谈谈基本不等式应用中“ 项”的“ 拆分”论文

 

SCI论文（www.lunwensci.com）：

　　摘  要 :对不等式进行放缩时 ,需要对不等式的“ 项”进行有效科学的“拆分”,本文针对一 些问 题的结构特点 ,通过分析、探索 , 实现正确“拆分”.

　　关键词 :不等式;项;拆分

　　1 局部考虑所给结构式的分子或分母

　　例 1    已知 x ,y ,z ∈ R +  ,求 的最小值.
 

　　分析　将原题的式子　看 成   +即将(x2  + y2  + z2 )2  化为[k(yz + 2xz ) ]2 ( 其 中 k 为常数) ,这样原题的式子可变为 k2 (yz + 2xz)+    再用一 次基本不等式即可. 该不等式明显是要寻求 x2  + y2  + z2  与 yz + 2xz 的大小关系 ,而这 种关系是要将 z2  拆分成两部分 ,一部分与 x2  搭配产 生 2xz ,另一部分与 y2  搭配产生 yz ,于是我们可以设 x2  + kz2 ≥2 kxz (0 < k < 1 ) ,y2  + ( 1 - k)z2  ≥2·yz ,令 k = 2 ,求得 k =  ,即可实现拆分.    

　　解析  因为 x2  + y2  + z2  = x2  +z2  + y2  + z2 ≥2 × xz + yz =(2xz + yz) ,
 

　　故≥= (yz+ 2xz ) +  ≥4 , 当且仅当 x =  ,y =  ,z =时 ,的最小值为 4.
 

　　2 全面兼顾、整体考虑所给结构式

　　例 2   若实数 x ,y 满足 x + y = 7 ,求 2x  + 4y  的最 小值.
　
　　分析  此问题是如何合理利用 x + y是一常数. 由于 2x  + 4y  = 27 - y  + 22y ,直接用基本不等式是不可 以的 , 因为放缩以后它不是一个常数 ,我们必须认真 分析 7 - y 与 2y ,它们都在指数位置上 ,最终是要相 加变成常数的 , 那么 27 - y 和 22y 如何拆分是困难之 处 ,两个 - y 才可抵消 2y ,这样就有 2 - y  + 2 - y  + 22y 的 问 题 摆 在 面 前 , 显 然 有  2 - y    + 2 - y    + 22y   ≥ 3= 3是常数 ,那么还有 27  如何办?当然只有拆分它成为两个 26   了 ,所以就会产生 27 - y + 22y  = 26  × 2 - y  + 26  × 2 - y  + 22y ,故可顺利解决.
 

　　解析  2x   + 4y  = 27 - y  + 4y  = 26 - y  + 26 - y  + 22y  ≥ 3 3  = 3 3  = 48 , 当且仅当 26 - y  = 22y , 即 y = 2 , x = 5 时取等号.
 

　　所以当 y = 2 ,x = 5 时 ,2x  + 4y  的最小值为 48
 

　　3 考虑问题的因果特征和“ 轮换对称式”的等值特点

　　例 3     已知 x ,y ,z ∈ R +  , 且 x + y + z = 1 , 求+  +的最小值.
 

　　分析  这是一个轮换对称式问题 ,考虑到 x + y + z = 1 为定值 ,要将原式中的 x3 ,y3 ,z3  转化为 x ,y ,z , 同时要将分母去掉 , 只要对+ k1 y + k2 ( y +1) ,+ m1 z + m2 (z + 1 ) ,  + t1 x + t2 ( x + 1 ) 使用基本不等式进行操作即可 ,这就归结到其中的 系数究竟是多少 ,这得从 x ,y ,z 有对称的特点考虑 , 估计 x = y = z = 时原式有最小值 , 这时由于=  = , 而要使基本不等式在放缩过程中 各值相等 , 必须每值均为,所以可以得到 k1  = m1= t1  =   k2  = m2  = t2  =

　　解析  +  +  =  + y +(y + 1) + + z + (z + 1 ) + + x +(x + 1 ) - - ≥3 +

3      + 3 -≥x +y +z - = ,故当 x = y = z =时 ,  +  + 有最小值 .       
                                                       

　　4 考虑对条件和结论进行改进整理

　　例 4    已知正实数 a ,b ,c 满足 ab + bc + ca = abc ,
　　求+  + 的最小值.         分析  已知 ab + bc + ca = abc ,得  +  +    =1. 如果令 x =  ,y =    ,z =  , 已知条件变为 x + y + z = 1 ,而要证明的不等式变为+ +  , 注意到 x ,y ,z 的对称性 , 估计 x = y = z = 时原式有 最小值 , 即 = =  =  ,故有拆分式+(2 + x ) ,+ (2 + y) ,+(2 + z ).
 

　　解析  因为 x + y + z = 1 ,所以有( 2 + x ) +( 2 + y) + ( 2 + z ) =  . 所 以+  +  =  + ( 2 + x ) + + ( 2 + y ) +  +  (2 + z ) - ≥   +  + -  =  . 故 x = y = z = 时 , +  +最小值为 .

 

　　5 所求问题的条件和结论中字母是独立的

　　例 5    已知正实数 x ,y ,z , 满足 x + y2  + z3  = 1 , 求 x + y + z 的最大值.

　　分析  对照 x + y2  + z3  与 x + y + z ,应当考虑保 持 x 不变 ,y2  如何变为 y ,z3  如何变为 z ,或者说我们 如何将 x + y + z 放大成 x + y2  + z3  这个定值 ,所以一定有常数 k 使得 y = 2 k ·y2  ≤y2  + k ,令 2 k = 1 ,则 k = , 同时有常数 m 使得 z = 3 3 = z3  + m + m ,令 3 3 = 1 ,得 m =  ,故可得解.
 

　　解析  因为 x + y + z ≤x + (  + y2 ) + (z3  + +   )  = x + y2  + z3  当且仅当 y = , z =  , x = - 时 , x + y + z 的最大值为 +  .
 

 

　　6 所求问题的条件和结论中字母不是独立的

　　例 6    已知正实数 m ,n 满足 m + n = 1 , 求 +的最小值.
 

　　分析  因为 m + n = 1 , 设 km + kn = k (k > 0) ,使＋－ｋ＝- k (此值必为常数) . 当 km =且n =且 m + n = 1 时 ,  + 有最小值 4 +  - k. 即 54m2 = 8n3  且 m + n = 1.
 

　　即(2n ) 3  -(2n )2  + 54 × (2n ) - 54 = 0.

　　令 2n = x ,得 2x3  - 27x2  + 108x - 108 = 0. 所以 x=或 x = 6. 故 n =或 n = 3. 而 m = 1 - n > 0 ,所以n =  3 . 所以 n =  3    m =  1  k = 128.

　　解析  因为 m + n = 1 , 设 128m + 128n = 128 ,

　　使+  = (128m +) + (64n +64n +) - 128 
 

　　= 64 + 144 - 128 = 80.

　　当 m =  , n =时 , +有最小值 80.
 

　　7 将现成特定式转化为某些特殊式

　　例 7   正实数 x ,y ,z 满足 x < y < z ,求证:

　　分析  所证式的左边可以改写为+ ,联想到无穷递缩等比数列的所有项的 和 ,可以将“拆分”为 1 + ( )2  + ( )4  + … ,将“拆分”为 1 + ( )2  + ()4  + … ,但这需要条件 0 <  < 1 ,0 <  < 1 ,而这一点是题中条件可以提供的 ,而所证式的右边为 2 × ,也可以将其“拆分”为 2 + 2 ·  + 2 ( )2  + … , 即是 2 + 2 ×  ×  + 2 × ( )2  × ()2  + … ,这当中使用一下基本不等式便可以得解.
 

　　证明  因为正实数 x ,y ,z 满足 x < y < z ,

　　所以 0 <  < 1 , 0 <  < 1.

　　所以  +  =  +
 

　　= [ 1 + ()2   + ( )4   + … ] + [ 1 + ( )2   + ()4  + … ]

　　= 2 + [()2  + ()2 ] + [()4  + ()4 ] + … ≥2 + 2 ·+ 2 ( )2  + 2 () 3  + …
 

　　
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　　参考文献 :

　　[ 1 ]  中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标 准[M ] . 北京 :人民教育出版社 ,2018 .