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摘 要 :把握住问题的关键才能找到解决问题的通解通法 , 而问题的关键往往隐藏较深 ,解题 时需要仔细甄别 ,这是一个理清本质的过程 ,这样可以做到多题一解 ,分类突破难题. 本文以一道解 析几何为例 ,用同构法破解一类与切线相关的难题.
关键词 : 同构法;切线;定点;最值
1 题目呈现
题目 已知椭圆 E :
+
= 1 ,过点 P(3 ,t ) 作椭圆 E 的切线 PA ,PB ,切点分别是 A ,B ,则直线 AB经过定点( ) .
A. ( 3 0) B. ( 4 0) C. (1 ,0) D. (0 ,1)
2 考生的困惑
本题中切线 PA ,PB 的斜率未知 ,点 P (3 ,t ) 还 含有一个参数 , 考虑到 A ,B 两点还要引入 4 个变 量 ,解题过程中会出现 7 个变量 ,根本无法建立直线 AB 的方程 ,更不可能求解定点 ,思维受阻 ,解答搁浅. 为 了节省时间 ,减少隐性失分 ,学生只能以蒙了事.
3 分析问题
关于圆锥曲线的切线 , 我们有 一 种根据切点 (x0 ,y0 ) 得切线的办法 :将圆锥曲线方程中的 x2 换成 x0 x ,y2 换成 y0 y ,x 换成
,y 换成
, 常数不变 得到该切点处切线. 另外 ,两条切线有交点 ,将 它分别代入两条切线方程后 ,有结构相同的方程出 现 ,利用函数思想和同构原理 , 可以直接得到直线 AB 的方程 ,进而将问题降维成常规题型.
4 题目解答
解析 设 A(x1 ,y1 ) ,B (x2 ,y2 ) ,那么 PA 的方程可以表示为
+
= 1.
将 P(3 ,t ) 代入① ,得
同理 ,
+
= 1.
所以 A(x1 ,y1 ) 满足方程② ,
B(x2 ,y2 ) 满足方程③ ,
进而可得直线 AB 的方程为
+
= 1.
整理 ,得 4yt + 9x - 12 = 0 恒成立.
因此
解得í
所以直线AB 经过定点(
,0) . 故选 B.
评注 通过同构处理 ,有效避开了多个参数对 解题的影响. 进一步思考发现 ,本问题与圆锥曲线类 型无关 ,其他圆锥曲线也可以同理作切线 ,问题的出 口可以是长度问题、面积问题、角度问题 ,但本质都 是要通过同构法求得含参数的直线方程 , 当然参数 设定也可以多种多样 ,最终求得定点 ,依托定点解决 最值问题或角度问题.
5 变式升华
5. 1 变换曲线背景
变式 1 已知椭圆 E :
+ y2 = 1 ,过点 P (2 ,t )作椭圆 E 的切线 PA ,PB ,切点分别是 A ,B ,则直线 AB 过定点______ .
参考答案 (1 ,0) .
评注 新的椭圆背景只是系数变化 ,对问题没 有本质影响 ,俗称换汤不换药!
变式 2 已知双曲线 E :
-
= 1 ,过点 P(1 ,t ) 作双曲线 E 右支的切线 PA ,PB ,切点分别是A ,B , 则直线 AB 过定点______ .
参考答案 (4 ,0) .
评注 双曲线与椭圆的标准方程中虽有“ ± ” 之分 ,但在本类问题中 ,没有实质性的作用 ,用上述 方法均可针对定点问题作答.
变式 3 已知抛物线 E :x2 = 4y ,过点 P(t , - 1) 作抛物线 E 的切线 PA ,PB ,切点分别是 A ,B ,直线 AB 过定点_____.
参考答案 (0 ,1) .
评注 抛物线与椭圆的标准方程存在有无一次项之分 ,但已知切点写切线方程不受变量次数影响 , 所以依然可以用上述方法求定点.
变式4 已知圆 C :x2 + y2 = 1 ,过点P(2 ,t ) 作圆 C 的切线 PA ,PB ,切点分别是 A ,B ,直线 AB 过定点_____.
参考答案
.
评注 圆与椭圆的标准方程只是系数不同 ,但 已知切点写切线方程不受变量系数影响 ,所以用上 述方法求定点是没有任何问题的. 事实上 , 圆、椭圆、 双曲线、抛物线等二次曲线提供了切点法写切线的 可能 ,已知动点的参数为切点连线过定点提供了必 备条件.
5. 2 变换题目出口
变式 5 已知椭圆 E :
+ y2 = 1 ,过点 P (2 ,t )作椭圆 E 的 切 线 PA , PB , 切 点 分 别 是 A , B , 则AB 最小值为_____ .
解析 设 A(x1 ,y1 ) ,B (x2 ,y2 ) ,那么 PA 的方程可以表示为
+ y1 y = 1.
将 P(2 ,t ) 代入① ,得 x1 + ty1 = 1.
同理 ,x2 + ty2 = 1.
由 ②③得直线 AB 的方程为 x + ty = 1.
得(t2 + 2)y2 - 2ty - 1 = 0.
由韦达定理 ,得 y1 + y2 =
,y1 y2 =
.
所以AB=
=
= 2 2 ( 1 -
) ≥ 2 ,
当且仅当 t = 0 时 , AB 取得最小值为 2 .
变式 6 已知椭圆 E :
+ y2 = 1 的左焦点为 F ,过点P(2 ,t ) 作椭圆 E 的切线 PA ,PB ,切点分别是 A ,B ,则 ΔABF 面积最大值为_____.
解析 结合变式 5 , AB =
.
设焦点 F 到直线 AB 的距离为 d ,那么
于是 S △ABF =
AB ·d
令 μ =
,则 S△ABF =2 2 ·
(0 <μ≤
). 当 μ =
时 ,S △ABF ≤ 2 .
即当 t = 0 时 ,S △ABF取得最大值为 2 .
评注 变式 5 ,6 分别从一维、二维角度设置问 题 ,但问题都归结为关于 t 的函数 ,从能力考查来 看 ,没有区别. 另外 , ④处还可以利用基本不等式处 理 ,有兴趣的同仁可以试一试.
变式 7 已知抛物线 E :x2 = 4y ,过点 P(t , - 1 )作抛物线 E 的切线 PA , PB , 切点分别是 A , B , 则
= _____.
解析 设 A(x1 ,y1 ) ,B(x2 ,y2 ) ,那么 PA 的方 程可以表示为 x1 x = 2(y1 + y) .
即 x1 x - 2y1 - 2y = 0. ⑤
将 P(t , - 1) 代入⑤ ,得 tx1 - 2y1 + 2 = 0. ⑥
同理 ,tx2 - 2y2 + 2 = 0. ⑦
由⑥⑦得直线 AB 的方程为 tx - 2y + 2 = 0.
所以直线 AB 过定点(0 ,1) ,此点为该抛物线的焦点!
所以 x1 x2 = - p2 = - 4. ⑧
由 x2 = 4y ,得 y =
x2 . 求导 ,得 y′ =
x. 所以 kPA =
x1 ,kPB =
x2 .
于是 kPA ·kPB =
x1 x2 =
× ( - 4) = - 1. 所以 PA ⊥PB. 因此
= 90 °
评注 ⑧是抛物线焦点弦的一个常用性质 , 因 此证明直线 AB 过已知抛物线的焦点(0 , 1) 十分重 要. 开口向上或向下的抛物线是二次函数 ,用导数解 决切线问题是一个常用技巧.
5. 3 变换参数设置方式
变式 8 已知椭圆 E :
+ y2 = 1 ,过直线 y = x -3 上任一点 P 作椭圆 E 的切线 PA ,PB ,则直线 AB 过定点_____
参考答案 (
, -
) .
评注 设 P ( x0 ,y0 ) , 那么 y0 = x0 - 3 , 进而有 P(x0 ,x0 - 3) . 这里 x0 的功能就是原题中 t 的功能. 直线仅仅是提供参数的一种方式 ,没有其它作用 ,但 容易迷惑学生 ,增加试题的区分度.
通过以上研究 ,我们发现圆锥曲线的这类相交 切线的切点连线必过定点 ,用同构法求解虽然不易 理解 ,但是运算简捷、思路清晰、操作方便 , 为求弦 长、求面积、求夹角等问题铺平了道路 ,是一个优秀 的通解通法.
参考文献 :
[1] 蓝贤光. 过椭圆(双曲线)上任意一 点作切线的 新方法[J ] . 数学通报 ,2014 ,54(03) :56 + 61 .
[2] 李昌成. 由 2019 年高考全国 Ⅰ 卷理科第 12 题 引发的探究—兼谈构造法在立体几何中的应 用 [J ] . 理科考试研究 ,2020 ,27(03) :4 - 7 .
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