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【摘要】本文就 2020 南京市中考第 20 题，学生中的典型失误进行分析，及本题对初中数学教学的几点启示：1.夯 实基础，稳扎稳打；2.关注知识间的联系，完善数学认知结构；3.渗透数学思想方法，关注学生长远发展；4.理解数学知 识本质，注重解题指导。
【关键词】反比例函数 不等式（组）解法 转化 数形结合 数轴 解题指导
1.试题呈现
已知反比例函数 y= 的图象经过点（-2，-1）
（1）求 k 的值
（2）完成下面的解答
2-x＞1①|
解不等式组 k
解：解不等式①，得 ____。根据函数 y= 的图像，得不等式②得解集 ____。
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来
从中可以找出两个不等式解集的公共部分，得不等 式组的解集。 .
2.试题解法分析
本题难度中等偏易题，第（1）问是根据所给条件，已知反比例函数 y= 图像上点 （-2，-1）， 利用待定系数
法，求出 k 的值，进而求出反比例函数表达式 。第（2）问 是解不等式组，4 个得分点，分别是：①正确解不等式。②利用反比例函数中 y＞1 图像对应部分，找出函数自变 量的取值范围进而得出不等式＞1 的解集 。③准确地 用数轴表示不等式的解集。④利用数轴找出各个不等式 解集的公共部分，得出不等式组的解集 。本题将反比例 函数模型和不等式组模型有机结合， 渗透数形结合思 想 。利用数形结合，以形助数，实现试题完美解决。
3.典型失误及分析
3.1 有关第（1）问的典型错误失误 1：表达式乱写，题目的题设中已经明确给出 反比例函数关系式，但仍有一小部分考生设y=kx，y=kx+ b，y=ax2 等。分析：学生对一次函数、正比例函数、反比例函数及 二次函数的概念不能厘清。失误 2：代入错误，将点（-2，-1）代入 y= ，得：-2=k -1
分析：把点（-2，-1）代入 y= 时，实际是将点坐标由形转化为数，即把 x=-2，y=-1 代入 y= ，横纵坐标弄
反，点坐标与函数变量关系理解不清。失误 3：计算错误，得-1= 后，错解为 k=（-2）×（-1）=-2，也有为 k= 1 k=3。
分析：基本计算不过关，有理数乘法法则不理解，符 号出错得 k=-2， 系数化为 1 分子分母颠倒了位置或是
乘除法之间关系理不清，得 k= 1 加法乘法混淆，得错解3。
3.2 有关第（2）问的典型错误失误 1：一空不等号写反，错解为 x＞1 或 x＜-3
分析：x＞1 是学生对不等式的基本性质理解与应用 存在问题 。x＜-3 是移项未变号。
失误 2：二空取值范围有偏差，错解 x＜2 或 x＜2 且 x ≠0。
分析：不能用题目提示的方法，由“形”利用反比例 函数图像求不等式的解，而是直接由”数”两边同乘 x。这 样要进行分类讨论，其中 x ≠0， 倘若 x 是一个负数，根据不等式的基本性质，不等号的方向要改变，＜1，与题
意矛盾，舍去。有的学生都把 x 当成正数，转化成一元一 次不等式来解，得错解 x＜2。有的学生考虑到 x ≠0，可没 有考虑到反比例函数的单调区间不连续，要分两部分加以描述。
失误 3：数轴表示解集错误：空实心位置标注错误， 开口方向错误。
分
析：数轴上空心与实心含义理解不清，不等式概 念理解不清，数轴上表示数的大小位置也不清晰。
4.教学启示
4.1 夯实基础，稳扎稳打
《数学课程标准（2011 版）》提出：通过义务教育阶段 的数学学习，学生能够获得适应社会生活和进一步发展 所必须的数学基础知识、基本技能、基本活动经验和基 本思想方法 。课标（2017 版）也提出数学学科六大核心 素养，这与“四基”是一脉相承，数学学习的课程目标是 “四基四能”，这更是初中教学的重中之重。（1）问的失误 1、失误 2，（2）问的中失误 1、失误 2 其问题的根源是在 于基本运算、方程、函数、不等式中基础知识，基本技能 和基本思想方法没有得到有效的落实。如果学生能够拥 有基本的运算能力，顺应题目要求，正确理解函数图像 上点与函数表达式的关系，运用待定系数法这个基本方 法求出反比例函数关系式。再利用描点法正确画出反比 例函数的大致图像，运用数形结合基本思想方法确定不 等式解集。这些种种失误都在提醒我们教师“落实四基， 培养四能，以四基四能为载体，在学习和应用数学的过 程中，发展学生数学学科核心素养”。
4.2 关注知识间的联系，完善数学认知结构
我们的教材为了遵循学生的认知特点和学习规律，分散难点，同时给学生学习数学内容提供有利的基础， 但是这
样却一定程度上割裂了学习内容的连贯性、系统性与整体性，致使学生对知识体系缺乏清晰的认识， 对知识间的联系理解肤浅，造成了“只见树木，不见森林”的现象 。 我们的数学教学既要见树木，又要见森 林 。第（2）问中失误 2 中有不少学生即使在题目给出具 体的解题思路方法的情况下，也不能将不等式问题转化为反比函数问题来解决。本题中解不等式 ＜1，若单从解不等式数的角度去思考， 以学生初中阶段的知识水 平，还是有一定难度的 。 而运用反比例函数中 y＞1，在反 比列函数图像中找到对应部分，进而找出对应的自变量 x 的取值范围，就能直观形象地得出不等式的解集，将数转化为形，化抽象为形象，以形助数，很容易地得正解。 函数与不等式之间有着密切的联系，高中阶段还会对它 们进行比较深入的研究 。实际上对于方程，不等式的问 题，我们可采用代数方法求解，也可以采用图像法求解。 多角度解决问题可以让我们对函数概念、图像和性质有 更深入的理解。由此可见，数学知识之间并不是孤立的， 而是存在着前后照应的联系，平时教学过程中要有意识 地关注知识之间的内在联系。第（2）问失误 1，在进行不 等式基本性质新授的教学时可先复习回顾等式性质，不 等式概念、意义及解集，类比等式的基本性质，由已知探 求未知，体悟归纳思想，使学生归纳地去探究、发现，归 纳地定义，再归纳地论证，完善数学认知结构，提升数学 学科的核心素养。
4.3 渗透数学思想方法，关注学生长远发展
数学是一门基础学科， 教学的重中之重是培养、发 展学生的思维能力，感悟知识的生成过程，数学思想方 法的灵活运用是学生思维品质的外在表现，初中也要关 注学生能力的培养。
在平时的教学中，笔者发现，教师对数形结合思想 理解得不透彻，致使学生也无法较好地感悟应用，思想 方法渗透流于口头“蜻蜓点水”式的表达。如果本题没有 给出解题的思路，考生的得分率可能会大大下降，这就 是由于学生没有形成自觉运用思想方法的意识而造成。 就第（2）问的失误 2，有的学生没有利用反比例函数的图 像去解决问题，也是没有自觉运用数形结合思想方法的 意识。方程、不等式问题可以转化为函数问题，可以通过 图像法解决；以“形”助“数”，“数”借助“形”可以使抽象 的问题生动化和直观化。反过来，可以借助“数”的精确 性来阐明图形的某些属性或特征；以“形”助“数”、以 “数”解“形”，数形结合。这样，我们可以依托元认知学习 策略，在平时的教育教学过程中，系统地向学生介绍数 形结合的价值和操作体系， 加强数形结合题型的训练， 充分经历数形结合解题过程，帮助学生构建良好的数学 认知结构，促使学生思维层次不断提升，促进学生终身 发展。
4.4 理解数学知识本质，注重解题指导
笔者在之前的习题教学过程中，很多时候是“就题 论题”，常常只关注“怎么做”，这是不行的，教师要更多 关注“为什么这样做”，理解数学知识的本质。第（2）问中 的失误 3，不少学生不能正确地在数轴上表示不等式的 解集，这可能是由于我们的教材上只是告诉我们“怎么 画”，没有说明“为什么这样画”，教师又不够重视，学生 不易理解，导致出错 。后期教学要详细解释为什么这样 画，让学生知其然，还知其所以然。第（2）问第二空，可根 据波利亚解题理论进行习题教学， 教学中加强解题指导。先认真审题，反复读题，正确理解题目所给信息，理清已知条件、未知条件及隐藏条件，能由已知推出间接条件，再根据个人解题经验，思考之前有没有见过类似的题型，之前是怎么做的，思考能否将其转化，找出解题思路；然后实现计划，这里需要学生认真画图，提高数形结合的意识解决问题，再利用数轴找出不等式组的公共部分，进而得解。如果这个题就到此为止的话，解题教学的效果会大打折扣，一题讲完后，教师要引导学生及时回顾反思，这样的解题方法是否可以运用到别的类似的题目上，可以由学生独立设计运用此方法的题目，同伴研讨，对知识追本溯源，明确思考方向，怎么去想，强化学法，力求触类旁通，把握每一类数学问题的本质，积累并掌握解决问题的关键所在。这样能够培养学生分析问题和解决问题的能力，从而得心应手地处理新的问题。
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