，显然这是由递推式给定的数列，若不对极限的存在性进行证明而直接求极限，令 ，会得到a=1-a，解得a=1/2，即lim xn1 2，而事实上，我们把数列xn的每一项写出来应该是1,0,1,0,L,1,0,L,显然数列xn的极限并不存在。

三 利用单调有界准则证明极限存在的方法

要用单调有界准则证明数列极限存在，需要证明数列的单调性和有界性。有的同学会纠结应该先证单调性还是先证有界性，事实上单调性和有界性的证明是没有先后顺序的，可根据题目本身选择顺序，容易证明出来的先证[4]。证明数列的单调性常用的方法有：定义法，数学归纳法，利用导数符号。下面具体地介绍一下各个方法。

单调有界准则是证明数列极限存在一个非常有效并常用的方法，证明过程并不难，但需要考生总结方法，理清思路，正确规范地书写解题步骤。除了单调有界准则之外，还有几种求数列极限的常用方法，如夹逼准则、利用函数极限求数列极限、定积分的定义、利用数项级数求和、利用级数收敛的必要条件等等，每种方法都有相对固定的使用情况和解题思路，比如定积分的定义可以用来求解n项和形式的数列的极限，利用级数收敛的必要条件可以得到数列极限为零，这些需要考生多多总结方法，熟练掌握这一题型的解题思路和方法。

参考文献

[1]高等数学(第七版)上册[M].北京:高等教育出版社,2014.
[2]李永乐,王式安,季文铎.数学历年真题权威解析(数学二）[M].西安:西安交通大学出版社,2015.
[3]考研数学大纲配套1000题[M].北京:高等教育出版社,2012.
[4]张宇.高等数学18讲[M].北京:北京理工大学出版社,2016.
[5]王丽敏.基于考研需求的独立学院概率统计课程教学改革研究[J].教育现代化,2017,4(45):108-109.

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