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摘 要: 通过剖析梳理二元齐次方程条件下的二元函数最值问题，将该类试题分门别类地细化 为各种具体题型，再研究各种题型相应的通性通法，帮助学生快速有效地甄别试题所属的模型，选 择相应的解题策略，增强解题的针对性和有效性.
关键词: 二元方程,极值问题,逻辑推理,数学运算
二元齐次方程条件下的二元函数最值问题作为 热门题型，频频出现在高考、竞赛、高校强基计划测 试等考试中.该类问题综合性强、方法灵活、变化多 端，要求考生具备较高的逻辑推理、数学运算、数学 抽象等核心素养.本文按照二元齐次方程条件的结 构特征，将此类试题梳理细化为各种具体题型，再研 究各种题型相应的最优或通用的解法，以帮助学生 快速甄别题型，按图索骥，选择合适的解题策略.
1 已知直线型条件 ax + by = c，求f( x，y) 的最值
若已知实数 x，y 满足直线型条件 ax + by = c( 其 中 a，b，c∈R)，求二元函数f( x，y) 的最值.对于此类 问题，我们可考虑构造等差数列的方法，具体解题过
的一元函数，达到了消元的目的，而后根据函数的单 调性、导数、基本不等式等方法求解即可.
分析 通过观察可以发现，尽管四个选项中表达式的结构类型( 如二次多项式、指数式、对数式、 根式) 不尽相同，但本质上都是在共同的二元一次 方程约束条件 a + b = 1 下，探求二元函数的最值问 题，于是可以考虑上述构造等差数列的方法.
2 已知( ax + by) ( cx + dy) = e，求f( x，y) 的最值
若已知条件通过因式分解等可变形为二元二次 方程(ax + by) (cx + dy) = e 的形式，可考虑局部换元法，即设 ax + by = t，则 cx + dy =e/t，将上述两式联立，从中解出 x，y，代入目标表达式，最终将二元最 值问题转化为关于 t 的一元函数最值问题，以达到 消参减元的目的.
例 3 ( 浙江省 2020 年 3 月“超级全能生”联考 ( B) 第 10 题) 已知实数 x，y，满足 x2 -4xy-5y2 =5. 则 x2 + 2y2 的最小值为 .
分析 通过观察已知条件 x2 -4xy-5y2 = 5.发 现 该 等 式 可 以 通 过 因 式 分 解 等 价 变 形 为 ( x-5y) (x + y) = 5.由“积为定值”的结构特征，联 想到可以实施局部换元法，即令 t = x -5y，则 x + y=5/t，将上述两式联立，从中解出 x，y，代入目标表达式，最终将问题转化为关于 t 的一元函数的最小 值问题，达到了消元的目的.
例 4 ( 2017 年清华大学中学生标准学术能力 测试第 12 题) 已知实数 x，y 满足 5x2 -y2 -4xy = 5. 则 2x2 + y2 的最小值是 .
事实上，上述三角代换法也适用于“圆面型”条 件下的二元最值问题.
例 6 ( 2020 年 清 华 大 学 强 基 计 划 测 试 第 1 题) 已知 x2 + y2 ≤1.则 x2 + xy -y2 的取值范围为.
代入目标函数式 f ( x，y)，将二元最值问题转化 为关于θ 的一元函数最值问题.
例 7 ( 2009 年华南理工大学自主招生测试第 3 题) 已知 a，b ∈R，a2 + 2b2 = 6.则 a + b 的最小值为 .
通过以上各例可以看出，二元齐次方程条件下 的二元函数最值问题意蕴丰富，包含函数、方程、不 等式、三角代换、解析几何等高中数学主干知识，综 合应用函数与方程、转化与化归、数形结合、分类讨 论、配方法、换元法、构造法、放缩法、判别式法等数 学思想方法，通过多种手段实现消元、降幕、化繁为 简之目的.减元思想是贯穿其中的一条主线.教学过 程中，要认真剖析题设条件和结论的结构特征和属 性，及时提取数学模型，从代数消元、三角代换、不等 式放缩、几何意义等视角寻求解题突破口，提升学生 的逻辑推理、数学抽象、数学运算、直观想象等核心 素养.
参考文献:
[1] 张天德，安学保.新高考数学思维突破 100 题 [M].济南: 山东科学技术出版社，2021.
[2] 徐章韬.中学数学教材核心内容分析: 经验型面向教学的数学知识 [M]. 北京: 科学 出版社，2021.
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