SCI论文（www.lunwensci.com）
摘 要 :章首课是一章刚开始教学时所实施的，以启发学生思考、构建章节整体结构、渗透数学 思想方法为主要目的课型. 章首课作为“宏观调控”式的教学内容，是非常好的落实培养学生核心 素养的切入点. 它向学生介绍了本章知识学习的必要性( 为什么要学)，大体结构框架(学什么)，蕴 含的数学思想方法( 怎么学) . 本文以“不等式”的章首课教学为例，探究章首课的教学设计与反思.
关键词 :章首课；教学过程；教学反思
笔者尝试上了一 节“ 不等式”章首课，“ 不等式”是苏教版普通高中课程标准试验教科书《 数学 5》( 必修) 第三章章首节. 它对后续的不等关系 、一元二次不等式 、二元一次不等式表示的平面区域 、简单的线性规划问题及基本不等式的证明等学习内容具有“先行组织者”的影响. 以下介绍的是这节章首课的主要教学过程及若干思考， 与同行交流.
1 教学过程
片段一“为什么要学”
师 :本章学习“不等式”，我们为什么要研究不 等式?
生 1 : 因为在生活中有大量的不等关系.
师 :数学中用什么表示这些不等关系? 举例.
生 2 :不等式.
生 3 :例如 x > 1，( a ＋b )2 ≥0，( a －b )2 ≥0，x2 <1，sin60° < 1 … …片段二“学什么”
师 :我们对等式有过大量的研究，我们能对不等 式做些什么研究呢?
生 4 :首先要搞清楚什么是不等式. 用不等号表 示的式子叫不等式.
师规范 :用不等号连接的式子叫做不等式.
师追问 :有哪些不等号呢?
生 4 :“ < ”“ > ”“ ≤”“ ≥”“ ≠”
生 5 :不等式可以研究 一 次不等式，二次不等 式，三次不等式等等，还可以研究有几个未知量的不 等式和不等式的应用.
生 6 : 由不等式想到等式，由等式的性质想到可 以研究不等式的性质.
师 :请举例.
生 6 : 比如由“若 a ＝b，则 a ＋1 ＝b ＋1”类比得 到“若 a > b ，则 a ＋1 > b ＋1”.
师 :类比迁移时需要注意什么?
生 6 :等式性质与不等式性质，他们各自有成立 的前提条件，需要特别注意.生 7 :等式研究的是确定的关系，不等式研究的 是不确定的关系，不确定的关系可能是范围，也可能 是其他形式. 如非常常见的不等式 a2 ＋b2 ≥2ab，它
是个对其它问题有影响的不等式，我们先研究它，再 应用它.
师追问 :确定关系反映在等式上是什么? 比如 x ＋1 ＝0.
生 7 :能把方程解出来.
师 :就是我们可以通过“解方程”来解释这个确 定的关系.
师追问 :那么不确定的关系反映在不等式上是 什么?
生 7 :解不等式.
师继续追问 :你说的非常常见的不等式，我们怎 么研究它? (生 7 回答不出. )
师 :那你认可这样的不等式吗? 怎么说明它可 以被应用?
生 7 :认可，我可以证明它是正确的.
师 :非常好!
生 8 :我考虑的是不等式自身的特性，如恒成 立，再如不等式与不等式之间的关系.
片段三“怎么学”
师 : 同学们说得都很棒! 如果确定了研究的内 容，你打算如何去研究呢? 比如，在初中我们学过了 一元一次不等式，不妨以此为例，我们一起回顾一下 是如何研究一元一次不等式的. 我们解一下不等式 3x ＋2 > 0.
生 9 :不等式两边同时减去 2，得到 3x > －2. 然后两边同除以 3 得到 x > － .
师 :他这样解有依据吗?
生 10 :用了不等式的性质.
师 :还有什么方法可以解这个不等式?
生 11 :画对应的函数 y＝3x ＋2 的图象，在图象 中令 y ＝0 即可得到一元一次方程 3x ＋2 ＝0. 解方程得到 x ＝ － 2 它是函数图象与 x 轴交点的横坐3，标. 不等式 3x ＋2 > 0 的解是函数图象上纵坐标大于零的点的横坐标的集合，即 {x x > －}.
师 :这位同学条理清晰地找到了函数图象、方程 (即等式)与不等式之间的联系，利用函数图象研究 了一元一次不等式解法. 我们在此基础上进一步研 究不等式，可以研究哪一类?
生 12 :一元二次不等式，如 x2 －3x ＋2 < 0，
生 13 :先构造一元二次函数 y ＝x2 －3x ＋2，并 作出它的图象，令 y ＝0，得到 x ＝1 和 x ＝2，也即找 到了函数图象与 x 轴交点的横坐标. 解不等式 x2 － 3x ＋2 <0，就是解 y < 0.
师 :这是从形的角度去思考，能换一个角度解决 一元二次不等式吗?
生 14 :x2 －3x ＋2 ＝0 因式分解为(x －1 ) (x－2)＝0 . 则题意为解(x －1 ) (x －2 ) < 0，然后解不等式组，或进而求得原不等式的解集.
师 :你是怎么想到的?
生 14 :我们已经会解一元一次不等式，那么可 以考虑把一元二次转化为一元一次的问题，因式分 解就是实现转化的一种手段.
师 :如果不能因式分解呢? 如求解不等式 x2 － 3x ＋1 < 0.
生 15 :用配方或求根公式，只要能找到方程的 根，结合图象即可.
生 16 :不一定都能找到方程的根，但是可以作 图，结合图象解决. 比如，x2 ＋ 1 < 0，无解，不等式的 解集为空集. (掌声自然的响起. )
师 :如何进一步求解一元三次不等式，如 x3 － 2x2 －x ＋2 < 0?
生 17 :找到方程的一个根，即可将三次方程降 为二次方程，然后研究三次函数图象，再解决一元三 次不等式问题.
师 :非常好，用了降次与化归的思想方法. 当然， 也许还有一些简便的解法，可待后续研究. 一元不等 式我们暂且讨论至此，在同学们举例的等式中有一 个 x ＋y＝2，这是什么方程?
生 18:二元一次方程.
师:它的解是什么?
生 18:无数组解.
师:怎么表示这些解?
生 19:直线 y＝－x ＋2 上所有的点的坐标都是 方程 x－y＝2 的解.
师:你能仿此等式写出一个不等式，并且求解吗? (先充分独立思考，然后再小组合作讨论. )
生 20:我们组研究了二元一次不等式 x ＋y > 0 的解法. 先画函数 x ＋y＝0 的图象，然后发现直线 y ＝－x 右上方的区域中点的坐标都满足不等式 x ＋y>0，因此不等式 x ＋y >0 的解在直线 x ＋y＝0 的右 上方区域.PPT上呈现问题:
已知 bg 糖水中有 ag 糖(b > a > 0)，若再添加 mg 糖( m > 0)，则糖水更甜(即浓度更高) . 请根据 这个事实写出 a，b，m 所满足的不等关系.
生 21 :a ＋m > a
师:同学们能提炼出实际问题数学化的思维 链吗?(请独立思考 2 分钟，然后小组讨论 3 分钟. 一 个小组发言，其它小组点评. )
师:同学们可以类比证明等式恒成立的方法，来 证明一些恒成立的不等式，请课后完善此题证明.
片段四“梳理知识，归纳小结”
师:学完这节课你知识上、方法上有什么收获? 还有什么困惑吗? 请先独立思考，然后小组合作填 写小结表格.
课后作业: 自学必修五第三章不等式，写出你的 收获、困惑，并设计成一个表格.
2 教后反思
2. 1“等”与“不等”是辩证关系
“等”与“不等”是对立统一 的. 从量的关系上看 “等”是相对的，“不等”则是绝对的；从运算性质上 看，“等式”和“不等式”有相似的一面，如传递性，但 又有差异的一面，如两边同乘一个数等式仍然成立，而不等式不一定成立；从矛盾双方转化来看，“等” 的问题有时要转化为“不等”问题，而“不等”问题有 时又要转化为“等”的问题，如判断一元二次方程实 根情况和解一元二次不等式便是在“等”和“不等” 之间进行相互转化.
2. 2 学生已有认知作为新知的重要生长点
要充分分析学情. 了解学生已经具备了哪些知 识，如学生已有“等式”和已经研究过的“ 一元一次 不等式”的认知；了解学生已有的数学思想方法，如 类比思想、转化与化归思想、降次思想、数形结合思 想；学生已有的研究数学问题的经验，如从特殊到一 般、从低次到高次、从一元到多元、从为什么学到学 什么再到怎么学. 学生已有的认知决定有哪些知识 点作为新授课的生长点，哪些方法和经验可以迁移 到新的学习内容中来，最后引导学生探索各知识点 之间的内在联系，形成知识框架.
2. 3 上章首课的理由
章首课的 内容和研究方法有利于学生搭建知识框架，并能为后续学习本章内容提供重要的思想方法.
2. 4 章首课的形态
章首课宜多“虚”少“实”，宜多“宏观”少“微 观”，宜多“粗”少“细”，甚至问题都不用解决到底， 可留待后续探究. 简单来说就是“看似什么都讲了， 又好似什么都没讲”.
科学地设计、合理地实施章首课教学，对一章的 学习能起到事半功倍的效果，章首课丰富的教学价 值值得教者深思.
参考文献 :
[ 1 ] 蔡甜甜，宁连华. 数学教材章头课的理性分析及 教学建议[J ] . 数学通报，2018，57 (4 ) :22－26 .
[2 ] 石志群. 例谈“先行组织者”的途径与功能[ J ] . 数学通报，2016，55 (02 ) :9 －12 .
[3 ] 李广修. 谈“等”和“不等”的辩证关系[J ] . 中学 数学月刊，2009 ( 11 ) :33－35 .
关注SCI论文创作发表，寻求SCI论文修改润色、SCI论文代发表等服务支撑，请锁定SCI论文网 文章出自SCI论文网转载请注明出处：https://www.lunwensci.com/jiaoyulunwen/41037.html
