几何直观促理解，问题解决不“迷茫”论文

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关键词 数学教学   几何直观   问题解决   数学理解

数学是一门研究数量关系和空间形式的科学，具有严密的符号体系、独特的公式结构、形象的图像语言。 它有三个显著的特点：高度抽象，逻辑严密，广泛应用。小学阶段的学生具有活泼好动，注意持久性差，无意注意、机械识记和形象思维占优势的特点。作为教师，我们必须深刻把握两者的特点，  找到连接直观和抽象的 路径，从而明确学习目的，改进学习方法，提高学习效果。很多有经验的教师都选择“几何直观”。几何直观， 即直接看到的图形、实物等，由于有图、物、符号等做支撑，复杂的数学问题经过看、想、说、做等数学活动 变得简明、形象。因此几何直观可以帮助学生理解数学。


一、几何直观让数学知识变“温暖”

数学枯燥、数学难学，是现在很 多小学生不喜欢学习数学的一个理由， 究其原因，其实并不是孩子天生不喜 欢，而是作为教师对教材的处理、学 习活动的设计没有遵循孩子的认知规 律，过分强调抽象思维的逻辑。往往我们感觉很简单的问题，孩子们听起 来总是一头雾水，师生很难同步，原因就是我们缺少了中间环节——理解， 造成学生只会单纯模仿，遇到变式就错误百出，更别谈应用了。

(一)几何直观促进概念的理解

概念教学贯穿整个小学阶段，可 以说支撑了数学教学的整体结构。由 此可见，  小学生对数学概念的正确掌 握是进行数学学习、积累经验、指导 今后学习的基础。但是概念教学中关 注形式化的表达，  忽视概念内涵理解 的现象仍然很普遍。

【案例】“到底是几个？”

乘法分配律的教学历来是教师关注的焦点，翻看各版本教材，几乎所有 的教材采取的流程都是：问题情境引入 主题—两种方法解决问题判定相等关 系—模仿等式结构概括乘法分配律。

通过模仿，孩子们判断哪些等式 应用了乘法分配律以及根据乘法分配 律填空问题并不大，  但是只限于基本 模式，稍有改动孩子们就会出错。

比如，在     里填上合适的数使等式成立：63×99+      =(      +1)×63

师： 题目要求填一个数，你为什 么这么写呢？

生 1 答案： 63×99+63×1=( 99 + 1)×63
生 1 ：前面都是 4 个数合成 3 个 数呀。生 2 答案： 63×99+ 1 =(99 +1)  ×63
师： 为什么填 1 呢？

生 2 ：后面括号里是 1，前面差1，后面差 99。

通过调查，我们发现，孩子们在学 习乘法分配律的时候关注更多的是它的 外在形式，再加上课上我们的例题、练 习都是乘法分配律的基本格式，孩子 们本身就比较容易受视觉干扰，  一旦 脱离乘法分配律核心本质—— 乘法的 意义，孩子们对乘法分配律的理解是 不深刻的，尤其是后面利用乘法分配 律进行简便运算的时候更会错样百出：
1 0 2 × 9 9 = 1 0 2 ×(9 9 + 1 ) ， 102×99=102×100-1，等等。

于是在实际教学中，我创设生活 情境，紧抓乘法意义，采用动态图形 演示加几何图形描述多管齐下认识运 算定律。

活动一：借助具体情境，利用动 态演示，初步感知乘法分配律。

以贴近学生生活的实例呈现问 题，展开乘法分配律的探究。



求一共贴了多少块瓷砖？学生得 出两种不同答案。

(1)4×8+6 ×8         (2)(4+6)×8

师： 能说说每种方法每一步求的 是什么吗 ?

生 1：4×8 是在计算左面铺了多 少块， 6×8 是在计算右面铺了多少块， 求一共铺了多少用加法。

生 2： (4+6)×8 是把左右 的 瓷 砖看成一个整体，4+6 就是整体的一 行是 10 个，共有 8 行。

在学生讲述计算过程时，教师通 过动态课件的演示，  两个图形合并成 一个图形。学生在动态的图形支撑下， 初步感知到乘法分配律如何将两部分 看成一个整体的过程，  明确了两个算 式的相等关系：

4×8+6×8 =(4+6)×8

紧接着教师追问：  你能结合图， 从算式意义的角度说说为什么它们相 等吗？    (出示实物模型)如果我再把 第三面墙也镶上 1 列瓷砖，你知道如 何列式吗？

借助实物模型，比较抽象的空间 想象在这节课降低了难度，孩子们有 摆、有画、有观察、有想象的，多渠道 写出算式。当孩子把三部分合成一个整 体，并自觉地说出各部分的含义时，对 乘法分配律的认识就更深了一步。
活动二 : 借助几何图形，抽象运 算模型，深化理解乘法分配律。

师： 孩子们，想象一下将墙上 铺好的瓷砖展开铺平，会是一个什么 图形？

生： 长方形。

随着学生的回答出示图形。

师： 你能计算出这个长方形的面 积吗？



生 3： 我把大长方形看成两个小 长方形的面积和，一个是 ac，另一 个是 bc，所以大长方形的面积就是 ac+bc。

师： 谁有不同的做法？

生 4： 大长方形的长是 a+b，宽 是 c，那利用面积公式就是 (a+b)×c。

师：  那 我 们 就 可 以 说 ac+bc= (a+b)×c。

将具体形象的因素抽离，利用学 生学过的图形面积基础，  求出上面大 的长方形的面积，  很巧妙地融合在三 个矩形之间的面积关系之中，  既有代 数的抽象，更有几何图形的抽象。学 生理解乘法分配律更加透彻。一句绕 嘴难理解，  使人迷惑却又十分重要的 定律很轻易地通过课件的动态演示和 图形说理被学生接受了。

(二)几何直观促进算理的明晰

在小学阶段计算也占有较大的比 重，以往的课堂，这部分的内容最不 容易引起教师们的重视。学生出现的 错误也被简单地定义为粗心马虎。随 着课改的推进，  教师们的教学观念也 随之转变，  开始注重让学生经历明晰 算理的过程，逐步完成“动作思维— 形象思维—抽象思维”的发展过程。

【案例】两位数加两位数进位加法

一年级学习《两位数加两位数进 位加法》时，面对新问题 23+18 等于 多少，学生几乎脱口而出 41。那 41 是怎么来的？  我们可以让学生利用画 图的方法将自己的思维展现出来，  从而明晰其中的道理。通过看学生作品不难发现：学生已经明晰了单根小棒和单根小棒相加，整捆小棒和整捆小棒相加，当单根小棒够 10 根时，会捆成一捆小棒，计数器同理。这样就为理解竖式计算时相同数位对齐、个位满十进一起到了很好的铺垫，尤其在辨析竖式书写是否正确时，学生会巧妙地结合图来说明理由。

师：有几位同学是用竖式计算的，看到他们的竖式你有什么想问的吗？
2  3       2  3
+ 1  8    + 1  8
3  11      3  1

生 1： 答案明明是 41，他怎么写成 311 了呢？

生 2：11 不能放在个位上。

生 3： 答案是 41，他写的 31，少了一个 10。

师： 那你们能说说他们这样写竖式为什么不行吗？

生 4： 我们可以看上面的图，计数器个位最多放 9 个珠子，够 10 个珠子就要换成十位上的 1 个珠子，不能
把 11 写在那。

生 5：3 根小棒加 8 根小棒一共是11 根小棒，够 10 根捆成一捆，整捆的小棒就变成 4 捆了。
……

这种让学生借助图形进行说理，借助几何直观进行明理，在画理、讲理中真正落实理解算理掌握算法这一计算课绕不开的教学目标。教材的改变同样证明了几何直观对理解算理的重要性，以“两位数乘两位数”为例，翻看了旧版教材，无论是北京版、北师大版还是人教版，里面都没有出现点子图，那在新版教材的这部分知识的教学中都有不同程度的使用。教材的这一改变是希望可以借助点子图这样的直观模型，更好地刻画学生的思维轨迹，帮助学生理
解笔算过程中每一步的意义及竖式中的两层积的由来，明确用因数十位上的数去乘时，所得的结果末尾要和十位对齐的道理，同时促使学生经历竖式的形成过程，真正接受竖式的书写格式。


二、几何直观让数学学习变“有趣”

画图是解决问题时经常使用的策略，通过画图能直观地显示题意，有 条理地表示数量，  便于发现数量之间的关系，从而形成解题的思路。在数学学习中，  应帮助学生从小养成一种 用直观的图形语言刻画、思考问题的习惯。

【案例】画图理解“行程问题” 题意

王伟和李想在 400 米的环形跑道 上，从同一地点同时出发，反向而行。 王伟每秒跑 4 .5 米，李想每秒跑 5 .5 米。多少秒后两个人第二次相遇？

面对较长的文字叙述题，很多孩子不自觉地动笔开始画，由此可以 看出孩子们在这个时候是有画图的需求的，同时也有的学生上来就算，抽象逻辑好的孩子可以抓住关键点厘清 题目中的数量关系，但一部分孩子还是缺乏这方面的能力。如按 400÷  (4 .5+5 .5)=40( 秒 )  或 400÷4 .5× 2=178(秒)，400÷5 .5×2=145 秒，178+ 145=323(秒)。

课上学生交流时，画图的孩子思 路清晰地说着自己的解题过程，  而没 有画图的孩子听得一头雾水，  摇头表示不太明白。生生互动中，我了解到有的孩子甚至题目中的条件都没有记 清楚，  在学生边讲边画边交流的过程中，  没有画图的孩子体会出来画图是有利于帮助自己分析问题从而解决问 题的。

三、 几何直观让数学思想变“牢固”

爱因斯坦说过：“所谓教育，就 是一个人把在学校所学忘光后剩下的 东西。”多年的数学学习留给我们的唯 有数学的思想方法。小学数学教材中 并没有给出数学思想方法的具体名称， 只是在知识发生、发展和应用的过程 中隐含着，学生理解起来是很抽象的。

【案例】“两位数加一位数口算进 位加法”中假设思想的渗透

师：我们用了很多方法解决了 69+4 等于多少的问题，那老师这还有 一种解法，你看看你能看懂吗？
70+4=74
74-1=73

生 1：70 是哪来的呢？

生 2：69+1 不就是 70 吗？

生 3： 可是为什么还要减 1？

生 4： 这个就是把 69 看成了 70， 但是我们算的是 69+4，还要把多的那 个 1 减去。

讨论到这里有学生明白了，但是 仍然有部分学生不理解。

师： 还有部分学生不理解，谁有什 么办法可以让大家更清楚是怎么回事？

生 5： 老师，我用黑板上的小棒 边摆边说。学生利用实物模型，动手摆一摆 让抽象的假设思想理解起来更容易。

【案例】转化思想

师：  用你自己的方法解决？学生都是利用通分求解的，有的 甚至由于通分步骤太多导致出错。

师： 很多同学都觉得通分起来 太麻烦了，老师这有一种简便算法： 有人知道是怎么来的吗？

这时学生开始议论起来。有人说 是因为老师知道了答案，  然后看出来 的；有人说他在奥数班学过，问其原 因却回答不出。其实这是高中等比数 列求和公式的渗透，在高中，面对这 个问题的推导我们会利用到错位相减 法，具体做法如下：

设则
两式相减得：
则得到：

很显然利用这样的代数方法进行 推导，  对于小学生而言理解起来是很 困难的，  于是就巧妙地借助几何直观 将代数问题转化为几何问题进行解决。

这时我出示了下图：

师： 你能结合这幅图来想一想原 因吗？有谁看懂了？

生： 把正方形用 1 表示，蓝色的

部分就是 ， 而白色部分就是，求             等于多少， 就等于。

一道复杂的代数题转化为几何来 思考和解决是那么直观、形象、简捷， 这就是几何直观的力量。

综上所述，借助几何直观进行教 学，可以形象生动地展现问题的本质， 有助于促进学生的数学理解，  有机渗 透数学思想方法的同时，  提高学生的 思维能力和解决问题的能力。

参考文献：

[1] 张秋爽．促进儿童数学理解的策略研究 [J]．小学数学研究， 2017(8) .
[2] 葛素儿． 通过图像表征促进小学数学理解教学 [J]．现象透视， 2012(12) .

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