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摘要：文章从观察—感知数感、计算—发展数感、操作— 习得数感、探索—体验数感、交流—领 悟数感、应用—升华数感六个方面论述了核心素养下学生数感培养的策略。
关键词：数感,核心素养,学生
数学核心素养是具有数学基本特征的、影响个体 生存与发展的最重要的品格与关键能力。数感就是一 种数学核心素养，它是学生能够自觉地运用数的一种 意识，是学生对数的意义和运算的一种敏锐、精确、丰 富的直觉感知、感悟 。数感不仅体现为计算能力及解 决书本问题的能力，体现为人对数与数之间关联的意 识，还体现为学会学习数学，能从数学的角度，用数学 的眼光，从现实的情境中发现和提出问题，同时用数 学的知识、观点和方法能动而灵活地解决问题 。它是 学生认识数学对象， 进而形成数学气质的心智技能， 也是学生学习数学的重要结构变量[1] 。数感作为小学 数学十大核心素养之一，就像语文学科的“语感”、美 术学科的“美感”、音乐学科的“乐感”一样，是学科教 学的重要内容与目标 。在日常的课堂教学中可以发 现，对同一个数学问题或情境，有的学生反应很快，能 迅速作答;有的学生则思来想去，反应迟缓。这就是数 感的差异 。数感强的人，对数的意义和运算有灵敏的 直觉感知能力，能迅速地把握问题的本质，迅速准确 地做出反应 。数感源于生活体验，又指导和应用于生 活实践。数感的形成与发展不会立竿见影、一蹴而就， 而是一个渐进、沉淀、积累的过程。培养学生的数感是 小学数学教学的重要任务，也是小学数学学习的核心 问题之一 。笔者在培养学生数感的教学实践中，采取 了如下策略。
一、观察—感知数感
观察是感知的一种特殊而重要的形式，是知觉活 动的高级形式 。苏霍姆林斯基说过：“发展儿童的思 维，首先就是发展他看见和观察的能力，就是通过对 周围世界的视觉感知来丰富他的思想。”[2]观察是一种 有目的、有顺序的知觉过程，是学好数学的前提条件。 数感的形成并非一朝一夕就能实现， 而是一个长期 的、渐进的过程，学生要养成爱观察的习惯，随时感知、发现和体会数学存在于周围生活中，并用数学的 眼光进行观察，感受数学的趣味、价值、作用 。古今中 外，有许多数学家十分重视观察在学习数学中的重要 作用，如瑞士数学家欧拉、英国数学家牛顿、中国近代 数学的开创人华罗庚，他们都认为观察是数学发现的 先导 。因此，小学生学习数学时，需要根据所学的内容 进行观察，唤醒已有的生活经验，寻找数、体察数、感 知数，只有通过观察，才能感受到数学知识的内在含 义，建立良好的数感。
例如，在一年级上册“我们的校园”一课教学中 ， 教师可让学生走出教室，有目的地观察校园周围的事 物，并提出“学校有几栋教学楼?一楼有几间教室?”等 问题。在问题的引导下，学生会不由自主地数起来，并 争先恐后地告诉教师，这样在不知不觉中就进行了数 感的启蒙。又如，在教学“10 以内数的认识”时，为了让 学生知道“1”这个概念，笔者先请学生说出周围用“1” 表达的事物有哪些 。学生：“1 张桌子、1 个书包、1 支 笔、1 台电脑、1 盏灯、1 辆汽车、1 根粉笔。”随后笔者 进一步帮助学生理解“1”既可以表示 1 个个体，如 1 根粉笔，也可以表示这类个体的 1 个集合，如 1 盒粉 笔;可以表示很大的物体，如 1 个地球，也可以表示很 小的物体，如 1 粒米，进而渗透“1”中有多、多中有“1” 的数学思想 。 同时，笔者还充分利用学生身边的数学 素材，引导学生观察，让学生说说班级有几个小组，每 个小组有多少人，其中女生有多少人、男生有多少人 。 这样学生很容易理解和接受，并在观察中体会到了数 的含义，进而对数有了一个鲜明的认识 。今后遇到类 似的情境和实例时，学生头脑中就会有一个具体的参 照物，这种“接近数学”的行为，使学习充满乐趣，可以 提高学生对数的敏感度，让学生从最初的认识数过渡 到理解数的意义，形成对数的良好直觉，进而建立起 良好的数感。
二、计算—发展数感
学生的数学学习是从认数和计算开始的，这是学 习数学知识的基础，也是培养数感的有效途径 。在计 算的过程中，教师要让学生感知数与数的关联，经历 从具体问题中抽象出数量关系，并探索算法和运算律 的过程，最终体验不同的计算方法，最终能灵活地选 择计算策略 。 同时，教师要意识到算理是算法的理论 依据， 只有让学生在理解算理的基础上掌握算法，才 能轻松自如地进行计算。美国心理学家加涅认为：“掌 握和引用规则，可能是人最主要的一种智慧技能 。要 把规则掌握牢固、运用姻熟，就必须反复练习。”[3]学生 在小学阶段中，需要学习并掌握口算、竖式计算、简便 运算等多种方法 。 口算是计算的基础，口算能力的高 低直接影响其他运算能力的提高;竖式计算是以口算 为基础的复合运算;简便运算则是四则混合运算中一 种特殊的且体现高级思维的运算方式 。另外，这些知 识是有一定联系的，它们互相渗透、融会贯通 。例如， “327÷89”的试商过程就体现了数感的积累和发展。在 计算这道题时，学生要运用乘法口诀，先考虑 8 乘几 最接近 32.基于此，可以把商 5 排除，因为商 5 已经超 过 32 了，然后考虑商 4.商 4 是最接近的了。这时要综 合考虑除法中除数与被除数等各部分的变化关系，89 最接近的是 90.而 327 最接近的是 330.如果商 4 肯 定会超过被除数，最后商 3 就成功了 。整个过程既有 一般方法，又有灵活处理，学生在方法和练习中来回 穿梭，多次训练，计算能力逐步提高，对计算技巧的应 用也更加灵活 。 由此可知，数感的发展要靠教师运用 比较科学且能突现数感训练的计算方法对学生进行 系统的训练，进而在多种计算方法的练习中，使学生 对算式中各部分的变化关系产生更深的认识。这样在 练习的过程中，学生不仅可以掌握知识和方法，更重 要的是发展了数感。
数学是一门基础学科，在学生智能发展过程中起 着奠基和主导作用，没有数学知识，学生就无法形成 数感，相反，如果数感越健全，学生解决问题的策略和 方法也就越简洁与灵活，知识掌握就越扎实。对此，教 师要引导学生参加一系列有效的数学活动，在大量的 计算中进行有针对性的练习， 让学生在计算中感悟， 在感悟中提高，在提高中强化数感。例如，笔者在教学 完六年级上册第三单元“稍复杂的分数应用题”后，设 计了如下一组题，让学生思考解答：“①哥哥和妹妹比 赛剪五角星，哥哥比妹妹的 2/3 少 3 个，哥哥剪了 17个，妹妹剪了多少个?②哥哥和妹妹比赛剪五角星，哥 哥剪的比妹妹的 2/3 多 3 个，哥哥剪了 17 个，妹妹剪 了多少个?③哥哥和妹妹比赛剪五角星，哥哥剪的比 妹妹的 2/3 多 3 个，妹妹剪了 30 个，哥哥剪了多少个? ④哥哥和妹妹比赛剪五角星， 哥哥剪的比妹妹的 2/3 多 3 个，哥哥和妹妹一共剪了 53 个，哥哥和妹妹各剪 了多少个?⑤哥哥和妹妹比赛剪五角星，哥哥剪的比 妹妹的 2/3 少 3 个，哥哥和妹妹一共剪了 47 个，哥哥 和妹妹各剪了多少个? ⑥哥哥和妹妹比赛剪五角星， 哥哥剪的比妹妹少 3 个，妹妹剪的比哥哥多 13 个，哥 哥和妹妹各剪了多少个?”以上这一组题目乍一看很 相似，但数量关系却不同，因此解法也不一样，学生必 须开动脑筋，认真分析、仔细推敲，才能解答出来 。这 样的训练非常有效，对发展学生的数感大有裨益 。在 教学中，教师要善于挖掘教学资源，运用题组训练的 形式，让学生对一些相同、相似或相异的数学内容进 行对比性练习，在练习中认真审题，仔细分析与比较， 领悟其中的联系与差别，强化感知力及对易混淆知识 的辨别力，进而在训练中发展数感。
三、操作—— 习得数感
动手操作是一种特殊的认识活动， 是感知的源泉 和思维的基础。陶行知说过：“动手最重要，这个东西能 创造一切。”[4]皮亚杰认为，“知识来源于动作”，“思维是 从动作开始……”[5]，一语道出了动手操作的重要性。动 手操作是数学课堂最常用、最不可或缺的教学方式。数 学知识具有抽象性、概括性和逻辑性的特点，而通过让 学生操作，如称一称、数一数、掂一掂、倒一倒等，可让 学生发现一些数学问题，找到一些数学规律，学会用数 学的语言符号进行交流， 亲身体验数学知识形成的过 程。在这个过程中，学生眼、耳、口、手、脑等各种感觉器 官可协同动作，感知数学问题。概言之，将抽象的数的 概念寓于动手操作，给学生以形象的体验，可使学生在 生活背景下感受体验、有所领悟，内化所学知识，习得 数感。
例如，在教学“千克的初步认识”一课时，为了让学 生动起来，在做中学、学中做，笔者组织开展了以下操 作活动。①认真称一称：让学生称出 1 000 克的矿泉水 (500 克，2 瓶) 、牛奶(250 克，4 袋) 、香蕉(1 000 克) 。 ②仔细数一数：1 000 克的矿泉水有几瓶?1 000 克的牛 奶有几袋?1 000 克的香蕉有几个?③用手掂一掂：试着 掂掂自己称的三种各 1 000 克的物品，左手掂掂，右手 掂掂，闭上眼睛用心体会 1 000 克有多重。④细心估一估： 教师拿出自己课前包装好的三个外形一样而重 量各异的礼盒，要求学生掂一掂 、估 一估，找出重量 为 1 000 克的礼盒 。⑤亲自倒一倒：让学生把刚才称 的 1 000 克的矿泉水倒入纸杯中，看看大约能装几杯。 ⑥大胆说一说：让学生说出在日常生活中哪些物品大 约重 250 克，哪些物品大约重 500 克，哪些物品大约 重 1 000 克。
苏霍姆林斯基说过：“智慧之花开在指尖上。”上述 动手操作让学生“触摸”了数学知识，体验到了“250 克、500 克和 1 000 克”的实际重量 。其他教师在教学 “重量单位”时，也可以利用实物让学生亲身掂一掂， 产生“手感”;教学“长度单位”时，可以带学生去操场 上走一走、测一测、量一量，让学生感受 25 米、50 米、 100 米、200 米的距离 。这样不仅可以培养学生的数 感，还能使其对数学学习产生乐趣，提升数学素养[6]。
四、探索—体验数感
探索性学习是小学数学学习最重要的基本理念 之一。波利亚说过：“学习任问知识的最佳途径是自己 去发现，因为这种发现理解最深，也最容易掌握其内 在的规律、性质和联系。”[7]心理学研究也表明，儿童有 一种与生俱来的， 以自我为中心的探索性的学习方 式。学生学习知识是接受的过程，更是发现的过程、创 造的过程。数学教学最好的方法就是以培养学生的核 心素养为目标，改变学生的学习方式，引导学生自己 去发现、主动去探索 。因此，小学数学教学中，教师要 创设良好的数感体验情境，将静态的、结论性的数学 知识转化成为动态的、探索性的数学活动。具体而言， 教师可结合课本的例题，联系学生的认知水平，从易 到难、从简单到复杂设置连续性的有关数的排列和运 算的学习任务，要求学生分析、推理，激发其主动探索 求知的欲望， 使其在完成学习任务的过程中感知、体 验数感。
例如，在教学“能被 3 整除的数”时，笔者首先抛 出这样一个问题：“能被 3 整除的数有哪些特征? ”在 学生感到疑惑不解时，笔者组织探究活动并设置如下 探究性学习任务： 首先让学生拿出标有 1、2、3 的卡 片，想想：“这三张卡片上的数字可以组成哪些数? 组 成的这些数是否能被 3 整除? ”然后再让学生拿出标 有 1、2、4 的卡片，想想：“这 1、2、4 的三张卡片又能组 成哪些数?这些数是否能被 3 整除?”最后叫学生拿出 数位顺序表，用 3 根小棒摆三位数，看看：“能摆出哪 些数? 这些数是否能被 3 整除? ”在学习任务的驱动下，经过这一系列的探索，学生的思维都被调动起来 了，之后再让学生说说能被 3 整除的数可能有些什么 特征，这样学生的数感就在探究中得到了发展 。第斯 多惠说过：“教课的艺术不在于教授本事， 而在于激 励、唤醒和激励。”在教学中，教师要善于创设问题情 景，激发学生深入探索问题的好奇心和求知欲，引导 学生自主探索，寻找答案。例如，在“真分数与假分数” 教学中，当学生已懂得真、假分数的意义并能举例说 明时， 笔者把问题出示在多媒体屏幕上：“a/b 是真分 数还是假分数? ”顿时，教室一片寂静，学生思维活跃， 积极探究，有的学生说是真分数，有的学生说是假分 数， 也有的学生说有可能是真分数也有可能是假分 数。对于学生的议论，笔者要求大家说明理由，其中一 位学生说：“当 a<b 时，a/b 是真分数；当 a≥b 时，它是 假分数。”对于这种推理，学生十分认同 。但没过一会 儿，又有一位学生站起来做了重要的补充：“还要 b 不 等于 0 才行。”这说明学生经历了独立探索，对分数意 义有了更深刻的理解， 抽象概括能力进入高一个层 次 。在这个知识的探索过程中，学生从不同角度进行 思维活动，构建数学知识，主体性得到张扬，也对数感 进行了深度体验，从而使探究的成果更完善、更具有 价值。布鲁纳说过，“数学的生命在于探索”[8]。数感说 到底是一种心智技能，是一种心灵的感受，教师在教 学中应为学生创造各种形式的探索机会和平台，帮助 学生在探索的学习过程中把握数的大小、顺序等相对 关系，培养学生良好的数感。
五、交流—领悟数感
《义务教育数学课程标准(2022 年版)》指出“合作 交流等是学习数学的重要方式”[9]，孔子曾说“三人行， 必有我师焉”，都说明了交流的重要性。教学本来就是 一个多项互动、相互交流的过程。生活的环境不同，见 识不同，学生的思维方式就不同，甚至在相同的学习环 境中，他们思考、理解和感悟的东西也是不同的，都带 有各自鲜明的生活烙印，因此在教学中，交流是课堂教 学的重要环节，是师与生、生与生相互启发、共同学习 的重要环节。同学之间的语言是最容易理解的，课堂间 的交流可以起到多种作用，通过广泛的交流，学生的思 维呈开放状态， 可以有效突破学习重点， 化解学习难 点，激活思维，学会合作，提升交流能力，进而实现有效 学习。因此，在课堂教学中，教师可根据教学内容和要 求，精心设计交流内容，让同桌、同组的学生自由、充分 地交流，在交流中互相启发、互相学习、互相借鉴，共同进步，进而形成数感。具体实践中，教师可联系日常生 活唤起学生的主体意识，并趁机设置情景问题，要求学 生以小组合作的方式找出问题的答案， 从而引导学生 相互交流，领悟数感。
例如，在教学“两位数乘以一位数”乘法时，笔者 设置了以下两个情景问题，要求学生分成四人为一组 的小组进行交流：“①解放军去拉练， 带了4 个帐篷， 每个帐篷能住 23 个人，3 个帐篷最多可以住多少人? ②如果有 88 名解放军，4 个帐篷能住下吗?”在教学过 程中，每一组学生各抒己见，说出了许多方法。对于第 一个问题， 有的学生说很简单， 用 23 乘以 3 就得出 69;有的学生则是将 23 拆分成 20 和 3.先用 20 乘以 3 口算得出 60.然后 3 乘以 3 得 9.最后 60 加 9 得出 69 。在回答第二个问题时，学生的交流就更主动热烈 了，思维也更活跃，有的说直接用乘法来算，23 乘以 4 得出 92.4 个帐篷可以住 92 人，大于 88 人;有的说还 可以用除法，88 除以4 得出 22. 而 22 小于 1 个帐篷 住的人数 23.所以结论是能住下 。学生在交流中将自 己的想法告诉同学， 同时倾听其他学生是怎样想的、 怎样做的。这样既锻炼了学生用数表达和交流信息的 能力，也能让学生在相互启发、相互交流中加深对数 量关系的理解，从中得到结论，在深化理解数学知识 的同时，拓展了数学思维，同时在无形之中增强了学 生的数感。
六、应用—升华数感
《义务教育数学课程标准(2022 年版)》指出：“能 在教师指导下，从日常生 活中提出 简单的数学问 题 …… 在解决问题的过程中， 感悟分析问题和解决 问题的基本方法，感受数学在生活中的应用。”数感 来自生活，表现为对日常生活中的数和运算有敏锐的 洞察力，是一种对数的良好感觉 。只有在具体的生活 情景中加以应用，数感才能得到升华 。因此，数学教学 的目的不是教会学生几道题 、几类题的解题方法，而 是要引导学生有意识地从数学的角度进行观察、分 析、推理，能够从数学的角度解释和表示客观事物之 间的数量关系、数据特征和空间形式，善于捕捉数字、 位置、图形、结构、差异等一般问题中潜在的数学特 征 。学生在面对实际问题时，要想到先用什么方法解 决，然后考虑用什么算法解决，最后再算出具体问题 的结果 。知识只有在应用中才能被真正掌握，也只有 在应用中才能体现其价值，在此过程中，学生的数学 思维、应用能力等核心素养可伴随问题的解决得到更好的发展。为此，教师可以设置一些与生活相关的数 学题，或者带领学生到校外寻找数学问题，使其将书 本上学到的知识运用到实际生活中，解决实际问题。
例如，在学校美术室要铺地砖时，笔者带领全班学 生来到美术教室， 让大家思考：“需要多少块地砖才能 铺完这个教室? ”学生积极思考，踊跃发言，有的说：“先 要量出教室的面积”;有的说：“还要知道每一块地砖的 面积”。对此，笔者提出假设：“如果每块地砖的规格是 60 cm×60 cm，那么需要多少块地砖? 可用什么单位测 量? 怎么铺用的地砖最少呢? ”由此可让学生在亲身体 验中感受到数学是人们生活中不可缺少的工具， 并学 会用数学的眼光发现和提出问题、用数学的思维分析 和解决问题，如此便升华了学生的数感。
总之，数感是一种心灵的感受，是一种有意识的 活动，是人认识数学，进而形成数学气质的心智技能， 是人最基本的数学素养[10] 。数感的培养是一个循序渐 进的系统的工作，需要在充分感知、体验、沉淀和积累 中逐步建立发展，数感的培养对学生数学学科核心素 养的提升有着重要的意义 。因此，在数学教学中，教师 要从学生的生活经验和已有的知识出发，创设有助于 培养学生数感且与学生生活环境、知识背景密切相关 的学习情境，寻找各种着眼点，运用观察、计算、操作、 探索、交流、应用等教学策略，让学生逐步体会数学知 识的产生、形成与发展的过程，获得积极的情感体验， 让学生在对数的充分感知、感悟中，形成对数的良好 直觉，感受数学的意义和魅力，形成解决问题的策略， 进而提高数学素养，做一个心中有“数”的人。
参考文献：
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[5] 皮亚杰.儿童的语言与思维[M].傅统先,译.北京:文化教育出版社, 1980.
[6] 邹彩虹.例谈小学数学教学中学生数感的培养[J].小学教学参考, 2014(5):81.
[7] 波利亚.数学的发现[M].景鱗,曹之江,邹清莲,译.北京:科学出版 社,2006.
[8] 布鲁纳.教育过程[M].上海师范大学外国教育研究室,译.上海:上 海人民出版社,1973.
[9] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准(2022 年版)[M]. 北京:北京师范大学出版社,2022.
[10] 罗余波.培养数学核心素养提高课堂教学质量[J].进展(教学与 科研),2018(4):64-64.
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