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摘要 : 运算教学是小学阶段课堂教学的重要组成部分 , 其教学目标不仅仅在于引导学生 理解算理 , 更重要的是为了培养学生的运算能力 , 帮助学生掌握算法 。 算理与算法二者 具有严密的逻辑关系 , 算理是数学基本概念 、公式以及定理的总称 , 而算法揭示了运算 规律 , 是基于算理而总结得出的 。 算理与算法的有机结合为学生构建系统化的数学知识 框架创造了条件 。 文章在对算理分析的基础上 , 探究算理与算法之间的关联 , 继而提出 内化算理形成算法的策略 。
在《义务教育数学课程标准(2011年版) 》中 “数 的认识 ”与 “数的运算 ”是两个主题 , 而在《义务教育 数学课程标准(2022年版) 》中将二者合并为 一 个主 题 , 其主要目的在于促使学生理解算理与算法 , 探 究二者之间的关系 , 并在此基础上培养学生的运算 能力及推理意识 。
一 、以知识学习引导 , 帮助学生理解算理意义
算理是数学运算的理论基础 , 其中涵盖了数学 的基本概念 、公式与定理等 , 体现了运 算 的 规 律 , 表现为抽象的运算知识 。可以说 , 算理是具象化的 运算过程与运算方法的基础 。算理能力培养的目标 要求学生在运算的过程中 , 以算理为基础 , 选择正 确的运算方式并在运算的过程中发展自主分析问题 与解决问题的能力 。数学运算知识的学习 、运算能 力的培养都依赖于算理 , 算理具有抽象化的特 征 , 体现了知识的本质 。在小学数学课堂教学中 , 教师 应充分利用新旧知识之间的关联 , 引导学生在复习 巩固旧知识的基础上产生对新知识的探究欲望 , 从 而领略新旧知识的共同基础 —算理 。该方法应用的目的在于将新旧知识对比后挖掘二者的共同点 ,达到既能降低学生学习难度又能提升学生对算理理解力的目的 。
例如 , 在除法竖式运算的教学中 , 学生要学习两位数除以一位数或者三位数除以一位数的除法应用 。这一知识点的算理是除法的概念与意义 , 需要运用公式及口算的规则等 。
除法是已 知 两 个 因 数 的 积 与 其 中 一 个 非 零 因数 , 求另一个因数的运算 , 其基本的公式是 : 商 =除数(被除数)/(除数 ≠0) , 在这个公式中 , 除数如果等于0. 则公式就没有意义 ; 除法的意义是把 一 个 单 位平均分成多少份 , 每份有几个这样的单位 , 因此除法的本质意义在于求平均数 。据此 , 教师可以通过画图或者是实物操作的方式向学生解释 , 除数等于零是无意义的 。 画图法便于学生理解及掌握除法的公式 。
教师在教学中 , 从 “分小棒 ”中引导学生复习巩固旧知识 。首先要求学生从 9个小棒中一次分三个小棒 , 一共分三次 。其次布置竖式运算例题6/36=?教师利用旧 知 识 讲 解 每 份 6个 , 36分 成 几 份 , 在获得正确答案后再追问学生两个问题 : 如果将 6改换成 0. 即0/36表 达 什 么 意 义? 为 什 么 得 到 的 商 “6”写在个位而不是十位上?
这两个问题能引发学生对除法公式及除法意义 的探讨 , 其目的在于以算理的学习为除法运算的应 用奠定基础 。教师通过学生的回答了解到学生所应 用的运算方法 , 继而与学生探究新旧知识共同所依 据的运算算理 , 以便达到引导学生利用推理 、对比 理解算理的目的 , 为学生后续的算法学习与应用奠 定基础 。
二 、以算理为基础 , 促进学生把握算法的应用
算法与算理是不同的 , 算法侧重于表明数学运 算规律 , 学习目标在于为数学运算方法的选择与应 用提供理论支持 。学生可以在解决数学问题中 , 应 用恰当的运算顺序 、合理的运算逻辑来实施运 算 , 以达到 减 少 运 算 时 间 、提 升 运 算 效 率 的 目 的 。 当 然 , 算理的理解与算法的掌握是统一 的 , 二者的应 用不仅有助于学生构建系统化的知识框架 , 对于他 们深入理解运算的相关知识 , 引导学生从理论的视 角认知运算的本质 , 提高运算能力和运算精准 度 , 在理解新知 、创新学习方法等方面起到促进作用 。
教师在教学中 , 以引导学生建立算理与算法之 间的关联理念 为 主 要 目 标 , 需 要 以 实 际 问 题 为 载 体 。学生在应用算法分析与解决问题的过程中逐渐 理解算理 , 通过掌握算理的方法将其应用到相同类 型的数学问题中 , 举一反三 , 同时强化了学生对算 理与算法关系的认知与理解 。在此过程中 , 学生能 够应用正确的运算方法 , 实现正确的运算步骤 。
如在 “小 数 乘 整 数 ”的 课 堂 教 学 中 , 教 师 列 出0.3×10= ? 要求学生进行运算 。学生应 用 的 算 法有两种 : 一种是通过将 0.3连加 10次的 方 式 得 出 结果 。另一种是将 0.3扩大 10倍 得 到 结 果 。 两 种 算法得出的结果均正确 , 教师据此引导学生探究不 同的算法所依托的算理 。
探究得出 结 论 : 0.3连 加 10次 的 算 法 源 于 乘 法的意义 , 即乘法是求几个相同加数的和的简便运 算 ; 将 0.3扩大 10倍的算法依据的算理 是 积 的 变 化规律 。积的变化规律是两个数相乘 , 一个因数扩大(或缩小) N 倍 , 另 一 个 因 数 不 变 , 那 么 它 们 的积也扩大 N 倍 。 通 过 例 题 引 出 恰 当 的 算 法 , 再 由算法探究出算理 , 从而促使学生顺畅地理解算法与算理间的内在联系 。在此基础上 , 教师举出 0.5×10= ? 5×10= ? 等 一 系列算式 , 其中 涵 盖 小 数 乘整数 、整数乘整数等不同类型 , 对此教师提出两个基本问题 : 比 较 0.5×10与 5×10二 者 结 果 的 差别 , 运算结果差别的原因是什么? 如果将原来的算式改 变 为 10×0.5 与 10×5. 运 算 的 结 果 有 变化吗?
针对第一个问题 , 学生根据乘法的基本概念分别从两个方面进行解答 。第 一 是 10个 0.5相 加 得到 5; 5×10同样表达的是 10个 5相加 , 最终得到50. 二者的区别就在于 5是 0.5的 10倍 , 结 果 也必须相 差 10倍 , 因 此 符 合 “一 个 因 数 扩 大 ( 或 缩小) N 倍 , 另一个是因数不变 , 那么它们的积也扩大 N 倍 ”的积的变化规律 。在第二个问题中 , 变化了的算式 10×0.5、10×5与 0.5×10、5×10的运算结果并没有不同 , 这 一 结 果 表 现 了 “求 几 个 相 同加数的和的简便运算 叫 作 乘 法 ”的 基 本 要 求 。 问 题探究的主要目的在于引导学生对乘法的基本概念与积的变化规律予以深刻理解 。
基于不同类型的数学乘法算式而理解相同的算理 , 继而促使学生选择正确的算法进行运算 。在这一过程中 , 教师引导学生分别从正向思维与逆向思维理解乘法的算理本质 , 加深学生对乘法的 概 念 、乘法的意义 、积的变化规律等运算方法与技巧的掌握 , 使学生形成算理思维 , 建立算理与算法关联的理念认知 , 有助于学生把握运算的本质 。尤其在其面对复杂问题时 , 学生能够以算理为基础准确选择算法 , 化繁为简 , 高效地解决实际问题 。
三 、以学情为基点 , 辅助学生厘清算理与算法的关联
厘清算理与算法之间的关联可以引导学生应用算理指导算法选择 , 正确的运算方法 、规范运算的过程 。学生是课堂学习的主体 , 因此教师应该在把握学情的基础上应用合适的教学方法 , 引导学生主动探究 , 变被动学习为主动合作 。运算教学中的算 理属于基础理论知识 , 是进行运算方法应用及实施 运算的程序 、步骤的理论依据 , 解决了 “为什么 这 样运算 ”的问题 。
例如 , 整 数 乘 法 运 算 : 3×5= ( ) 6×4= ( ) 2×8= ( ) 等算式 , 学生可以利用口算的方式直接得到结果 。
分数乘法 运 算 : 运 算5/3×3/5( ) , 不 少学生依然应用口算的方式 , 在运算方法与运算过程 等方面也没有出现问题却不清楚深层次的算理 , 不 知道 “为什么这样运算?”这 一 问题的实质是缺乏算 理与算法之间内在关联整体性认知 。 因此 , 在教学 中应从知识的 整 体 结 构 出 发 , 厘 清 教 学 的 内 容 在 “数与运算 ”主题中 的 地 位 与 作 用 , 紧 扣 基 础 知 识 , 设计适合学生心理规律和认知特点的探索活动 , 引 导他们自主经历算理与算法的探索过程 , 感受数与 运算之间的内在联系 , 培养运算能力和推理意识 。
四 、以算理的理解为基础 , 达到学生自主建构 算法的目的
课堂是 培 养 学 生 自 主 探 究 学 习 能 力 的 主 要 渠 道 , 将算理结合算法教学能有效提高学生的数学知 识掌握及解决实际问题的能力 , 从而培养学生的核 心素养 。 因此 , 教师应从新旧知识连接处入手 , 帮 助学生掌握算理 , 借助实际运算问题提升学生算法 意识 。通过相关题型的归纳 、讲解 , 培养学生提高 应用算法的能力 , 有助于学生更好地掌握算法和算 理 , 建构算法 。
例如 , 教师可设置情境 : 学校 即 将 举 办 “体 育 节 ”, 在筹备体育节的过程中 , 教师需要购买大 量 体育用品 , 这 些 体 育 用 品 包 括 乒 乓 球(52个) 、 羽 毛球(40个) 、毽子(48个) 等 , 其 使 用 的 对 象 分 别 是男同学与女同学组成的运动队 。
要求 : 如何将乒乓球 、羽毛球 、毽子合理分配 给男女两个队的运动员?
针 对 乒 乓 球 (52 个 ) 、 羽 毛 球 (40 个 ) 、 毽 子(48个) 进 行 分 配 , 分 配 的 对 象 是 男 女 两 个 队 , 其中分为三种类型的答案 。
第一种乒乓球(52个) 平均分配到男女运动队 :
52÷2= ( )
第二种羽毛球(40个) 平均分配到男女运动队 :
40÷2= ( )
第三种毽 子 (48个) 平 均 分 配 到 男 女 运 动 队 :
48÷2= ( )
教师要求学生提出个人想法 , 列出与之对应的运算公式并以口算的方式运算出最终的结果 , 分析其所表达的意义 。
52÷2= (26) : 52÷2= 表 示 52中 有 2个 26.
两个 26 是 相 等 的 , 因 此 是 将 52 个 乒 乓 球 平 均分配 。
40÷2= (20) : 可以用画图来理解其中的意义 ,一个长 条 是 由 十 个 火 柴 棒 组 成 , 4个 长 条 就 会 有40个火柴棒 , 总共有 40个火柴棒 。 四个长条可以
划分为两个长条 , 而每个长条里面有 20个火柴棒 。
所以 , 40÷2= 20.
48÷2= (24) : 可 以 应 用 口 算 的 方 法 解 决 ,十位的 4除以 2. 十位是 2. 个位的 8除以 2. 个位是 4. 因此最后的结果 24. 是由十位的 2与个位的4组成的 。
在教师的引导下学生自主思考并选择的运算方 法及所 应 用 的 运 算 过 程 , 体 现 除 法 运 算 的 算 理 。 通过情境设置引导 学 生 在 解 决 问 题 的 过 程 中 回 顾 整十数除以 一 位 数 口 算 的 算 理 与 算 法 , 强 调 除 法 的定义 、运算的 法 则 , 引 导 学 生 在 后 续 学 习 中 主 动从 “运算单位 个 数 的 运 算 ”角 度 , 探 索 和 理 解 两 位数除以 一 位数 的 算 理 , 为 其 主 动 建 构 算 法 创 造 条件 。
参考文献
[1] 魏先玲 . 把握教材内容逻辑 促进算理算法融通 —基于三版本教材 “分数除法 ”单元的比较分析[J] . 现代中小学教育 , 2023. 39(1) : 33- 36.
[2] 滕兴志 . 探讨小学数学运算教学中算理和算法的有效结合[J] . 新课程 , 2022(38) : 188- 189.
[3] 刘丽 芹 . 小 学 数 学 计 算 教 学 中 算 理 和 算 法 的 有 效 结合[J] . 天津教育 , 2022(15) : 19- 21.
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