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摘 要：计算是学生数学素养中最根本的能力和最基础的素养。提高计算效率、提升计算能力是学生学好数学的必过关，也是当下发 展学生核心素养的时代要求。结构化是基于对知识的整体建构和理解，体会知识的连续性和一致性。算律决定算理，算理决定算 法，因此在教学实践中，要让学生理解算律、掌握算理和通晓算法，是提高小学数学计算素养的有效策略。
[关键词]结构化,计算教学,小学数学
数学是一个相互关联，整体建构 的有机体，这一特征决定了用结构化视野引导学生学习，帮助建构知识整体将是一种十分重要的学习方式。核 心素养时代重塑了教育教学的内涵和 价值，不能局限于知识的点状获得， 而是形成知识串的勾连，促进知识面 的关联，建构知识体的连结。将表面 化、碎片化的“浅层学习”，转变成联系性、一致性的“深度理解”。本文以 计算教学为例，谈谈结构化视域下如 何提高学生的计算能力和素养。
一、理解算律的科学性
算律，即运算律，是通过对一些 等式的观察、比较和分析而抽象、概 括出来的运算规律。既是重要的数学 规律，也是数学运算固有的性质。苏 教版小学数学教材，主要教学加法交 换律、加法结合律、乘法交换律、乘 法结合律和乘法分配律。
(一)经历算律生成的过程
运算律是一种规律，它自然地存 在于数学世界。但是运算律的教学， 不能简单地告知，而是要让学生经历 算律生成的全过程：观察、猜想、验 证和结论。观察、猜想和验证，是环 环相扣，相辅相成、循环生成的一个有机整体。
观察：猜想的前提运算律的教学，首先要引导学生 观察，在反复观察比较中，得出猜想。 例如在教学乘法结合律时，学生经历 了两次观察，观察主题图，根据教学 情境，列出两个不同的算式，并阐述 列式依据。再次对两个算式及其结果 进一步观察，发现这两个算式的结果 相同。于是就产生一个猜想，是不是 只要符合这种形式的两个算式都一定 相等?
验证：猜想的检验有了猜想，就要验证。6×3+4×3 是否真的等于(6+4)×3.学生尝试 用多种方法验证。
1. 通过计算，学生发现两个算式 的计算结果都等于 30.所以说这两个 算式相等。
2. 通过画图，学生通过画圆圈 图、点子图、格子图等不断具象出数 的本质特征，然后通过画一画、圈一 圈，数形结合发现两个算式的结果是 相同的。
3. 通过说理，学生通过举生活中 的实例，结合算式的不同解释，发现 其结果是相同的。
4. 透过现象，揭示本质。通过对现象不断深入地分析，发现这两个算 式的本质都是计算几个几相加的和是 多少，具备乘法的基本属性，只不过 一边是分开来乘，另一边是合起来乘， 但总数没有变化。
通过多种感官参与验证，发现猜 想是正确的。但是，只有这么一个式 子，并非能说明所有符合这样形式的 式子都相等，因此还不能下结论，要 进一步推广验证。
推广：举一反三规律的发现，光靠一组数据肯定 是不足以说明的。是不是所有符合这 样特征的算式都符合乘法分配律呢? 需要举一反三，放手让学生举更多的 例子，从不同的角度丰富素材，通过 交流、讨论、争辩，最后归纳整理出 符合像这样特征的算式，都符合乘法 分配律。
通过经历发现规律的全过程，尤其是验证环节的多种形式的参与，让 学生在思辨中不断加深对乘法分配律 的本质的理解，从而信服规律。
(二)体会算律运用的价值
为什么要去发现和运用运算律呢? 运算律是数学运算固有的性质，运用 这样的性质可以方便的解决实际问题， 让学生通过运用运算律，体会到运算律给计算带来的方便。
通过练习，灵活运用运算律，有效提高学生的数感和运算能力，这是 新课标的实践要求。
二、体会算理的一致性
“算理”在数学的定义上，是指 四则计算的理论依据，它是由数学概念、性质、定律等内容构成的数学基 础理论知识，其内涵包括数和运算的 意义，运算的规律和性质。算理则是 说明“为什么这样算”的数学原理， 其为学生形成可操作化的计算提供正 确可靠的数学依据和思维过程，是学 生运算能力形成和提高的有效支撑。
(一)梳理知识，建架联系
认知心理学家布鲁纳认为，学习 就是认知结构的组织和重新组织，只 有抓住联系才能更好地把握结构、生 成意义。
1. 与生活的联系
数学与生活有着密切的联系，数 学来源于生活，又应用于生活。数学 教学应当创设生动的情境，根据学生 已有的生活认知和知识水平进行教 学。例如在教学一年级上册“9 +几” “8.7 +几”等进位加法时，教材创设 了小猴卖桃的情境，盒子里有 9 个桃， 盒子外有4个桃，问：一共有几个桃? 仔细阅读教材，体会编者的意图，就 不难发现，盒子里有 10 个格子，但是 只装了 9 个桃，编者有意让学生通过 观察，发现可以先往盒子里装一个桃， 这样就是一满盒也就是 10 个，外面 还剩 3 个，10+3=13.所以教师在教 学时，让学生充分观察，搭建数学与 生活的桥梁，让学生在数学学习中捕 捉到生活的影子，知其然更知其所以 然。让孩子经历这样的思维过程，充 分理解为什么计算时要先把 9 加 1 凑 成 10.同时，学生还可以根据已有经 验，先从盒子里拿出 6 个桃子和外面 的 4 个桃子合成 10 个桃子，这样盒子 里还剩下 3 个，这样 10+3=13.从生 活的角度再一次体验计算过程，经历 完整的算理形成过程。所以在算理的教学中，我们要适时地帮助孩子，建 构知识与生活的联系，让学生根据已 有的生活经验去思考，从而加深对算 理的理解。这样的例子还有很多，如 两三位数乘一位数，即或前文谈及的 运算律的教学等。生活是数学的土壤， 每一个数学知识、原理的背后，都隐 藏着生活的影子。因此，无论是计算 教学还是其他内容的学习，教师一定 要让学生回归生活，找寻生活中的原 型，为学习奠定根基。
2. 知识之间的联系
知识都是有联系，结构化教学的 主要目的，就是打通知识之间的壁垒， 让学生体会知识的一致性，将表面化、 碎片化的知识点，链成知识串，形成 知识面，建构知识体。所以，结构化 视域下的“算理”教学，就要疏通知 识脉络，建立知识连结。承接上面的 例子，“9 +几”的教学，力求帮助学 生建构“满十进一”基本算理，那接 下来两位数加一位数，两位数加两位 数，以及多位数的加法，就是在“满 十进一”的基础上进行深入研究，因 此在教这部分知识的时候，教师一定 要引导学生回头看，找到知识的原点 在哪里。同时也要展望未来，去向哪 里，只有清楚了知识的来龙去脉，才 能更清晰地认识到算理的一致性。例 如，在一年级下学期教学两位数加一 位数时，学生通过情境的解读和理解， 列出算式“24+9= ”，学生通过多种 办法去寻求结果。学生找寻解决方法 的过程，其实就是建构知识之间的联 系，有的同学可能使用了竖式思维， 即相同数位相加，也有的同学可能使 用了口算思维，即先凑整十等，虽然 方法不同，但连结点相同，就是“满 十进一”。建立知识间的联系，可以 帮助学生体会计算的整体性和一致性， 帮助学生建立计算算理的基本结构，有 利于让学生体会知识的一脉相承，获 得知识的迁移能力，让孩子在探索未 知的过程中，形成科学有效的学习方 法，建构整体思维。
3. 与已有认知的联系
加强对算理的理解，体会算理的 一致性，还要建立与学生已有认知的 联系，形成理解的正迁移。例如，苏 教版五年级上学期学习小数的加减法 乘除法。先说小数的加减法，小数的 加减法其实同理于整数的加减，因此 在教学时，首先要唤醒学生的已有认 知，整数加减法的计算法则、运算律 等。接着，在学生计算时，让其体会 与整数加减法的一致性，即相同数位 相加，这一基本规则。从这一视角出 发，帮助学生理解为什么计算小数时， 小数点要对齐，而不是末尾对齐。从 根源上找到算理的本质，后文将重点 阐述。小数的加减法可以联系整数的 加减法，小数的乘除法也可以联系整 数的乘除法，小数的计算如此，分数 的计算也是如此，他们都是一脉相承 的，这不仅是知识体系的一致性也是 认知结构的一致性。所以，加强对算 理的理解，从根本来说，还要打通认 知的壁垒，建构认知的统一，形成认 知模块顺向迁移，才能着眼未来。
4. 与未来的联系
体会算理的一致性，还要建立与 未来的联系。教材在教学三位数乘两 位数时，只是呈现了三位数乘两位数 的教学实例，三位数乘三位数在练习 中出现，让学生尝试完成，如果就此 打住，那么对学生形成算理一致性的 理解是有偏颇的。知识有起点，正如 特级教师俞正强提倡的那样，我们要 上好种子课，但是知识终究会去哪里， 这也是值得我们思考的。正如上面谈 及的多位数乘法，教材只有比较简单 的实例编排，但作为教师一定要着眼 未来，建立与未来的联系，让学生尝 试思考更多位数的乘法算理，体会算 理的一致性，提高学生的计算能力， 凸显学生的思维水平，提升学生的数 学素养。
(二)凸显本质，建构统一
1. 问题驱动，锚定本质
核心问题的驱动和引领，能够引 导学生定锚知识本质，促进思维发展， 提升关键能力和必备品格。例如学生在学习了三位数乘两位数、三位数乘 三位数之后，教师可以提出问题：“老 师翻遍了整个小学教材，发现今后再 也不学整数乘法了，怎么会这样呢?” 看似一个简单的问题，其实背后却是 对本质的理解。学生思考为什么不 学，一方面是在梳理前知，在对比发 现，在迁移运用，另一方面也是在总 结提炼，归纳计算方法的共性，挖掘 多位数乘法的本质。再如，教学完整 数乘法之后，教师会追问：仔细思考， 为什么乘法口诀表只编到 9.不继续 编下去了呢?学生可能会回答，编 到 9 就够了，因为我们在计算多位数 乘法时，都是用一个数与一个数相乘 的。再比如在教学异分母分数加减法 时，教师往往会提问：为什么我们在 计算异分母分数加减法的时候，要把 异分母分数变成同分母分数才能相加 减呢?之前，你们经历过这样的情况 吗?其实，加减法的本质是计量单位 累加或相减，只有相同的计量单位才 能实现相加或者相减，迁移整数加减 法，为什么相同数位要对齐，再迁移 到小数，为什么小数点要对齐，其实 对齐的本质就是使得计量单位一致， 也只有这样才能相加减。所以说，核 心问题就是一种思维的驱动力，引领 教与学走向深度和本质，能够促进学 生能力和素养的提升。
2. 辩证思考，建构统一
正向迁移能够使得教与学走向深 入，直抵本质。但有时我们还要辩证 的看问题，这样才能使得知识更加通 透，达到教与学的统一。例如，在教 学小数计算时，教师可以让学生思考， 为什么小数加减法和除法，都需要小 数点对齐，而小数乘法不需要。在之 前的学习中，有过类似的经历吗?学 生可能会想到，我们在计算整数末尾 是 0 的乘法的时候也不需要相同数位 对齐的，3400 乘 12 时， 我们把 3400 看成了 34 个百，只要计算 34 乘 12 即可，算出的是 408 个百，所以添上 两个 0.就可以计算出结果了。小数 乘法，其实也是将小数看成了多少个0.1、0.01……所以先算整数乘法， 再 添上小数点就可以了。计算教学中， 进行了辩证的思考，更有利于学生建 构知识的统一，找到知识点连结，建 构知识体系。
(三)多种方式，深化理解
1. 直观操作
低年级学生主要以具体形象思维 为主，记忆以短时记忆为主。因此计 算教学中“算理”的理解，应引导学 生结合具体情境，观察具象，调动多 种感官参与，借助小棒、圆片、计数 器等数学工具，通过直观操作活动将 抽象的算理显现出来，为算法构建提 供原型支撑。例如“9+ 几”的教学 亦或是两位数加一位数的教学，教师 都要让学生经历实物操作的过程，拿 出小棒捆一捆，拿出圆片摆一摆，拿 出计数器拨一拨，通过具体直观的操 作，让学生体会“满十进一”的计算 原理。
2. 数形结合
华罗庚曾经说过，“数无形时少 直观，形无数时难入微”。数形结合是 常见的数学思想和数学方法。抽象的 算理，常常让学生难以真正理解，借 助直观图形就可以将抽象的数量关系 形象化，直观化。张奠宙先生曾经说 过，计算的本质是度量。将“图形与 几何”的度量引入“数与代数”，意在 以“面积”为计算模型。从“形”入 手，数形结合，帮助学生形成数感， 理解和掌握算理，从而提升运算能力。 例如前文谈及的乘法分配律教学时， 教师和学生都可以通过把算式转化成 学生熟悉的长方形的面积和计算，可 以分开算，也可以先算出长(或宽)， 然后再计算，这样的教学可以加深学 生对乘法分配律的直观认识，帮助学 生进一步理解。
“算理”的认识、分析与理解， 应注重激活学生已有的知识经验，建 立联系，形成意义联结;应在“算理” 生根、发展、深入的基础上，凸显本 质;同时还要多角度，多侧面，多方 式的共通，在灵活应用中，定锚本质。
三、精通算法的多样性
算律决定算理，算理决定算法。 学生不仅要明白算律的科学性、理解 算理的一致性，还要精通算法的多样 性，学会用自己喜欢的方法进行计算， 从而提高自身的计算能力，提升计算 素养。如前文谈到的计算两位数加一 位数 24+9. 可以先用 4+9=13. 再用 20+13=33 ;也可 以先 24+6=30. 再 算 30+3=33. 虽 然算法 不一样， 但 计算结果都是正确的，且都是符合计 算算理的。再如计算 25×44.可以 25×44=25×4×11=100×11=1100 ; 也可以 25×44=25×(40+4)=25×40+ 25×4=1000+100=1100 ;两种截然不 同方法，但都符合运算律的特征，且 都是简便计算。鼓励学生用多种不同 的算法进行计算，不但可以培养学生 的求异思维，同时还能提升学生的数 感及应用意识。
除此之外，要提高学生的计算素 养，还需要培养学生良好的计算习惯、 书写习惯、检查验算的习惯，同时教 师还要适时提高学生估算能力，尤其 是在小数计算时，估算能力相当重要。
总之，结构化视域下的计算教 学，更加侧重知识的联系，关注结构 的联结，使得枯燥的计算变得生动， 浅层的模仿变成深度的学习，表面化、 碎片化的知识点变成系统化结构化的 知识体。通过结构化的计算教学，有 效地提高学生计算能力和素养，促进 核心素养的落地生根。
参考文献：
[1] 蒋敏杰 . 小学数学计算教学算 理的结构分析及教学策略 [J]. 中小学 教师培训 ,2016(07).
[2] 慕振亮 , 张春莉 . 求通求联， 让计算教学具有持久生长力—— 以 《三位数乘两位数》教学为例 [J]. 教育 视界 ,2021(29).
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