变式训练教学模式在高中数学解题中的应用研究论文

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　　摘 要：数学是高中教育中的重点课程，数学解题是高中数学教学中困扰师生已久的教学难 关.对于高中数学教师而言，学生在解题中存在严重的思维定式问题，难以精准找出问题解决的突 破口，学困、畏学问题便会由此显现，学生数学解题能力、思维能力与学习水平长期得不到有效提 升;对于高中生来说，数学问题过难、问题条件过繁、解题没有思路、过多过重的题海让人窒息，数学 学习兴趣便会因此下降，探究数学问题解题方法难于登天.因此，在高中数学解题教学中，教师必须 要积极探究与钻研行之有效的手段与方法，力求让学生在最少的题目练习中掌握到更多数学思想 方法，实现数学核心素养的提升.鉴于此，笔者结合自身的实际教学经验提出了变式训练的高中数 学解题教学策略，旨在有效改善传统高中数学解题教学单一、题海战术加重学生学习负担的问题.

　　解题是高中数学教学中的重点课型，在高中数 学课程中占据着较大的教学比重.对于新时代的高中生来说，数学学科知识的学习并不在于数字、数学 原理、数学公式等基础数学知识的积累，更多的则是在于数学思想方法、数学问题解决方法、数学思维方式的锻炼与强化.对于当前的高中数学解题教学而言，加强对变式训练的引进与融合至关重要，这既是 推动促进高中数学教学改革的战术战略，也是保障 高中生能够实现稳定发展、全面发展的必要手段.

　　1 现今高中数学解题教学问题分析

　　1 . 1 教学方法科学性不足

　　目前的高中数学解题教学中，普遍存在教学方法与学生实际学习情况相脱节的现象.部分思维发 展相对较缓的学生在高中阶段会表现出明显的偏科 问题，而多数高中数学教师在实际的解题教学中往往会忽视学生个体所存在的差异化问题，将数学解 题视为单一 的数学原理、公式、概念的简单叠加，频 繁应用题海战术“指挥”学生展开机械做题.这就使 得学生更难以实现高效、深度的数学学习，高中数学 教学分化问题也因此而严重加剧[1] .

　　1 . 2 教学思想缺乏创新性

　　素质教育与新课程改革落实良久，但就目前的 高中教育教学而言，大部分的教师虽意识到素质教 育的重要，但仍会迫于高考压力的影响而将其抛之 脑后.多数高中数学教师的解题教学目标就是为了 提升学生的应试能力，提高学生的高考数学成绩;而 大多数的高中生同样也是抱着“ 高考必胜”的观念 求学的.这就使得师生为了取得高分，而一味频繁地 做题、背题，忽视了数学解题教学的根本溯源，无法 实现有的放矢的针对性教学.
 

　　2 变式训练在高中数学解题教学中的应用价值

　　2. 1 有助于增强学生分析、概括、归纳能力

　　在“题海战术”根深蒂固的影响下，高中生大多 都喜欢通过“套公式”这一捷径解决数学问题，从而 形成了难以突破的思维定式，十分不利于学生数学 综合学力的发展与提升.而在数学解题教学中，合理 地应用变式训练，便能够引导学生通过构造变式的 方式，将已知合理地迁移运用到未知上，从而在促进 学生打破固化解题思维桎梏的同时，更好地提升学 生思维的灵活性，促使学生在多元思路中得到综合 学力的提升.

　　如，在“对数”一课的问题解答中，教师在证明loga N = logc N( 其中 a > 0 ≠1 N > 0 c > 0 ≠1) 中合理引入变式训练.让学生通过变式从数学问题中归纳、概括出对数的换底公式loga N = l(l)og(og)c(c)a(N) , 其中 a > 0≠1 , N > 0 , c > 0 ≠1 与对数的运算性质loga ( MN) = loga M + loga N; loga= loga M - loga N; loga Mn =n loga M( 其中 a > 0≠1 , M > 0 , N > 0 , n∈R) . 如此一 来，学生的解题思路便会更为开放与多元，对数学公 式、原理以及概念等基础数学知识的掌握也会在变 式中得到深化，进而实现综合素质与解题能力的提升 [2] .

　　2. 2 有利于发展学生多维思维和变通思维

　　在高中生数学核心素养的发展过程中，数学思 维起着决定性的关键作用.高中数学解题教学是高 中数学教学中培养与发展学生数学思维的关键渠 道.将变式训练合理地融入于高中数学解题教学之 中，在很大程度上便为学生多变思维、开发思维、发 散思维的发展提供了有利抓手.

　　如，在引导高一学生解答“平面基本性质”的问 题时，教师就可为学生设置题目：

　　已知图 1 所示的四边形 ABCD , ABEF 均为直角 梯形，其中 ∠DAB = ∠BAF = 90 ° , AD = 2BC , FA = 2BE , G , H 为 AD , DF 的两个中点.证明 C , D , E , F 四点共面.在以往的数学问题解决中，教师常会引导学 生用一种方法证明四点共面，这就使得学生会因此 而出现思维定式问题，认为解答此类平面问题的方 式有且仅有一种，而忽视了对解题方法、思路的创 新.而在变式训练教学中，教师就可通过引导学生应 用一题多解的方法展开探究与分析，梳理出两种解 题思路.

　　第一，证明点 D 在 EF , CH 所处平面上.这是常 见的解题思路.

　　第二，通过变式，作 FE , DC , AB 的延长线，分别 交 AB 于点 M , N , 证明 M , N 两点重合即可证明 C , D , E , F 四点共面，如图 2 所示.

　　通过变式，学生的解题思路便会得到极大的开 阔，在日后再度遇到此类平面性质题时，也会从多个 角度、多个层次展开分析思考，从而实现解题能力与 数学学习水平的有效提升.

　　2 变式训练在高中数学解题教学中的有效应用

　　2. 1 一题多变

　　2. 1 . 1 转换问题条件

　　例题 1 已知在平面直角坐标系中存在两个定点 M 与 N , M 的坐标为( - 19 , 16) , N 坐标为( - 16 ,15) . 若存在一动点 P( m , n ) 恰好能够与 M , N 两定 点构成恒定直角夹角∠MPN. 那么动点 P 的运动轨 迹方程是 .

　　在这一问题中明显存在一些干扰因素，在对学生进行变式训练时，教师就可通过引导学生对问 题条件进行变式，有效地排出问题题目条件的干 扰因素，让 问 题 回 归 本 真，从 而 更 为 精 准 地 找 出 问题的解 决 突 破 点，实 现 解 题 效 率 的 提 升，增 强 学生的正答率.

　　变式 1 已知 M 与 N 为同一平面直角坐标系中的两个定点，M( - 19 , 16) , N( - 16 , 15 ) . 如果存在一个动点 P( m , n ) 能够使 PA⊥PB , 那么这一动点 P 的运动轨迹方程是 .

　　变式 2 M 与 N 为同一平面直角坐标系中的两个定点，过 M( - 19 , 16) 作直线 l1 , 过 N( - 16 , 15 )作直线 l2 , l1 始终垂直于 l2 于点 P , 那么动点 P 的运 动轨迹方程是 .

　　2. 1 . 2 透过问题发现本质

　　在高中数学中，存在许多迷惑性的问题，只要学 生能够从问题的表象中开发出问题的本质，便能够 实现对问题的迎刃而解.但由于高中生普遍存在思 维定式问题，这就使得学生在解决问题的过程中常 会被问题条件所迷惑，从而陷入问题的陷阱之中难 以自拔.此时，教师便可通过变式训练，引导学生冲 破问题的层层迷雾，直接捕捉问题的核心.

　　例题 2 三角形 ABC 是等边三角形，过点 A 作 一条与三角形 BC 边相交的直线，交点为 BC 的终点 N 是∠A 的角平分线.

　　变式 3 已知三角形 ABC 为等边三角形，过 点 A 作一 条与 BC 中点 N 相 交 的 直 线.证 明：AN 垂直 BC.

　　2. 2 一题多解

　　在变式训练中，除一题多变外，一题多解同样也 是应用较为频繁的策略.教师可在不改变题设的情 况下改变问题或同时改变题设与问题两种变式训练 方式，有效地发散与活跃学生的解题思维，让学生在 一题多解中学会举一反三，随机应变.

　　2. 2. 1 固定题设，转化问题

　　例题 3 点 P( x0 , y0 ) 为椭圆+= 36 上的 一点，使其与椭圆的两个焦点 Q1 , Q2 的连线相互垂 直.当点 Q1 , Q2 , P 三点为锐角时，那么点 P( x0 , y0 )的横坐标取值范围是?

　　变式 4 已知椭圆+= 36 上存在一 点 P ( x0 , y0 ) , 若想使点 P( x0 , y0 ) 与椭圆+= 36 的 两个焦点 Q1 , Q2 相互垂直.那么椭圆的其中一个焦 点 Q1 的横坐标取值范围是?
 

　　2. 2. 2 同时转化题设与问题

　　例题 4 已知圆 O 的轨迹方程为 m2 + n2 = r2 , Q( m0 , n0 )为经过圆 O 的一点，试求 Q 点的切线方程.

　　变式 5 已知 Q( m0 , n0 ) 是圆 O : m2 + n2 = r2 上异于圆心的一 点，试求 m0 m + n0 n = r2 与圆 O : m2 + n2 = r2 共有几个交点.二者之间存在怎样的 几何意义?

　　变式 6 已知 Q( m0 , n0 ) 不经过圆 O :m2 + n2 = r2 , 在圆 O 的外部，那么直线 m0 m + n0 n = r2 有怎样 的几何意义?

　　总而言之，高中数学本身就是一 门深奥、难懂的学科，数学解题更是难上加难.不仅考验着学生对数学知识、原理、公式的掌握程度，同样也考查着学生思维能力 、学以致用能力以及创新实践意识.可以说，数学解题是发展与提升高中生数学核心素养的关键与基础.因此，身为新时期的高中数学教师，在实际的教学过程中必须要加强对数学解 题教学的优化改革，积极合理地引进变式训练教 学，以此来有效地打破传统数学解题教学的局限 性与单一性问题，有效地发散与活跃学生的数学思维，扭转学 生对数学解题的刻板印象，让学生在一题多变、一题多解、随机应变中体会数学的魅力，感知数学解题思想，实现学习水平与能力的提升.

　　参考文献：

        [1]  周彩霞．高中数学教学中变式教学的运用[ J] .数学学习与研究，2021(28) : 14 - 15 .
        [2]  黄文碧．多元变式教学在高中数学新课改中的应用研究[ J] . 高考，2021(26) : 23 - 24 .

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