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摘 要： 在传统的小学数学概念教学中，大部分教师直接讲解定义和例题，引导学生学习概念。如此做法忽视了 辨析概念本质特征，不利于学生准确理解概念。错误样例是学生辨析概念本质特征的助力。在实施小学数学概念 教学时，教师应围绕数学概念，精心设计错误样例，并以课堂教学的不同环节为立足点，灵活应用错误样例，引 导学生发现、改正、解释错误，由此深刻地理解概念，同时发展质疑能力、批判能力等，提高概念学习效率。鉴 于此，文章重点论述了错误样例的价值、设计原则和应用策略。
关键词： 小学数学；错误样例；概念教学
数学概念是用数学语言和数学符号表达现实世界 数量关系的“结果”，具有抽象性、复杂性 [1]。在传统 的小学数学教学中，部分教师应用样例，引导学生经 历数学概念形成过程，了解数学概念。同时，教师重 点强调概念中的关键内容， 并组织多样的练习活动， 帮 助学生认知概念。但是在如此教学中，学生会在脑海 中建立固定的概念意象，无法建立深刻认知，在解决 问题时还会遇到诸多问题。错误样例是数学样例的重 要类型，是以学生概念学习中出现或可能出现的错 误，或概念中的关键点、重难点，或概念中的规则、 知识外延等为依据，设计出的不正确的例子 [2]。教师 应用错误样例实施数学概念，可以在弥补传统概念教 学不足的基础上，助推学生扎实理解、掌握概念。对 此，教师可进行“应用错误样例实施小学数学概念教 学”研究，着力探索错误样例的应用价值、设计原则 和应用策略。
一、应用错误样例实施数学概念教学的价值
（一）促使学生真正掌握数学概念
数学概念是现实世界中数量关系和空间形式本质 属性的具体表现。数学家们经过不断探索，从现实世 界中抽象出数量关系和空间形式的本质属性，继而用 简约、严谨的语言进行描述。一般情况下，数学概念 的含义是用一句话描述，这句话简约、严谨，反映着 数学概念的本质特征。在学习数学概念时，学生不仅要认知数学概念的本质特征，还要认知数学概念的非 本质特征。应用错误样例的实质是让学生发现错误、 改正错误、解释错误，由此辨析数学概念的本质特征 与非本质特征。由此可见，教师通过应用错误样实施 概念教学，可以使学生从本质特征和非本质特征入 手，真正掌握数学概念。
（二）促使学生主动参与概念教学
概念教学应该是以生为本的活动。在应用错误样 例时，学生会化被动为主动，自觉经历观察、了解、 辨析、总结这一过程， 由浅入深地走进数学概念深处， 把 握实质，加深对概念的理解。同时，学生会因此积累 概念学习经验，获得概念学习满足感，继而自觉投入 概念学习活动中， 迁移已有认知， 发现错误、改正错误、 解释错误，实现意义建构。在此过程中，学生会锻炼 思维能力、探究能力、抽象能力等， 增强学习水平， 助 推概念教学提质增效。
二、合理设计小学数学概念错误样例的原则
（一）遵循针对性原则，设计错误样例
错误样例是数学概念教学的助力，具有针对性。 在学习数学概念时，大部分学生会在关键点、易错点 上遇到诸多问题。这些问题会阻碍学生真正理解数学 概念。教师可以遵循针对性原则，以关键点、易错点 为入手点，合理设计错误样例，“对症下药”，使学生 通过改正、解释错误， 掌握关键点内容、易错点内容， 深刻认知数学概念。
例如，在学习百分数的概念时，大部分学生会在百分数的意义上犯错，认为“百分数就是分母是 100的分数”。对此，教师可设计错误样例：调酒师精心调出三杯鸡尾酒。第一杯的酒精度是38%，第二杯的酒精度是 25%，第三杯的酒精度是 3%。其中，第一杯鸡尾酒的酒精含量最高，可以用分数表示为。这个分数中分子表示 38 毫升，分母表示 100毫升。在该错误样例中，“分子表示 38 毫升，分母表示 100 毫升”这一答案是错误的。但是，大部分学生在已有认知作用下， 很容易判对。正确答案应当是“分母 100 表示将第一杯鸡尾酒的总量看成 100 份，分子38 表示纯酒精占其中的 38 份”。通过对比错误和正确答案， 学生认识到“百分数就是分母是 100 的分数”的浅表认识是错误的，从而正确认识百分数的意义。
（二）遵循典型性原则，设计错误样例
应用错误样例旨在帮助学生利用数学概念解决数学问题。在解决数学问题时，大部分学生会因概念认知不深刻，出现诸多错误。部分错误具有典型性，是大部分学生都会犯的错误。对此，教师可以遵循典型性原则， 审视学生的问题解决情况， 发现典型性问题，设计错误样例，使学生发现、改正、解释错误，加深对概念的理解， 同时汲取经验， 避免此后犯同样的错误。例如，在解决比例问题时，部分学生会在比例后写上单位。针对此情况，教师设计错误样例：
（1）红红的体重为 20 kg，妈妈的体重为 50 kg。红红和妈妈的体重比是 2∶5。
（2）亮亮身高 0.6 m，爸爸身高 1.8 m。亮亮和爸爸的身高比是 1∶3。根据两个题目， 可以列出这样的比例20 kg ∶50 kg=0.8 m∶2 m。面对如此样例，学生会认真对比，发现第三个答案和前两个答案的差异——带上了单位。面对如此发现，教师鼓励学生分析比例后是否要带单位。在分析时，不少学生回顾比例的概念，探索关键信息——式子，确定比例后不带单位。由此可见，学生借助错误样例， 可以把握数学概念的关键信息， 借此完善认知，
加深理解。
（三）遵循过程性原则，设计错误样例
数学概念教学具有过程性。在学习概念的过程中，学生会在个性认知的作用下，出现诸多出人意料的问题。这些问题正是教师设计错误样例的入手点。所以，在进行数学概念教学时，教师可以遵循过程性原则，紧扣学生的问题，设计错误样例。
例如， 在学习比例概念时， 有一个学生提出问题： “比和比例是一样的吗？”部分学生经过思考后，给出 肯定回答。教师把握时机，设计错误样例。
25 比 10 表示 25 除以 10，这是一个比， 比值是 2.5。 25 比 10 记作 25 ∶ 10，也可以写作 25/10。在比例中， 25比 10 就等于分数中的
10。
此错误样例中的概念等化是错误的，但是很多学 生没有发现此错误。教师把握时机，讲述比和比值的 概念。之后，教师引导学生阅读、分析错误样例，找 出错误答案。在已有认知的支撑下，学生边阅读边思 考， 自觉对比比和比值， 发现错误答案。经过一番分析、 判断， 不少学生认识到：“‘比值’可以用小数、分数、 整数来表示；‘比’有‘前项’‘后项’‘比号’同时存在，也 可以用分数形式表示。在用分数形式进行表示时，比 的前项相当于分子，比的后项相当于分母”。学生通过 分析错误样例，可以及时解决问题，强化概念认知。
三、应用错误样例实施数学概念教学的策略
数学概念教学由课堂导入、课堂讲解和课堂练习 这三个环节构成。在实施概念教学时，教师可以这三 个环节为立足点，联系教学内容，应用相应的错误样 例，使学生不断体验发现、改正、解释错误这一活动， 由 浅入深地认知数学概念，锻炼多样能力。
（一）在课堂导入环节应用错误样例
课堂导入环节是数学概念课堂教学的起点。在导 入环节应用错误样例有重要作用，如调动学生已有知 识储备，增强学生的学习欲望。又如，教师可以鼓励 学生主动辨析数学概念，解决问题，加深对概念的理 解，同时进入数学概念课堂，推动课堂教学发展。基 于此，在实施数学概念教学时，教师可以立足导入环 节，应用错误样例。
例如，在进行倒数练习活动之前，学生体验了概 念学习活动，了解了倒数概念。在练习活动的导入环 节，教师先组织猜谜活动。在活动中，教师读出字 谜：“‘吞’字上下颠倒是什么字？”“‘呆’字上下颠 倒是什么字？”此时，大部分学生高度集中注意力，积 极思维， 在脑海中想象颠倒前后的汉字， 并踊跃作答。 教师追问：“根据颠倒前后的汉字，大家可以想到什么 数学内容？”在已有数学认知的支撑下，学生异口同声 地说出“倒数”。教师就此进行赏， 并呈现错误样例， 引导学生进行判断：（1）3/4的倒数是4/3；（2） 5/6的倒数是 6/5；（3）2.3 的倒数是 3.2。
在判断时， 学生在第三个问题上出现不同的看法对此， 教师鼓励学生描述倒数的概念。有学生说道：“两 个数相乘是 1，这两个数互为倒数。”在该学生的描述 下，其他学生改正自己的看法，加深对倒数概念的认 知，为进行练习做好准备。
教师如此应用错误样例，既可以使学生进入数学 课堂，又可以使学生弥补概念认知不足，明确感知数 学概念， 一举两得。
（二）在课堂讲解环节应用错误样例
课堂讲解环节是概念教学的关键环节， 也是学生 理解概念的重要环节。错误样例是学生理解数学概念 的辅助。在课堂讲解环节， 教师应以数学概念为基点， 组 织探究活动。在这个过程中，教师要及时了解学生概 念探究情况，并应用错误样例，使学生发现、改正、 解决错误，加深对数学概念的理解。
例如，在学生学习圆的概念时，教师可组织操作 活动，并根据学生操作情况，呈现错误样例。具体而 言，在讲到圆的半径时，教师提出操作任务：“请大家 使用圆规，分别画出两脚距离为 3 cm 、5 cm 、6 cm 的 圆。”在此任务的推动下，学生动手操作，画出大小不 同的圆。基于此，教师追问：“圆规的两脚距离是圆的 什么？如果问所画出的圆有多大，要如何回复？”学生 带着问题审视所画出的圆， 并结合教材内容， 认真思考。 有学生说道：“圆规两脚距离是圆的半径。所画出的分 别是半径为 3 cm 、5 cm 、6 cm 的圆。”教师对此进行 赞赏，并总结半径的概念及符号表示。之后，教师鼓 励学生画出比半径为 6 cm 的圆还要大的圆，让学生继 续认知圆的半径。教师趁机呈现错误样例。
圆心决定圆的位置，面积决定圆的大小。
面对错误样例，学生纷纷审视操作过程，对比不 同大小的圆。此时，大部分学生发现“面积是它所占 的平面的大小。当圆规的两脚距离越大时，画出的圆 越大。这说明，半径越大，圆越大。”基于此，教师鼓 励学生改正错误样例。有学生说道：“圆心决定圆的位 置，半径决定圆的大小。”学生因此加深对圆的半径的 认知。之后， 教师按照如此方式， 继续组织操作活动， 展 现错误样例，使学生探究直径。
实践表明， 学生通过分析、改正、解释错误样例， 可 以深刻理解数学概念，把握数学概念的特征，高效解 决数学问题，增强概念学习效果。
（三）在课堂练习环节应用错误样例
课堂练习是学生解决问题的环节。数学概念是学 生解决问题的“工具”。在解决问题时，学生会辨析数 学概念，加深理解。对此，在数学课堂练习环节，教师可以依据学生概念学习情况，呈现相关的错误样 例， 引导学生迁移认知， 分析并改正错误， 强化认知。
例如，在学生学习约分后， 教师在课堂练习环节， 呈 现错误样例：
在分析时， 学生纷纷回想约分的概念， 做出判断。 有学生确定这两个答案是错误的。于是，教师鼓励学 生说出正确答案及理由。有学生说道：“第一个式子看 似将分子和分母都约尽了，但是它们并没有除以同一个数。这样导致约分前后的两个分数不相等。
16是最简的， 无须约分。”有学生说道：“第二个分数没有约尽。 还可以继续约分，得到
。”根据学生的作答情况，教 师发问：“什么是约分？”学生回顾课堂学习内容和错 误样例，总结约分的概念。之后，教师设计难度不同 的练习题，引导学生进行约分。在这个过程中，教师 巡视课堂，发现学生的练习错误，作为错误样例，引 导学生继续改正、解释概念错误。
通过这样的课堂练习，学生灵活应用了数学概 念，纠正了错误样例，加深了对数学概念的理解。
四、结束语
综上所述，教师有效设计错误样例，并应用于不 同教学环节，可以使学生获得概念学习的主动权，充 分发挥自主性，分析、改正、解释错误，加深对数学 概念的理解， 同时锻炼思维能力、数学表达能力等， 切 实实现错误样例的价值，增强数学概念教学效果。基 于此，在小学数学概念教学中， 教师应关注错误样例， 结 合数学概念，遵循针对性原则、典型性原则和过程性 原则，精心设计错误样例，并以课堂教学环节为入手 点，灵活应用错误样例，使学生弥补前概念不足，积 极探究新概念， 扎实掌握新概念， 同时锻炼多样能力， 做到学有所得，提高概念学习的质量。
参考文献
[1] 胡亚萍.运用“四三三”策略，助力小学中高段数 学概念教学[J].数学大世界,2022(1):16-19.
[2] 林淑雅.错误样例在小学数学概念教学中的运用研 究[D].福州:福建师范大学,2021.
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