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摘要：概念教学属于小学数学中的重难点内容，新课程改革中所提出的十大核心概念也体现出了概念教学的重要意义。APOS是美国著名教育学家杜宾斯基在研究实践中所提出的针对概念学习的过程理论，它注重把数学概念融入到现实背景中，使学生借助于亲身体验、经历，把理论和现实结合起来，从而让学生经历一个完整的概念学习过程中。因此，APOS理论应用于小学数学概念教学中，可以使学生正确理解与应用数学概念，从而促进教学效率的提升。
关键词：小学数学；高年级；APOS；概念教学
数学概念属于数学教学的逻辑起点，同时也属于小学生认知的基础，是培养小学生数学思维的重点，在小学数学课堂教学中占据着非常重要的位置。数学概念属于数学知识体系的核心组成部分，如果教师不重视数学概念的教学，培养学生的数学综合能力就成为了空谈。只有让学生能够正确理解与应用数学概念，才可以真正掌握数学基本规律。
一、APOS理论概念教学模式概述
APOS是由action（活动），process（过程），object（对象），scheme（图式）四个单词的首字母组合而成。APOS理论提出，在进行数学概念学习的过程中，依靠引导个体（学习者）进行思维活动、过程以及对象等四个阶段，个体（学习者）通常能够在建构和反思的基础上将其组合成图式，进而更加有效的理清问题情境，促进数学问题的解决。关于APOS理论，一般来说其在小学数学课堂教学中的应用需要经历以下四个阶段：
（一）活动（action）
“活动阶段”是学生理解数学概念的一个前提条件，借助于科学的活动让学生亲身体验、感受数学概念的直观背景和不同概念间的联系。学生只有在活动中才能加深对概念的理解。但是，在活动过程中不能丢掉数学的本质，不能“去数学化”，活动的目的是为了更好地理解数学概念。所以在经历活动后，要将其抽象并上升到数学层面。
（二）过程（process）
持续的重复上述活动，让学生从中获得反思，从而在学生的脑海中形成一种内部心理建构，即是产生一种过程模式。这样的过程模式能够让活动体现出自动化的表现形式，而非再依靠外部刺激获得。数学概念在过程阶段表现为各种步骤，具有直观性与可操作性，学生能够有效进行模仿，符合小学阶段学生的思维。
（三）对象（object）
数学概念教学到对象阶段，体现出一种静态结构关系，让学生容易从整体上去理解和掌握概念性质，此刻一个完整的思维才最终形成。从过程逐渐到对象，在这一期间应当引导学生积极思考，让学生经过认知与建构等智力活动，以过程为对象，深入挖掘其价值，尤其是将自动化的行为活动转变为主动自觉的思考，让无意识变为有意识。
（四）图式（scheme）
学生对于活动、过程、对象和自己脑海中已有的相关的问题图式予以整合，即可出现新的问题图式。这一图式的主要功能与特征即是能够决定某些问题或某类问题是否属于该图式，进而做出差异化的反应。显而易见的是，学生的思维与认识在这样的持续建构中能够提升到更高的层次，对数学概念进行更高层次的思考。
二、基于APOS理论下的小学数学概念教学策略
（一）活动阶段的教学策略
在APOS理论中，活动阶段主要指的是对数学概念属性的操作与观察，体现数学概念的具体实例阶段。教师应当让学生亲自体验，去理解直观背景和数学概念的关系，为学生所提供的感性材料需要满足小学生的认知规律，合理制定教学活动，确保教学活动能够直接指向数学概念的内在本质，依靠“几何直观”逐渐感知数学概念，发挥出以形助数的功能。例如，在教学“小数的初步认识”这部分知识的过程中，教师可给学生提供他们较为熟悉的实际生活的事物或情境，依靠具体的量（米、分米、厘米、元、角、分）以及几何直观图（数尺、数轴等），要求学生自己动手做一做、涂一涂，从这些图形思考和提取所反映的信息内容，从而直接感悟小数和十进分数的关系，掌握本节课的知识概念。
（二）过程阶段的教学策略
在小学数学概念教学中，组织开展操作活动的目的在于启发学生思考，而过程阶段主要引导学生对操作予以思考，让学生的思维经过内化与压缩，在脑海中对操作活动持续的进行反思与描述，让学生逐渐抽象出数学概念的性质。针对一些重难点概念，持续的重复对学生数学综合素质能力的培养与提升还是不够的。同时，数学概念的建立仅仅依靠语言和符号的抽象进行描述也往往无法达到预期效果。过程阶段即是让学生对新接触到的数学概念进一步深化，在师生进行交流互动之后，采取小组合作的教学方式，让学生经历从直观感知→语言表述→数学符号语言描述的整个过程，从而明确概念定义。
以“认识负数”为例，我们向学生提出问题：（1）负数的意义是什么？（2）负数和正数的区别？（3）请列举负数在生活中的运用？让学生分小组讨论，从而对负数的概念有一个框架。随后为加深对负数存在意义的理解，给学生播放天气预报，他们不知道到底是-3℃冷还是-13℃比较冷……在教师的指导下学生了解到，当我们在表示寒冷的天气时，负数的出现能准确地表达“冷”的含义。最后让学生列举负数在生活中的运用。开始学生只能想到温度，后来他们逐渐列举出收入与支出、楼上和楼下等一系列相反的概念，并尝试用正、负数进行表示，譬如负一楼为-1F。这就是学生内化数学概念的过程，同时也是从直观感知到数学符号语言描述的过程。
（三）对象阶段的教学策略
在此阶段，需要让学生对数学概念的具体属性予以整合，进而提炼得到数学概念的本质属性，获得概念的定义与符号表示。教师需要合理引导学生仔细观察、横向比较分析，从而让他们从各个例证中排除非本质属性，总结得到共同的本质属性，在脑海中形成概念。当学生对数学概念有初步的建构后，需要让学生对数学概念定义中的重点词义予以思考和辨析，从而了解数学概念的内涵与外延。在这一阶段，教师可以让学生进行一些分析练习，从而加深他们对数学概念的理解，促进其数学思维能力的提升。比如，在教学“小数的意义与性质”这部分知识的过程中，我们给学生提供如下思考题：在数轴上的同一个点分别填写对应的小数，并想一想0.1与0.10的相同点和不同点，1和
1.00呢？依靠“数轴”这一直观模型，实现了数形结合，学生可以更快比较小数的大小异同，认识到小数部分一个是一位小数，一个是两位小数，而0.1代表1个十分之一，0.10代表10个百分之一。随后再提出问题：1还能够用什么小数表示？引导学生再直观感受小数的基本性质，融入“变”与“不变”的辩证思想，促进小学生思维的提升。
（四）图式阶段的教学策略
因为新旧数学概念之间为类属关系，因此图式阶段的教学中，教师需要让学生了解数学概念之间存在的内在联系，进而真正形成概念系统，让学生头脑中的概念结构进一步丰富和优化，培养学生的数学理解能力。
例如，在教学“用字母表示数”的过程中，前后设计了三次思维辨析：首先是在相同事件中，两名不确定年龄的教师可以使用什么字母表示？在学生思辨中让他们理解到，不同字母代表不同的数，它们存在不确定的比较关系。其次从用字母表示数发展为用字母式表示数，组织学生进行用字母式表示和用字母表示的辨析与比较，思考相互之间的差异和联系，字母式不但能够代表数量，同时又能够表示数量的关系，所以在相同事件中两个数如果有联系，即可选择字母式进行表示。最后是表示方式的变化，持续多次结合两人年龄关系式写出对应的字母式，对同一人不同的表达年龄字母式进行分析对比，让学生可以更好的理解对应思想视角下用字母式表示数的本质。
应用APOS理论，能够真正凸显出在做中学、做中思的教学原则，可以很好体现出小学生对数学概念的一个认知过程。借助于对学生具体学习情况的观察和分析，能够帮助教师合理调节教学方法，让学生深入理解数学概念。
三、结语
总而言之，APOS理论应用于小学数学概念教学中，教师应当充分认识到，数学概念学习的目标在于帮助学生构建心理图式。在课堂教学中，教师不仅应当重视学生在学习活动和过程中的主动参与，促进学生主动构建知识体系，同时还需要帮助他们总结教材中的知识内容，把新掌握的数学概念和已知概念充分融合，进而不断完善优化概念图式，从而真正提升教学效率。
参考文献：
[1]孙雪梅.基于认知结构差异理论的数学教学的探究[J].数学教学通讯，2008（8）.
[2]钱丽娜.基于APOS理论的小学数学概念教学研究[D].杭州师范大学，2018.
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