变式训练在高中数学解题教学中的实践探究论文

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关键词 :变式训练；高中数学；解题实践探究

数学是构成初中课程条目的最主要部分，也正 是因为这样，才调动了学生们对于数学学习的热情， 因此提升数学质量对提高初中教学水平提高必不可 缺. 结合学生不同的能力和水平，制定出更加具备针 对性和实践性的教学内容和教学方法，才能便于学 生更好的理解数学教学的知识内容，从而获得最大 程度的上的收获.


1 数学解题教学中现存的问题

1 . 1 学生主观原因

学生自学能力差，不能找出问题的重点和难点， 对于自身的掌握状况不清晰，不能明确哪一部分内 容明确或者是不足；课堂缺少解题的积极性，缺乏积 极思考的动力，不擅长主动学习，总是被动的盲目跟 着老师，不能够独立思考；加之数学本身的学科特 点，大多是较为抽象的公式和定理，不便于学生的思 考，而且繁琐大量的计算过程需要强大的计算能力和细心的检查，每一步都是必须要求严格，否则容易出错.

1 . 2 老师教学方式

老师是教授知识的主体之一，是影响知识传授 程度的主要因素，老师的教学观念和态度对学生的 兴趣有很大的影响；现代社会教育体制改革倡导教 学互动，以学生为主体，但有的老师长期采用单一枯 燥的教学模式，缺乏创新，缺少课堂氛围，导致课堂 变得乏味、疲惫，慢慢积累会让学生脱离数学课堂， 失去对于数学学习的兴趣和动力，最终导致数学成 绩的下降，教育质量降低.

2 变式教学的基本原则

变式教学是在已有经验基础上，进行的创造与 创新，其有利于破解思维定势的消极影响，能够在知 识系统的形成过程中进行思维创造，有利于思维发 散与概括能力的提升，提升思维的变通性，拓展思维的宽度与深刻性，促进思维的发展.

2. 1 针对性原则

习题变式教学，不同于习题课的教学，它贯穿于 新授课、习题课和复习课，与新授课、习题课和复习 课并存，一 般 情 况 下 不 单 独 成 课. 因 此 对 于 不 同 的授课，对习题的变式也应不同. 例如 :新授课的 习题变式应服务于本节课的教学 目 的；习题课的 习题变式应以本章节内容为主，适当渗透 一 些数 学思想和数学方法. 复习课的习题变式不但要渗 透数学思想和数学方法还要进行纵向与横向的联系，同时变式习要紧扣考纲.在习题变式教 学时，要根据教学目标和学生的学习现状，切 忌 随意性和盲目性.

2. 2 可行性原则

选择课本习题进行变式，不要“变”得过于简 单，过于简单的变式题，会让学生认为是简单的“重 复劳动”，影响学生思维的质量；难度“变”大的变式 习题易挫伤学生的学习积极性，使学生难以获得成 功的喜悦，长此以往，将使学生丧失信心，因此，在选 择课本习题变式时，要变得有“度”.

2. 3 参与性原则

在习题变式教学中，教师要让学生主动参与，不 要总是教师“变”，学生“练”. 要鼓励学生大胆的 “变”，培养学生的创新意识和创新精神.

3 变式训练实践应用

变式训练是高中一种重要的教学手段，对与学 生纠错起到重要作用. 学生做题出错，代表着学生存 在问题，根据问题产生的针对性训练，能够帮助学生 有效解决存在的问题，从知识、技巧出发的变式训练 最终会沦为机械刷题，从能力和思维出发的变式训 练才能彻底解决学生问题.

3 . 1 能力层面分析

分析学生的错题，首先要分析学生知识和考试 技能方面的问题，但是，不能分析到这里就结束. 在 学生知识和技能分析基础上，还应该分析学生的学 科素养和思维方面的缺陷，甚至是学习习惯和方法问题，这才是学生出错的根本原因. 虽然这些问题解 决起来难度大、周期长，但是只要解决了这些问题， 学生才能有效避免类似错误.

3 . 2 精选变式训练

并不是所有的变式训练都能从根本上解决素养和思维的问题. 这需要教师进行认真研究， 反复挑选才能最终确定. 另外，变式训练不仅仅限于试题，还可以进行实验 、写作 、项目学习等多 种训练方式. 并且，这种训练短期很难奏效，需要 长期坚持不懈.

3 . 3 例题分析

例  已知 a1  ＝1，an  ＝2an －1  ＋1(n ≥2)，求 an .

解析  设 an  ＋λ ＝2( an －1   ＋λ)，不难求出 λ ＝ 1，所以原式可变形为 an  ＋1 ＝2(an －1  ＋1)，令 bn  ＝an ＋1，∴ bn  ＝2bn －1 ( n ≥2)∴ {bn }是以 2 为首项，以 2 为公比的等比数列.后面易得.这种做法要记住这种类型是朝着构造等比数列，但是 an  ＋λ 这个待定系数是算的，而不用死记，当然如果用处只是少记这个系数的话，那么也没有 必要去强调.

变式 1    已知 a1  ＝1，an  ＝3an－1  ＋2n (n ≥2)，求 an . 解析  例题中的待定系数法，an  ＝Aan －1   ＋B 中
的 B 是常数，而现在这里是个含 n 的式子，尝试着 用例题中的待定系数法的方法. 设 an  ＋λ ＝3 ( an －1 ＋λ)，不难求出 λ ＝2n－1，所以原式可变形为 an  ＋ 2n －1  ＝3(an －1  ＋2n －1 ) . 如果令 bn  ＝an  bn －1 ＝an －1   . 但是请不要放弃. 两边加上相同的系数 λ 是不行的，那如果加上 不同的系数呢?

对于右边的 an－1 如果我们将它的 λ 的系数变为 1  好像就可以. 但是右边的 1 是个分数，我们还可以怎么改下会更好呢? 不难想到，将左边的 an   的 λ 系数改为 2.

于是，设 an  ＋2λ ＝3 ( an －1   ＋λ)，不难求出 λ ＝ 2n，所以原式可变形为 an  ＋2n ＋1   ＝3 ( an －1   ＋2n )，令bn  ＝an  ＋2n ＋1，∴ bn  ＝3 bn －1 ( n≥2)∴ {bn }是以 5 为首项，以 3 为公比的等比数列.后面易得.沿着上面的思路，我们不难看出构造不成功的 时候，如果我们能将不成功的地方修改下，距离成功 就会很近了.

做完这道新题后，我们不要这么轻易把它放过， 我们再回头看这道题. 我们在构造时，左边加了 2 λ， 右边加了λ. 那么右边这个 2 是怎么来的呢? 很可 能是题目中的哪个元素呢?

可能是 2n   中的 2! 如果是 2n   中的 2，那么我们 是不是可以猜想 an  ＝Aan －1   ＋B .qn (A ≠ 1，B ≠0，A ≠q)，都可以用类似方法做呢?

练习  已 知 a1   ＝ 1，an   ＝ 2an －1   ＋ 3 n  ( n ≥ 2)， 求 an .解析  设 an  ＋3λ＝2( an －1   ＋λ )，不难求出 λ ＝－3 n，所以原式可变形为 an  －3 n ＋1   ＝2( an －1   －3 n )， 令 bn  ＝an－3 n ＋1，∴ bn  ＝2bn －1 ( n≥2)
∴ {bn }是以 －8 为首项，以 2 为公比的等比数列.  后面易得.经过证明后，大家又得到了一种新的求数列的通项的类型. 这个新类型是在我们之前的待定系数 法的基础上，大家进行了转变，虽然例题两边同时加 λ 的方法不行，但是经过观察，调整下系数后，是可以得到我们想要的结果，这就是变式训练想要得到 的效果.

下面我们用上面的思路来研究下其它类型的题目.

变式 2    已知 a 1   ＝ 1，a n  ＝2 a n －1   ＋ n ( n≥2)， 求 a n .解析  设 an  ＋λ ＋1 ＝2( an －1   ＋λ )，不难求出 λ＝n＋1，所以原式可变形为 an  ＋n＋2 ＝2(an －1  ＋n＋ 1)，令 bn  ＝an  ＋n＋2，∴ bn  ＝2bn －1 ( n≥2)
∴ {bn }是以 4 为首项，以 2 为公比的等比数列.后面易得.以上两个变式与例题中的知识背景是有类似 的，因表达方式的不同，学生在解题的过程中对题意的理解可能出现偏差，但只要能够抓住题目重点内 容以及相应知识点，明白题目的深层含义，这种问题 便迎刃而解了. 采用变式题组可以很好地利用同 一框架结构将知识结构进行体系化处理. 借助变 式，通过特殊到一般 、抽象概括 、总结规律 、推广应用等活动，不仅可以使学生弄清以上基本规律 的来龙去脉，还能将相应类型的题型进行归纳总 结，有利于今后学生对同类问题的识别与对应解 题方法的提取. 用这种方式进行解题教学，可防止学生对所学的基础知识和已掌握的基本技能 陷于低化，故在教学中可借变式帮助学生进行发 散性思维的训练.

3 . 4 深层讲解和指导

针对性训练之后，教师要根据学生训练情况进 行深层次讲解和指导，引导学生研究和分析训练内 容和过程，不断纠正学生思维偏差. 其次，学生要正 确对待变式训练，在训练中要学会研究和思考，这是 思维提升和素养提升的途径.
明确数学知识的本质内容，才能加深对于数 学知识的理解，更好的促进数学知识点的灵活应 用，增强数 学 学 习 的 连 贯 性 和 一 致 性，从 而 进 一 步去帮助学生培养良好的数学思维，提高数学学 习的能力.

参考文献 :

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[3 ] 黄伟业，贾洪全，袁育霞，闫洪杰，徐明. 变式训 练的优势和发展特点的探讨[ J ] .  通化师范学 院学报2018，33 (22 ) :65－66 .
[4 ] 朱剑平. 高中数学解题教学与学生探究能力的 培养分析[J ] . 科学导报，2020，36 ( 1 ) :62－63 .

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