例谈用向量解题的几种常见类型论文

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　　摘要:向量是兼具数与形的一种数学解题工具，向量法体现了数形结合的数学思想．文章通过几道例题阐述了用向量解题的几种常见类型.

　　关键词:向量;数量积;不等式;角度;距离

　　1利用向量证明不等式

　　评析例1与例2中分别是两个和n个字母的代数和，联想到了向量的数量积，从而构造两个向量，将不等式的证明问题转化为两个向量的模长问题，而后利用向量数量积的性质，巧妙地证明了不等式．三道例题层层递进，由特殊到一般进行了推广，但本质都与向量的数量积相关．此处，向量法体现了数学转化的数学思想，是值得深究和推广的一种数学方法.

　　2利用平面向量求平面角

　　评析例3采用了向量的数量积巧妙地对题目所给角的三角函数进行了求解，需要说明的是，此例题除了可以直接利用向量的基本运算求出角的三角函数值之外，也可以建立直角坐标系，将向量坐标化，从而利用向量的坐标运算进行求解．此外，还可以采用其他的一些方法求解，比如转化和化归，利用和差角公式等求解.

　　3利用空间向量判断直线之间的位置关系

　　评析例4是空间中求直线与直线所成角的问题，考虑到直三棱柱的特殊性，可以建立空间直角坐标系，将异面直线向量化，从而将问题转化为求两个空间向量之间夹角的问题．用向量法求解空间中异面直线之间所成的角，有效实现了问题的转化，将抽象问题形象化，培养了学生直观想象的核心素养．当然，对于文科学生而言，可以选择通过平移将异面直线所成的角转化为相交直线所成的角，再用平面几何知识作答.

　　4利用空间向量求线面角

　　评析直线与平面所成的角一般求解步骤是:作垂线—找射影—确定线面角—解直角三角形求角．例5中的几何体是正方体，非常便于建立空间直角坐标系，所以通过建系求出平面的法向量和直线的方向向量，充分利用方向向量和法向量的性质可以巧妙求解线面角.

　　5利用空间向量求二面角

　　评析二面角大小是用其平面角刻画的，如果是在非特殊几何体中，用定义法求二面角的平面角一般比较困难．这时，通过两个平面的法向量，将二面角的平面角转化为两个向量的夹角或其补角，从而利用向量法解决问题，充分体现了向量的工具作用.

　　6利用空间向量求空间距离

　　评析从本例可以看出，向量法可以用于求解线段的长度、证明两条线段相等、求点到平面的距离等问题．向量的大小反映了线段的长度，向量的方向体现了角度问题，两个向量的数量积既包含了线段的长度问题，又体现了线与线、线与面、面与面的夹角问题．所以说，利用向量可以解决平面及空间中的长度、角度、距离等问题.

　　参考文献:

　　［1］任志鸿．十年高考分类解析与应试策略(数学)［M］．北京:知识出版社，2015.

　　［2］董强．一道不等式证明题的多种解法探究［J］.数理天地(高中版)，2016(4):10，12.

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