对一道二元方程条件下最值试题的探究论文

　　摘要:在简要梳理2020年天津卷第14题多视角解答的基础上，揭示了试题命制的高等数学背景，并对试题进行了变式与推广研究，得到了一些有趣的结论.

 

　　关键词:拉格朗日乘数法；极值问题；逻辑推理；数学运算

 

 

　　题目(2020年高考天津卷第14题)已知a>0，b>0，且ab＝1，则的最小值为.

 

　　本题是二元方程约束条件下的二元函数最值问题，试题设计简洁清新，构思别具匠心，解法灵动多变，饱含数学思想，凝聚命题专家的智慧.同时，试题涉及知识点较多，综合性较强，呈现出一定的综合性与选拔性，需要较高的逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养.

 

 

 

　　在高中阶段，解决此类问题可从方程有解、函数最值(三角代换或导数)、不等式(如基本不等式、柯西不等式等)等视角解答.其中，消参减元转化是解题的基本原则，即把双变量问题转化为一元函数或方程问题，再辅以转化与化归、函数与方程、分类讨论、换元法、配方法等典型数学思想和方法，妙趣横生.

 

　　2.1利用基本不等式

 

　　解法1因为a>0，b>0，ab＝1，


　　令f ′ ( t ) ＝0，得 t＝4.

 

　　当 0 < t <4 时，f ′ ( t ) <0，f(t )单调递减；

 

　　当 t >4 时，f ′ ( t ) >0，f(t )单调递增 ，

 

　　所以当 t＝4 时，f(t )取得极小值f(4) ＝4.
   
       所以的最小值是 4.




 

 

　　本题命制的背景是拉格朗日乘数法求极值问题.其基本原理是:设给定二元函数z＝f(x，y)和附加条件φ(x，y)＝0，为寻找z＝f(x，y)在附加条件下的极值点，先构造拉格朗日函数L(x，y)＝f(x，y)＋λφ(x，y)，其中λ为参数，求L(x，y)对x，y的一阶偏导数，令它们等于零，并与附加条件联立，即



       由上述方程组解出x，y及λ，如此求得的点(x，y)即是函数z＝f(x，y)在附加条件φ(x，y)＝0下的可能极值点.若这样的点只有一个，可确定此点即为所求的点.

 

　　其几何意义是:设给定目标函数为f(x，y)，约束条件是φ(x，y)＝0.如图1示，曲线L为约束条件

 

　　φ(x，y)＝0，f(x，y)＝C为目标函数的等值线族.在f(x，y)，φ(x，y)偏导数都连续的条件下，目标函数f(x，y)在约束条件φ(x，y)＝0下的可能极值点M(x0，y0)必是目标函数等值线族中与约束条件曲线的切点.

　　图1