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摘 要 : 特殊值法可理解为对题目中未知量取具体的数值，代入有关代数式进行计算，从而实 现简便高效的解题．对此，本文着重探讨特殊值法在高中数学解题过程中的具体应用，帮助学生掌 握这种数学解题技巧，探寻数学解题新思路，能够举一反三、灵活变通地应对不同类型的数学题目.
关键词 : 高中数学; 特殊值法; 分类讨论
在解答某些数学题目的过程中，可以通过设题 中某个未知量为特殊值的方式帮助我们简化解题过 程，得到最终答案，这种解题策略的应用能够帮助学 生节省解题时间，提升解题效率．因此，从这个思路 出发，本文主要探讨特殊值法在数学解题中的具体 应用，并主要围绕转换角度、构造函数、代入检验、定 位变量以及合理赋值这几个方向展开具体探讨，以 帮助学生学会应用特殊值法高效简便解题，切实提 升数学解题能力.
1 转换角度，减少计算压力
特殊值法体现的是从一般到特殊，再从特殊到 一般的解题思想．如果数学题目中的已知条件十分 抽象、数量关系非常复杂、用常规思路解题难度很大 时，我们可以通过选择合适的特殊数、特殊点、特殊 数列、特殊图形等，转换问题思考的角度，从特殊中 探索解答问题的规律，正确求得答案.
例 1 如果 x、y、z 是全不相等的实数，且 a = x2 - yz，b = y2 －zx，c = z2 －xy，则下列结论正确的是 ( ) .
A．a，b，c 都不小于 0
．a，b，c 都大小于 0
C．a，b，c 至少有一个小于 0
D．a，b，c 至少有一个大于 0
解析 这道题中的未知数是比较多的，如果我 们用常规思路去解题的话，所构造出的代数式较为 复杂，解题难度较大．这时我们就可以应用特殊 值法的思路，根据题设条件由于 x，y，z 是不全相 等的实数，可取值的范围是比较大的，我们可 以 选择容易计算的实数如令 x = 1 ，y = －1 ，z = 1 ，分 别代入 a = x2 －yz，b = y2 －zx，c = z2 －xy 计算可得 a = 2 ，b = 0 ，c = 2 ，可排 除 B 和 C 选项 ; 继续取特 殊值令 x = 1 ，y = －1 ，z = 2 ，代入可得 a = 3 ，b = - 1 ，c = 5 ，可排除 A 选项，故正确答案为 D，快速 解答了该题目.
评析 在面对一些计算难度较大的数学题目的 时候，我们可以根据题设条件将其中的某个未知量 设为特殊值，但要注意这个量的取值要和最终要求 的结果有所联系，并且无论取值多少都不会影响最 后要求的量的值，这样才可以在一定程度上帮助我 们简化计算过程，减少计算压力，实现灵活高效解 题，从而提升数学解题的效率.
2 构造函数，避免分类讨论
构造函数的方法一般应用于函数、导数综合题 目的解答中．这类题目的难点就在于分类讨论和最 值转化，需要学生通过构造函数的方式来将复杂的 函数形式进行转化，这样才能往下推导计算，在实现 快捷解题的同时，更培养了学生融会贯通的能力.
例 2 设 a= ［－1，1］，且函数 g(x) = log22x + (a－4) log2 x + 4－2a 恒为正值，求 x 的取值范围.
解析 本道题目中给出的 g(x) 函数解析式是 关于 log2 x 的二次 函数，常规的解题思路是设 t = log2 x，则原函数转化为 u(t) = t2 + (a－4) t + 4－2a， 需进行较为复杂的分类讨论，学生们感到解题难度 非常的大，很多同学都选择了放弃．但我们再去观察 一下这道题目，参量 a 的范围题目中已经给出了，那 我们不妨利用主元变更法的思路来构造新的函数模 型，回避 分 类 讨 论．具 体 来 讲，学生可以把关于 log2 x 的二次函数转化为 以 a 为自变量的一次函 数，设f( a) = ( log2 x －2 ) a + log22x －4 log2 x + 4 ， 那么要使f( a) 在设 a = ［－ 1 ，1］时恒大于零，我 们只需要取特殊点，当且仅当f( 1 ) ＞0 ，f( －1 ) ＞ 0 时 即可成立，代入可得 log2 x ＜ 1 或 log2 x ＞3 ，接 着解这两个不等式就可以得 出 x 的取值 范 围为 (0 ，2 ) ∪( 8 ，+ ∞ ) ，这样解题就高效简便 得 多 了，学生们也更容易接受.
评析 在实际解题中，教师要善于根据题目中 的条件，对题设条件中的不同情况加以分类，逐类求 解，这种分类讨论的方法是学生必须掌握的解答函 数类题目的基本思路，教师在教学中，要善于引导学 生捕捉题目中的关键信息，从而生成最佳的解题思 路，为高效解题奠定坚实的基础.
3 代入检验，获得信息矛盾
检验答案是教师应引导学生培养的一种良好学 习习惯．一方面，可以使学生通过检验判断答案是否 正确，当出现信息矛盾时及时纠错、改错，避免出现 粗心大意、考虑不全面等情况 ; 另一方面，有利于培 养学生思维的严谨性与深刻性，使学生形成良好的 学习品质与思维品质，提升学生的综合素养.
例 3 若数列{ an } 与{ bn } 中，a1 = b1 = 1，an + 1 - an = 2，bn /bn + 1 = 1/2 ( n ≥1 ) ，则{ an bn } 的前 n 项和
为( ) .
A．3 －(2n + 3) (1/2) 2 B．6 －(2n + 3) (1/2) 2 －
1
C．(3－2n) 22－3 D．(2n－3) 22 +
3
解析 首先我们可以取特殊值 n = 1，2，3，则 a1 、a2 、a3 依次为 1，3，5，同理 b1 ，b2 ，b3 依次为 1，2， 4，那么 a1 b1 = 1，a2 b2 = 6，a3 b3 = 20．接下来代入选项 进行检验，当 n = 1 时代入 A 选项，S1 = 3 － (2 + 3) / ( 1/2) 2 = －17 ≠1 = a1 b1 ，可排除 A 选项．同理代入 C 选项可得 S1 = (3－2) × 2 －3 = －1 ≠1 = a1 b1 ，可 排除 C 选项．最后将 n = 2 代入 B 选项，S2 = 6 － (2 × 2 + 3) ( 1/2) = 6－7/2 = 5/2 ≠1 + 6 = a1 b1 + a2 b2 ， 可排除 B 选项，综合可得正确答案为 D．这样，通过 利用特殊值法和代入检验法，使该问题的顺利解答.
评析 一般来说，代入检验的基本思路是把最 终得到的答案带回原条件中进行检验，或者把答案 当作条件来解题目中的其他条件，以此来验证结果 是否正确．但有时因代入检验的计算量过大，会 浪费时间，学生也可以利用代入符合答案范围的 特殊值进行检验，通过特殊值、特例来快速检验 答案，提升检验 效率，这都是对学生灵活处理数 学问题能力的检验，也是学生深度理解和运用数 学知识的体现.
4 定位变量，加强数形结合
我们在对变量进行赋值或取特殊值的时候，如 果我们忽视题设的条件，没有充分考虑到变量的取 值范围，出现无效赋值或解题错误的情况，则无疑会 导致问题解决过程中出现南辕北辙，使得问题解决 功亏一篑．因此，对于某些数学题目来讲，学生要善 于运用数形结合的思想方法，借数的精确性与形的 直观性来使某些抽象的数学问题直观化、生动化，进 而可以有效定位变量的范围并进行赋值，找到解题 的切入点.
例 4 函数f ( x) = x + 1 / | x | 的 图 象 可 能 是 ( ) .
解析 在解答这类型题目的时候，我们可以结 合函数的单调性以及取特殊值的方法来进行判定.
以单调性来看，当 x=(0，1) 时，函数f(x) = x + 1/x， 为单调递减函数 ; 当 x=( 1，+ + ∞ ) 时，函数f(x) = x + 1/x，其图象为单调递增函数，当 x =( - ∞ , 0 ) 时，同理函数f(x) = x －1/x，为单调递增函数，可确 定正确答案为 A．除了这个方法之外，学生也可以取 一些特殊点，比如 x = －2，－1/2，1/2，1，2 等，代入 解析式结合图象来进行排除，这样能进一步缩短解 题时间.
评析 在利用特殊值法在解答这类型题目的时 候，我们对于变量的取值要符合题设条件与不同函 数定义域、值域等隐形条件，同时要善于抓好拐点、 极值点、最值点这些特殊点，充分理解这些特殊点的 含义，这样既能帮助我们利用赋值巧解复杂数学问 题，达到事半功倍的效果，更可培养学生面对数学问 题，能全面深刻的认知数学问题.
5 合理赋值，巧解不等式
特殊值法在解答不等式相关的问题中的妙用有 很多，甚至可以说是解答不等式类选择题目的首选 方法．我们可以通过对不等式中的变量赋予恰当的 数值或代数式，再加上恰当的运算和推理，就可以将 复杂的推导问题转化为简单的计算问题，进而通过 简化计算与推导过程帮助学生节省解题时间，达到 快速高效做题的目的.
例 5 设函数f(x) 在 R 上的导函数为f ' (x) ， 且 2f ( x ) + xf ' ( x ) ＞ x2 ，则在 R 上恒 成 立 的 是 ( ) .
A．f(x) ＞0 B．f(x) ＜
0
C．f(x) ＞x D．f(x) ＜x
解析 如果用常规思路去解题的话，根 据 2f(x) + xf ' (x) ＞x2 ，我们可以构造函数记 g (x) = x2f(x) ，令 g ' (x) = x［2f(x) + xf ' (x) ) ］= 0 得唯一 驻点 x = 0，那么当 x ＜0 时，g ' (x) ＜0，g(x) 单调递 减 ; 当 x ＞0 时，g ' (x) ＞0，g (x) 单调递增，也就是 g(0) 为该函数的最小值，g(0) = 0，因此恒有 g (x) = x2f(x) ＞g(0) = 0，可得f(x) ＞0，当 x = 0 时同样 满足，因此可得到正确答案为 A．但在解答这道题目 的时候，特殊值法是一个很好用的解题技巧，学生也 可以用这个方法来解题．不过这一次我们赋值的不 是特殊的数值，而是特殊的函数．我们可以根据已 知条件取容易计算的特殊函数f(x) = x2 ，则f ' (x) = 2x，那么题目中的 2f(x) + xf ' (x) 为 了 2x2 + x(2x) = 4x2 ，原不等式也就转化为 4x2 ＞x2 ，自然 而然是成立的．那么f(x) = x2 ＞0 对应 A 选项，可 得 A 选项是正确 的，这样对于解选择题来说就快 的多了.
评析 在数学解题中，教师根据题目条件，通过 结合具体的数学题目，使学生从中思考如何分析与 应用赋特殊值法，可以帮助学生有效掌握这种解题 策略，提升数学解题能力，让学生在灵活的数学解题 中树立对数学学习的信心.
总之，在解答数学题目的过程中，需要学生掌握 有关的数学知识、一定的解题技巧及解题思想．因 此，作为高中数学教师，我们要善于引导学生做好题 型的归纳与总结，学会从中提炼解题规律，掌握解题 技巧，进而能在遇到同类型题目时，从脑中的知识体 系和解题技巧体系中逐一搜索，找到适合的解题思 路与方法，这样才能真正提升数学解题能力，培养良 好的数学素养.
参考文献 :
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［2］许佳，陈振锋．例析特值法在数学解题教学中的
应用［J］．中学数学研究，2021 (3) : 54－55 .
［3］褚梦琪．运用特殊值法，提升高中数学的解题效 率［J］．语数外学习，2017 (1) : 35－35 .
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