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摘要：甲、乙、丙、丁、戊共 5 名同学进行劳动技术比赛，决出第 1 名到第 5 名的名次． 甲和乙去询问 成绩，回答者对甲说: “很遗憾，你和乙都没有获得 冠军．”对乙说: “你当然不会是最差的．若在此对 话的基础上 5 人名次的情况是等可能的，则最终丙 和丁获得前两名的概率为多少？
关键词：数学,高考数学，函数
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
一、选择题 : 本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1． 设 集 合 A = {x | | x | ＜2 }，集 合 B =
x | y = ■ x ，则 A∩B = ( ) .
A．(－2，2) B． (0，2) C．［0，2) D． (2，+ ∞)
2．如图 1，在复平面内，复数 z1 ，z2 对应的向量分别是
OA，
OB，则
z2 对应的点位于( ) .
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
图1
3．某车间生产一种圆台型纸杯，其杯底直径为 R , 杯 口 直 径 为 2R , 高 为 h，将该纸杯装满水( 水面与杯口齐平) ，现将一直径为
R 的木制小球缓慢放入杯中，待小球 完全沉 入 水 中 并 静止后，从杯口溢出水的体积为纸杯容积的
，则
= ( ) .
A．
B．
C．
D．
4．已知抛物线 C:y2 = 8x 的焦点为 F，直线 l 不过点 F 且与 C 交于A，B 两点( 点A 在 x 轴上方) ，与y 轴负半轴交于点 M，若
， 则直线 AF 的斜率为( ) .
A．
B．
C．
D.
5． 甲、乙、丙、丁、戊共 5 名同学进行劳动技术 比赛，决出第 1 名到第 5 名的名次． 甲和乙去询问 成绩，回答者对甲说: “很遗憾，你和乙都没有获得 冠军．”对乙说: “你当然不会是最差的．”若在此对 话的基础上 5 人名次的情况是等可能的，则最终丙 和丁获得前两名的概率为( ) .
A．
B．
C．
D．
6．若 a = e0．6 ，b = 2eln1．2，c = 1．2e －0．21 ，则 a，b，c 的大小关系为( ) .
A．b＞c＞a B．c＞a＞b
C．a＞b＞c D．a＞c＞b
7．某微生物科研团队为了研究某种细菌的繁殖情况，工作人员配制了一种适合该细菌繁殖的营养 基质用以培养该细菌，通过相关设备以及分析计算 后得到 : 该细菌在前 3 个小时的细菌数 y 与时间 t (单位 : 小时，且 1 ≤t≤3) 满足回归方程 y = e1 + bt ( 其 中 b 为常数) ，若 ez = y，且前 3 个小时 t 与 y 的部分 数据见下表
| t |
1 |
2 |
3 |
| y |
8 |
2 |
12 |
| e 5 |
e |
e 5 |
3 个小时后，向该营养基质中加入某种细菌抑制剂， 分析计算后得到细菌数 y 与时间 t( 单位 : 小时，且 3 ＜t≤10) 满足关系式 : y = 24b ( t－3 ) e4－2bt + 12，在 t = t0 时刻，该细菌数达到最大，随后细菌个数逐渐减 少，则 t0 的值为( ) .
A．4 B．
C．5 D．
8．在棱长为 3 的正方体 ABCD －A1 B1 C1 D1 中， 点 P 为侧面 ABB1 A1 内一动点，且满足 C1 P ∥平面 ACD1 ，若 C1 P =
，三棱锥 D－ABP 的所有顶点均 在球 O 的球面上，则球 O 的表面积为( ) .
A．24 π B．16 π C．19 π D．28 π
二、选择题 : 本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得0 分.
9．在正方体 ABCD－A1 B1 C1 D1 中，E，F，G，H，I， 分别为 AD，AB，BB1 ，B1 C1 ，D1 C1 的中点，则( ) .
A．直线 D1 E 与直线 GD 垂直
B．点 D 与点 B 到平面 D1 EF 的距离相等
C．直线 EF 与平面 HIG 平行
D．D1 F 与 GH 的夹角为
10．最近几个月，新冠肺炎疫情又出现反复，各学校均加强了疫情防控要求，学生在进校时必须走测温通道，每个班早中晚都要进行体温检测并将结 果上报主管部门．某班级体温检测员对一周内甲、乙两名同学的体温进行了统计，其结果如图 2 所示，则下列结论正确的是( ) .
图2
A．甲同学体温的极差为 0．4℃
B．乙同学体温的众数为 36．4℃ , 中位数与平均 数相等
C．乙同学的体温比甲同学的体温稳定
D．甲同学体温的第 60 百分位数为 36．4℃
11．已知函数f ( x ) = 2sin( ωx + φ) ( ω > 0，| φ | <
) 过点(0，1) ，下列说法中正确的有( ) .
A．若 ω = 1，则f ( x ) 在
，
上单调递减
B．若把f ( x ) 的图象向左平移
个单位后得到的函数为偶函数，则 ω 的最小值为 2
C．若f ( x ) 在(0，π) 上有且仅有 4 个零点，则
< ω≤
D．若f(
) =f(
) ，且f ( x ) 在区间
，
上有最小值无最大值，则 ω = 4
12．已知函数f(x) 及其导函数f ' (x) 的定义域均为 R , 若f (2 －x) ，f ' (
－2x ) 均为奇函数，则( ) .
A．f(2) = 0 B．f ' ( 1) =f ' (0)
C．f(3) =f(2) D．f ' (2022) = －f ' ( －1)
第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
三、填空题: 本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.
13．已知二项式(x +
) n (n =N + ) 展开式中含有常数项，则 n 的最小值为 _ .
14．已知线段 MN 是圆 C: ( x －1 ) 2 + y2 = 8 的一条动弦，且 MN = 2
，若点 P 为直线 2x－y + 6 = 0上的任意一点，则
的最小值为 _.
15．已知椭圆
的上、下顶点分别为 A1 ，A2 ，点 P 是椭圆 C 上异于 A1 ，A2 的 点，直线 PA1 和 PA2 的斜率分别为 k1 ，k2 ，写出一个 满足 k1 ·k2 = －4 的椭圆 C 的方程是 _.
16．已知数列{an }的前 n 项和为 Sn，满足
，则 an = _ ; 设
，则数列{bn }的前 n 项和为 Tn = _ .
四、解答题 : 本题共 6 小题，共 70 分．解答应写 出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．( 10 分) 已知 ΔABC 中，a，b，c 为角 A，B，C 对应的边，且 a = 1，b = 4 cos2A －1，0 ° ＜ A ＜60 ° .
( 1) 若 C = ，求ΔABC 的面积 ;
(2) 求ΔABC 周长的取值范围.
18．( 12 分) 数列{ an } 前 n 项和为 Sn，2Sn + n2 + 2n + 3 = an .
( 1) 求 an ;
(2) 若 bn = | a2n | ，对任意的 1 =n=10，n=N + ，bn +
b n =t，求 t 的取值范围.
19．( 12 分) 已知四棱锥 P －ABCD 的底面为菱 形，ΔDAB =
，AB = 2，PD 」底面 ABCD． PB 与面ABCD 所成角为
，设平面 PAD 与平面 PBC 交线为 l.
( 1) 证明 : l/平面 ABCD
(2) Q 为 l 上 的动 点，且 点 Q 与 点 A 在平面 PCD 同侧，求 : PB 与面 QCD 所成角正弦值的范围.
20．( 12 分) 台湾是中国固有领土，台海局势牵动每个人的心．某次海军对抗演习中，红方飞行员甲负责攻击蓝方舰队．假设甲距离蓝方舰队 100 海里， 且未被发现，若此时发射导弹，命中蓝方战舰概率是 0．2，并可安全返回．若继续飞行进入 50 海里，有0．5 的概率被敌方发现，若被发现将失去攻击机会，且此时自身被击落的概率是 0．6．若没被发现，则发射导弹击中蓝方战舰概率是 0．8，并可安全返回．命中战舰红方得 10 分，蓝方不得分 ; 击落战机蓝方得 6 分，红方不得分.
( 1) 从期望角度分析，甲是否应进入 50 海里?
(2) 若甲在返回途中发现敌方两架轰炸机，此 时甲弹舱中还剩 6 枚导弹，每枚导弹命中轰炸机概率均为 0．5.
①若甲同时向每架轰炸机各发射三枚导弹，求恰有一架轰炸机被命中的概率 ;
②若甲随机向一架轰炸机发射一枚导弹，若命 中，则向另一架轰炸机发射一枚导弹，若不命中，则继续向该轰炸机发射一枚导弹，直到两架轰炸机均 被命中或导弹用完为止，求最终剩余导弹数量 X 分布列.
21．( 12 分) 已知双曲线
( a ＞0，b ＞0) 的离心率为 2，左右焦点 F1 ，F2 ，焦距为 4．点 P 在 第一象限的双曲线上，过点 P 作双曲线的切线与 x=
交于点 Q.
( 1) 证明 : PF2 」QF2 ;
(2) 已知斜率为－2 的直线与双曲线左支交于 A，B 两点，若直线 PA 与 PB 的斜率互为相反数，求ΔPQF2 的面积.
22． ( 12 分) 已知函数f(x) = xex ，g(x) = xlnx.
( 1) 证明 :f(x) =x + lnx + 1;
(2) 若存在直线 y = b，其与两条曲线 y =f(x) 和 y = g(x) 共有四个不同的交点，设从左到右的四个 交点的横坐标分别为 x1 ，x2 ，x3 ，x4 ，证明 :x1 x3 = x2 x4 .
参考答案
一、选择题 :
1．B 2．C 3．B 4．D 5．A 6．D 7．A 8．C
二、选择题
9．ABC 10．ABC 11．BC 12．ACD
三、填空题
13．6 14．
15．x2 +
= 1(答案不唯一)
16.
; ( n2 －n + 2 ) ·2n + 1 －4
四、解答题
17．由 a = 1，b =4 cos2A－1 可知 b =4a·cos2A－a.
所以 sinB = sinA· (4cos2A －1)
= sinA· (2cos2A + 1)
= sinA·cos2A + sinA· (cos2A + 1)
= sinA·cos2A + cosA·sin2A
= sin3A.
故 B = 3A 或 B + 3A = π .
当 B = 3A 时，C = π - 4A，
所以 sinC = sin4A = 2sin2A · cos2A = 4sinA ·cosA· (2 cos2A －1) .
所以 c =
sinA = 4cosA· (2 cos2A －1 ) = 8 cos3A- 4cosA.
所以 a + b + c = 1 + 4 cos2A －1 + 8 cos3A－4cosA = 4(2 cos3A + cos2A－cosA) .
由 B = 3A，C = π - 4A，及 A，B，C 为三角形 内 角，可知 A∈(0，
) .
令 t = cosA，f(t) = 2t3 + t2 －t，则 t ∈(
，1) ，且f ' (t) = 6t2 + 2t －1 ＞0，可知 y =f(t) 在 t ∈(
，1)内单调递增，故f(t) ∈(
，2) ，a + b + c∈(2，8) .
当 B + 3A = π 时，C = 2A，sinC = sin2A = 2sinA ·
cosA，所以 c =
sinA = 2cosA.
所以 a + b + c = 1 + 4 cos2A －1 + 2cosA = 4 cos2A + 2cosA.
由 B = π - 3A，C = 2A，及 A，B，C 为三角形内角，可知 A∈(0，
) .
所以 cosA∈(
，1) ，a + b + c∈(2，6) .
综上，当 B = 3A 时，周长范围为(2，8 ) ; 当 B + 3A = π 时，周长范围为(2，6) .
18．( 1) 2Sn + n2 + 2n + 3 = an，
2Sn + 1 + (n + 1) 2 + 2n + 5 = an + 1 ，
得 2an + 1 + 2n + 3 = an + 1 －an .
所以 an + 1 + an = －2n－3，an + 2 + an + 1 = －2n－5. 相减，得 an + 2 －an = －2.
令 n = 1，得 a1 = －6，令 n = 2，得 a2 = 1.- n－5，n 为奇数，- n + 3，n 为偶数.
(2) bn =
a2n
=
3－2n
，b1 = b2 = 1，
n≥2 时，bn = 2n－3，令 Cn = bn +
b n，
则 Cn + 1 －Cn = 2－
(n≥2) . 可知 C4 ＜C3 ＜C2 = C1 ，n≥4 时，Cn + 1 ＞Cn . 所以 Cn 最小值为 C4 =
．所以 t≤
.
19． ( 1) 由 ABCD 为菱形可知，BC∥AD.
又 BC⊄面 PAD，故 BC∥面 PAD.
又 BC⊂面 PBC，面 PAD∩面 PBC = l， 故 l∥BC .
又 l⊄面 ABCD，BC⊂面 ABCD，
故 l∥面 ABCD.
(2) 如图 3，过点 D 作 DC 的垂线 DE，交 AB 于点 E.
由 PD ⊥底面 ABCD，可知 DE，DC，DP 两两垂直，分别作 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，由底面 ABCD 为菱形，ΔDAB =
，AB = 2，可知 D(0，0，0) ，A(
，－1，0) ，B(
，1，0) ，C(0，2，0) ，且 DB = 2.
由 PD」底面ABCD，PB 与面ABCD 所成角为
可知ΔPBD =
.
所以 PB 与面 QCD 所成角正弦值 的 范 围 为(
，
］.
20．( 1) 若进入 50 海里，甲相对得分期望为 0．5 × 0．8 × 10 + 0．5 × 0．6 × (－6) = 2．2，若不进入 50 海里，甲相对得分期望为0．2 × 10 = 2，所以甲应该进入 50 海里 .
故分布列为 :
| X |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
| P(X) |
0．1875 |
0．125 |
0．1875 |
0．25 |
0．25 |
21． ( 1) 设 P ( x0 ，y0 ) ，x0 ＞0，y0 ＞0，P 处切线为 y = k ( x－x0 ) + y0 .
由题双曲线 x2 －
= 1 与切线联立，得
(2) 设直线 y = －2x + t，与双曲线联立，得 - x2 + 4tx－t2 －3 = 0.
所以 x1 + x2 = 4t，x1 x2 = t2 + 3.
22． ( 1) 设 h(x) = xex －x－lnx －1，则
h ' (x) = (x + 1) ex －1 －
=
.
设 y = xex －1，则 y ' = (x + 1) ex ＞0.所以函数 y = xex －1 在( 0，+ ∞ ) 单调递增. 设 h ' (x0 ) = 0，则 x0 ex0 = 1，即 x0 + lnx0 = 0.
易知，当 x=(0，x0 ) 时，h ' (x) ＜0，h(x) 单调递 减 ; 当 x=(x0 ，+ ∞) 时，h ' (x) ＞0，h(x) 单调递增.
所以 h (x) min = h (x0 ) = x0 ex0 －x0 －lnx0 －1 = x0 ex0 －1 － (x0 + lnx0 ) = 0.
因此，h(x) =0，即f(x) =x + lnx + 1.
(2)f(x) = xex ，f ' (x) = (x + 1) ex ，易知f(x) 在 ( - ∞, - 1 ) 单调递减，在( －1，+ ∞ ) 单调递增．显 然，当 x ＜0 时 f (x ) ＜0，当 x ＞0 时 f ( x ) ＞0，且f(x) min =f( －1) = －
.
由题意，g(x) = xlnx，g ' (x) = lnx + 1，易知 g(x)在(0，
) 单调递减，在(
，+ ∞ ) 单调递增．显然，当 0 ＜x ＜ 1 时 g (x) ＜0，当 x ＞ 1 时 g (x) ＞0，且g(x) min = g(
) = －
.
因此存在实数 b，当 b=( －
，0) 时，直线 y = b与曲线 y =f(x) 和 y = g(x) 共有四个不同的交点．因 为从左到右的四个交点的横坐标分别为 x1，x2，x3，x4，
显然，x1 ＜－1＜x2 ＜0＜x3 ＜
＜x4 ＜1(如图4) . 所以f(x1 ) = x1 ex1 = g(x4 ) = x4 lnx4 = b.
又因为f(lnx4 ) = x4 lnx4 = b，
g(ex1 ) = x1 ex1 = b，
所以 x2 = lnx4 ，x3 = ex1 .
从而 x1 x3 = x1 ex1 ，x2 x4 = x4 lnx4 .
因此 x1 x3 = x2 x4 .
图4
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