一道高考题的多解分析论文

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　　摘要:解三角形是高考解答题的热点题型，求解此类问题需要分析已知条件，合理运用正弦定理和余弦定理构建边和角的关系．在处理三角形中的边角关系时，一般都化为角的关系，或都化为边的关系．题中若出现边的一次式一般运用正弦定理，出现边的二次式一般运用余弦定理．解决三角形问题时还要注意角的限制范围.

　　关键词:解三角形,正弦定理,余弦定理

　　1试题呈现

　　题目(2020年全国Ⅰ卷文数第18题)ΔABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知B=150°.
(1)若a=，b=2，求ΔABC的面积;(2)若sinA+sinC=，求C.2试题探析

　　2．1第(1)问解析

　　解法1由余弦定理可知b2=a2+c2－2accosB.故28=3c2+c2－23 c·ccos150.所以7c2=28，解得c2=4.所以ΔABC的面积为S=acsinB=c2=解法2由正弦定理可知a=c⇔sinA=sinC.由B=150°,得A+C=30°所以03 sinC=sinA=sin(30°-C)=cosC-sinC．所以cosC=3sinC．由sin2 C+cos2 C=1，sinC＞0，得sinC=1.
27由正弦定理知siC=siB．所以c=bs=2.从而a=2所以ΔABC的面积为S=acsinB=

　　解法3由余弦定理可知

　　b2=a2+c2－2accosB.故28=3c2+c2－2c·ccos150.所以7c2=28，解得c=2．从而a=23.所以ΔABC的面积为S=acsinB=

　　解法4如图1，过点C作CD⊥BA，交AB的延长线于点D，依题意可得CD=a=c，BD=CD=c.
在RtΔADC中，由勾股定理可得CD2+AD2=AC2．所以c2+c2=28．解得c2=4.所以ΔABC的面积为S=acsinB=c2=

　　解法5如图2，过点B作BD⊥AC于点D，设∠ABD=θ,则∠CBD=150°-θ.

　　依题意得CD=asin(150°-θ)=一道高考题的多解分析论文csin(150°-θ)，AD=csinθ,BD=一道高考题的多解分析论文ccos(150°-θ)=ccosθ⇔一道高考题的多解分析论文sinθ=5cosθ.结合sin2θ+cos2θ=1可得sinθ=，cosθ=.由AD+CD=AC=2一道高考题的多解分析论文，得一道高考题的多解分析论文csin(150°-θ)+csinθ=cosθ+sinθ)c=2一道高考题的多解分析论文.所以+)c=，解得c=2．从而a=.所以ΔABC的面积为S=acsinB=一道高考题的多解分析论文.


　　2．2第(2)问解析

　　解法1因为B=150°,从而A+C=30°.故sinA+一道高考题的多解分析论文sinC=sin(30°-C)+一道高考题的多解分析论文sinC=cosC-一道高考题的多解分析论文sinC+一道高考题的多解分析论文sinC=2 cosC+一道高考题的多解分析论文2 sinC=sin(C+30°)=.因为0°＜C＜30°,从而30°＜C+30°＜60°.所以C+30°=45°,解得C=15°.

　　解法2因为B=150°,从而A+C=30°.故sinA+一道高考题的多解分析论文sinC=sin(30°-C)+一道高考题的多解分析论文sinC=cosC-sinC+一道高考题的多解分析论文sinC
=cosC+sinC=.
所以cosC=一道高考题的多解分析论文-一道高考题的多解分析论文sinC.
因为sin2 C+cos2 C=1，所以sin2 C+(一道高考题的多解分析论文-一道高考题的多解分析论文sinC)2=4sin2 C－2一道高考题的多解分析论文sinC+2=1，解得sinC=.因为0°＜C＜30°,所以sinC=.又因为sin15°=，所以C=15°.

　　解法3因为B=150°,从而A+C=30°.故sinA+一道高考题的多解分析论文sinC=sinA+一道高考题的多解分析论文sin(30°-A)=sinA+cosC－sinA=cosA－sinA=sin(60°-A)=.因为0°＜C＜30°,从而30°＜60°-A＜60°.所以60°-A=45°,解得A=15°.从而C=15°.

　　解法4因为B=150°,从而A+C=30°.

　　故sinA+一道高考题的多解分析论文sinC=sin(30°-C)+一道高考题的多解分析论文sinC=cosC-sinC+一道高考题的多解分析论文sinC=cosC+sinC=sinBcosC－cosBsinC=sin(150°-C)=.

　　因为0°＜C＜30°,从而120°＜150°-C＜150°.所以150°-C=135°,解得C=15°.解法5因为sinB=，故sinA+一道高考题的多解分析论文sinC=一道高考题的多解分析论文sinB.
由正弦定理，得a+一道高考题的多解分析论文c=一道高考题的多解分析论文b⇔b=.由余弦定理，得b2=a2+c2－2accos150°.所以()2=a2+c2+一道高考题的多解分析论文ac.即a2=b2，故a=c，从而A=C.因为A+C=180°-B=30°,所以C=15°.解法6因为sinB=，　故sinA+一道高考题的多解分析论文sinC==一道高考题的多解分析论文sinB.由余弦定理，得b2=a2+c2－2accos150°.由正弦定理，得sin2 B=sin2A+sin2 C+一道高考题的多解分析论文3 sinA·sinC.故()2=sin2A+sin2 C+一道高考题的多解分析论文sinAsinC.所以sin2A=sin2 C．因为0°＜A，C＜30°,故sinA=sinC．从而A=C.因为A+C=180°-B=30°,所以C=15°

　　3同类变式

　　题1在锐角ΔABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin(A－B)=cosC.
       (1)若a=3一道高考题的多解分析论文，b=一道高考题的多解分析论文，求c;

　　(2)求的取值范围.

　　分析(1)根据三角形内角和定理和诱导公式，将三角形内角的三角函数关系转化为角的关系，求出其中的一个角，然后利用余弦定理列方程，即可求c的值．要注意角的范围和三角函数的单调性.

　　(2)利用(1)的结论B=，可得A+C=.　所以C=-A.

　　所以acosC ccosA=sinAcosiosAsinC=sin(2A－π)，化成只含一个角的三角函数值，再利用三角函数的性质求出该式的范围.解析(1)由sin(A－B)=cosC，得sin(A－B)=sin(－C).因为ΔABC是锐角三角形，所以A－B=－C．即A－B+C=.　又A+B+C=π,所以B=.

　　由余弦定理，得b2=c2+a2－2accosB　即(一道高考题的多解分析论文)2=c2+(3一道高考题的多解分析论文)2－2c·3一道高考题的多解分析论文cos.　即c2－6c+8=0，解得c=2或c=4.又当c=2时，b2+c2－a2=(一道高考题的多解分析论文)2+22


　　(3一道高考题的多解分析论文2)2=－4＜0，所以b2+c2＜a2，此时A为钝角，与已知矛盾，所以c≠2，故c=4.

　　(2)由(1)知B=，则A+C=，即C=－A.所以acosC ccosA=sinAcosiosAsinC==一道高考题的多解分析论文sin(2A－).2因为ΔABC是锐角三角形，所以＜A<.所以-＜2A－<.所以-＜sin(2A－)<.所以－1＜＜1.故的取值范围为(－1，1).题2在ΔABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，点D在边BC上，且sin∠BAD=2sin∠CAD.(1)若AD=b=2，cos∠BAD=，且∠CAD为锐角，求CD的长;(2)若BD=CD，求的值.分析(1)由题设可得sin∠BAD=，进而求得cos∠CAD=，应用余弦定理求CD的长;(2)由正弦定理可得sin∠CDA=，sin∠BDA=，结合∠CDA+∠BDA=180即可求目标式的值.

　　解析(1)由cos∠BAD=，0<∠BAD<π,则　sin∠BAD=.　所以sin∠CAD==.　又∠CAD为锐角，则cos∠CAD=.又CA=AD=b=2，在ΔCAD中，cos∠CAD=b2+b2－CD2==，可得CD=1.2b2

　　(2)由BD=CD=，在ΔCAD中，=，则sin∠CDA=.　在ΔBAD中，=，　则sin∠BDA=.又∠CDA+∠BDA=180°,故=.又sin∠BAD=2sin∠CAD，所以=2.

　　题3如图3，在平面四边形ABCD中，∠BCD=，AB=1，∠ABC=.

　　(1)当BC=一道高考题的多解分析论文，CD=一道高考题的多解分析论文时，求ΔACD的面积;(2)当∠ADC=，AD=2时，求cos∠ACD.分析(1)利用余弦定理求出AC，cos∠ACB，再利用诱导公式、三角形面积公式计算作答.

　　(2)在ΔABC和ΔACD中用正弦定理求出AC，再借助同角公式求解作答.解析(1)当BC=一道高考题的多解分析论文时，在ΔABC中，由余弦定理，得AC2=AB2+BC2－2AB·BCcos∠ABC.即AC2=3－2一道高考题的多解分析论文cos=5．解得AC=一道高考题的多解分析论文，则s 0．因为∠BCD=，又CD=一道高考题的多解分析论文，所以ΔACD的面积为SΔACD=AC·CDsin∠ACD=×一道高考题的多解分析论文×=.

　　(2)在ΔABC中，由正弦定理，得AB ACsin∠ACB=sin∠ABC.即AC==2cos一道高考题的多解分析论文ACD.在ΔACD中，由正弦定理，得AD Asin∠ACD=sin∠ADC.ADsinπ即AC=6=1　整理，得sin∠ACD=一道高考题的多解分析论文cos∠ACD.而sin2∠ACD+cos2∠ACD=1，∠ACD为锐角，所以cos∠ACD=一道高考题的多解分析论文/3.

　　参考文献:

　　［1］谢新华．一道2021年高三八省联考试题的多解探究［J］．数理化解题研究，2022(07):95－97.

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