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摘 要 :构造函数在高中数学解题中应用广泛，但其对学生分析问题的能力要求较高. 教学中 为使学生掌握构造函数的相关思路与技巧，并在解题中灵活应用，促进学生解题能力更好的提升， 应注重结合相关例题，为学生展示构造函数的具体应用.
关键词 :构造函数；高中数学；解题；应用
函数是高中的重要内容，也是学生学习的一个 难点，它贯穿于整个高中学习过程，数学中的构造函 数是指基于对数学问题的合理抽象、深入理解，以及 对初高中所学过的基本初等函数的认识，运用一个 新的函数对原函数进行转化，以达到顺利求解问题 的一种方法. 构造函数是高中数学的重点与难点，对 于学生的分析问题和解决问题的能力要求比较高， 许多学生对题目理解困难，找不到破题之处，为使学 生更好的掌握这一方法，既要做好相关理论知识的 讲解，提高学生运用构造函数解题的意识，又要注重 为学生展示其在解题中的具体应用过程，使学生更 好的把握相关的应用细节与应用技巧，在这个过程 中需要渗透构造的数学思维，并且需提升学生的运 算能力.
例 1 (2020 年全国数学高考一卷的 21 题) 已 知函数的f(x ) ＝aex －1 －lnx ＋lna (1)当 a ＝e 时，求 曲线 y＝f(x )在点(1，f(1))处的切线与两坐标轴围成 的三角形的面积；(2)若f(x )≥1，求 a 的取值范围.
此题的第二小题，很多学生在考试时候，由于题 干十分的简单，不知该如何下手，直接求解不等式， 似乎很难作答，然而如果尝试移项方式转化成恒成立问题，通过解决最值问题，就简化了求解的思路，进而可以快速的解出问题的答案.
解析 方法一 :若 f(x ) ≥1，则 f(x ) －1 ≥0，即 aex －1 －lnx ＋lna －1 ≥0 恒成立，令 g(x ) ＝aex －1 －
lnx ＋lna －1，则 g′ ( x ) ＝ aex －1 － ( a > 0，x > 0)，g″(x ) ＝aex －1 ＋；∴ g″(x ) > 0，g′(x )在(0，＋ ∞ )
上递增，当 x→0 时，g′(x ) → －∞，当 x → ＋ ∞时，g′(x ) →＋ ∞，∴ 存在唯一 的 x0 使得 g′(x0 ) ＝0，即在(0，x0 ) 上 g′(x ) <0，(x0，＋ ∞ )上 g′(x ) >0∴ g (x ) min ＝g(x0 ) ＝aex0 －1 －lnx0 ＋lna －1由 g′( x0 ) ＝ aex0 －1 － ＝0，得 aex0 －1 ＝ ，得 lna＋x0 －1 ＝ －lnx0，代入 g(x0 )得 g(x0 ) ＝ ＋x0＋2lna－2≥2 ＋2lna－2 ＝2lna≥0 ∴ a≥1
方法二:∵f(x ) ＝aex －1 －lnx ＋lna，∴ f(x ) ＝elnaex －1 －lnx ＋lna＝elna＋x －1 －lnx ＋lna≥1∴ elna＋x －1 ＋lna ＋x －1 ≥ lnx ＋x ＝elnx ＋ lnx，令g(x ) ＝ex ＋x，即 g(lna＋x －1) ≥g(lnx )显然 g(x )单调递增，所以 lna ＋x －1 ≥lnx，即lna≥lnx－x ＋1令 h (x ) ＝lnx －x ＋1，h ′(x ) ＝ －1 ＝0，x ＝1， 得到 x ∈ (0，1 ) 时，h ′ ( x ) > 0，h ( x ) 递增；x ∈ ( 1， ＋ ∞ )时，h ′(x ) <0，h (x )递减；∴ h (x ) max ＝h (1) ＝0，lna≥0，a≥1 .
构造函数问题很具有挑战性，需要学生细心的 观察能力和运算的能力，找到问题的突破口，构造出 合理的函数从而解决问题. 构造函数的问题应用十 分的广泛，构造函数是对所学函数知识的综合应用，所 有的基本初等函数都是构造问题的基础. 构造满足条 件的函数，要求对所有的基本初等函数的性质有深刻 的理解，并能灵活的运用，常见的有以下几种情况 :
1 利用构造函数分析极值点
极值点问题是高中数学函数部分的常见问题. 运用构造函数分析极值点问题时需要明确原函数与 导函数之间的关系，通过求导进行合理的转化，众所 周知，一些原函数通过求导往往可转化成二次函数， 而二次函数的根与函数的极值点相对应，认识到这 一点也就不难分析出原函数极值点个数、极值点分布以及相关参数的范围.
例 2 设函数f(x ) ＝x2 ＋mln ( 1 ＋x )有两个极值点，则实数 m 的取值范围是( ) .B . (0， )D . ( －1， ]
分析 解答该题可按照如下思路进行 :两个极 值点→导函数在定义域内存在不同的两根→构造函数→结合函数性质进行解答.
解析 f(x )的定义域为( －1，＋ ∞ )，设两个极 值点分别为 x 1，x2，且 －1 < x 1 < x2，则由f′(x ) ＝0， 得 2x2 ＋2x ＋m ＝0，令 g(x ) ＝2x2 ＋2x ＋m，要想满足题意，应满足 g( －1) > 0，g( －) < 0，从而解得0 < m < 1 选择 B 项.2 ，2 利用构造函数研究函数性质研究函数的性质有两种思路 :思路一，将函数转 化为基本函数；思路二，构造新的函数，运用导数进 行研究. 高中数学中，有些题目并未给出函数的具体 表达式，对于这种抽象函数，需要学生运用所学，通过 认真审题，借助构造函数巧妙的切入，在此基础上借助 导函数的相关性质，分析原函数的单调性、极值情况.
例 3 已知定义在( －，)上的函数f(x ) 的 导函数为f′( x )，若 f′ ( x ) ＝ tanx . [f( x ) ＋x ]，且 f(0) ＝0，则下列结论正确的是( ) .A.f(x )是增函数 B.f(x )是减函数C.f(x )有极大值 D.f(x )有极小值分析 此题为抽象函数问题，题中没有明确的 函数解析式，需要学生认真审题，对已知条件进行等 价转换，运用求导的逆运算，确定原函数以及导函数 的具体表达式，通过计算、比较其与零的大小关系， 确定其是递增的还是递减的以及是否存在极值.
解析 ∵ f ′(x ) ＝tanx . [f(x ) ＋x ]，x ∈ ( － π)，∴ f′(x ) cosx－f(x ) sinx ＝xsinx，∴ [f(x ) cosx ] ′ ＝xsinx. 令f(x ) cosx ＝sinx －xcosx ＋C，∵ f(0) ＝0， ∴ C ＝ 0，∴ f ( x ) cosx ＝ sinx － xcosx，f ( x ) ＝sinx－xcosx，cosx∴ f ′ ( x ) ＝ tanx . [f ( x ) ＋ x ] ＝ tanx . [ ＋x ] ＝tan x≥02，∴ 函数f(x )在(－，)上单调递增，选择 A 项.
3 利用构造函数求解或证明参数范围
求解参数范围是高中数学的热门题型. 不同习 题的解题思路不尽相同，需要学生深入的理解给出 的已知条件，通过构造新的函数化陌生为熟悉. 其中对于题干中形式相同的已知条件，往往需要采用 “同构”的思路进行分析. 通过对已知条件进行变 形，构建新的函数，通过对新函数性质的研究，得出要求解的参数范围.
例4 已知函数f(x )＝x (1－lnx )，设 a，b 为两个不 相等的正数，blna－alnb＝a－b，证明:2 < ＋ < e.分析 本题的难点是要找到， 与f(x )之间的关系，通过对已知条件的变形整理，观察，从而设＝x 1， ＝x2，原不等式转化为 2 < x 1 ＋x2 < e，前者的证明可以构建新函数，利用极值点偏移得证.证明 :通过对条件 blna －alnb ＝a －b 的变形，得lna ＋1 lnb ＋1( 1 －ln ) ＝ ( 1 －ln )，故f( ) ＝f( )，所以可以设＝x 1， ＝x2，不妨设 0 < x 1 < 1，x2 > 1 原不等式转化为 2 < x 1 ＋x2 < e，证明 x 1 ＋x2 > 2 时，若x2 >2，不等式恒成立；若 1 < x2 < 2，要证 x 1 ＋x2 > 2，即证 x 1 >2－x2，而 0 <2－x2 <1，根据f(x )在(0，1 ) 上递增，即证f(x 1 ) >f(2 －x2 )，即证f(x2 )－f(2 － x2 ) >0 在 1 < x2 <2 上恒成立，令 g(x ) ＝f(x )－f(2 －x )，g′(x ) ＝f′(x )－f′(2 －x ) ＝ －lnx －ln (2 －x ) ＝ －ln [x (2－x ) ]，因为 1 < x < 2，故 0 < x (2 －x ) < 1，故－ln [x (2－x ) ] > 0，所以 g′(x ) > 0，故 g(x )在 (1，2)上为增函数，所以 g(x ) > g(1 ) ＝0，故 f(x2 )－f(2－x2 ) >0，所以 x 1 ＋x2 >2 得以证明.
4 利用构造函数计算变量的值
计算变量的值在高中数学中较为常见. 解答该 类型题常常需要借助函数的单调性，因此，灵活运用 多种手段正确的判断函数在定义域内的单调性是解 题的关键. 其中对于较为复杂的数学习题需要构建新的函数，以降低解决问题的难度.
例 5 已知实数 x，y 满足 ln (4x ＋3y －6) － ex＋y－2 ≥3x ＋2y－6，则 x ＋y 的值为( ) .
A . 0 B .1 C . 2 D. 3
分析 该题干虽然较为简单，但却是指数与对 数的综合，难度较大，如思路不正确难以得出正确答 案. 解答该题需要对已知的条件进行变形，由不同到 相同，从无形到形似，构建出两个新的函数，通过对 两个新函数单调性的分析，找到两个函数特殊的点，问题便迎刃而解.
解析 ∵ ln (4x ＋3y－6) －ex＋y－2 ≥3x ＋2y－6，∴ ln (4x ＋3y－6) ≥ex＋y ＋3x ＋2y－6∴ ln (4x ＋3y－6) －(4x ＋3y －6) ≥ ex＋y －(x＋y－2) －2令f(x ) ＝lnx－x，x >0，g(x ) ＝ex －x －2.f ′(x ) 1 －x，x当 0 < x < 1 时，f ′(x ) > 0，函数f(x )递增；当 x > 1 时，f ′(x ) <0，函数f(x )递减，则f(x ) max ＝f( 1 ) ＝－1；g′(x ) ＝ex －1，当 x < 0 时 g′(x ) < 0，g(x )单调递减；当 x >0 时，g′(x ) >0，g(x )单调递增，g(x ) min ＝g(0) ＝－1，又 ∵ f(x ) ≥g(x )，∴ f(x )＝g(x ) ＝ －1，此时 4x ＋3y －6 ＝1，x ＋y －2 ＝0，解 得 x ＝1，y ＝1，则 x ＋y＝2，选择 C 项.
高中数学构造函数思路灵活多变，难度较大，在 构建函数过程中，需要对问题仔细的分析，对函数的 表达式认真的观察，明确解题的思路和方向，从而有 效的解决数学问题. 构造函数法是高中数学解题中 的一种重要方式，教师教学中既要注重不同构造思路 的讲解，也要在平时的教学过程中让学生亲身体会构 造函数的具体应用过程. 同时，鼓励学生做好解题的总 结与反思，使其在训练中吸取经验教训，不断的提高构 造函数的应用水平，使学生在提高解题能力的同时，发 展其数学核心素养，从而实现综合能力的提升.
参考文献 :
[ 1 ] 王晶珍. 构造法在高中数学解题中的应用研究 [J ] . 中学数学，2021 (05 ) :47－48 .
[2 ] 章君. 解析构造函数在高中数学解题中的应用[J ]. 中学课程辅导(教师通讯)，2020(24) :76－77.
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