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摘 要:立体几何中特殊模型的应用，在破解一些小题中经常有奇效，能有效链接立体几何的 基础知识、定理等，通过合理的逻辑推理与直观想象，实现立体几何问题的简单快捷破解与应用.
关键词: 三棱锥,正方体,面积,体积,推理
立体几何的考查与应用是历年高考数学试卷中 比较常见的基本知识点之一，解决问题的关键是紧 扣题目条件中立体几何的核心信息，通过对应的立 体几何基础知识，利用立体几何中的空间点、直线、 平面等之间相关的位置关系，以及边、角等相关信 息，合理强化逻辑推理，正确数学运算，实现立体几 何问题的合理推理与应用.
1 问题呈现
问题 ( 多选题) 三棱锥 V-ABC 中，△ABC 是 等边三角形，顶点 V 在底面 ABC 的投影是底面的中 心，侧面 VAB⊥侧面 VAC，则( ).
2 试题分析
本题是一道立体几何的多选题，根据题意条件以及创新情境，考生可以直接猜想该立体几何题为一特 殊模型———“墙角”，即 VA，VB，VC 两两垂直，后面 4 个 选项的相应运算和推理判断便不太困难了.另一方面， 如果我们需要准确判断这是一个“墙角”问题，或者把 这个问题改编为一道解答题，我们该如何证明?
由题目的条件，三棱锥 V-ABC 中，△ABC 是等 边三角形，顶点 V 在底面 ABC 的投影是底面的中 心，可以比较容易证得这是一个正三棱锥，最后侧面 VAB⊥侧面 VAC 便成为了关键的一个条件，即使我 们事先还没意识到这是一个“墙角”问题，但如何运 用面面垂直的条件，去进一步挖掘几何体的关系，正 是命题人希望考查考生的关键环节! 另外还要用到 正三棱锥的重要性质: 底面正三角形的各边分别与 相对的侧棱垂直.
3 问题破解
4 追根溯源
以上问题作为多项选择题，如果考生能借助立 体几何中的特殊模型———立体几何中的“墙角”意 识，可直接利用“墙角”的基本性质与直观图形加以 计算并判断选项.如果考生没有上述意识，我们从破 解核心条件的角度来看，回归教材，追根溯源，同时 也是对上述“墙角”的证明.
题 1 ( 人教版普通高中教科书《数学》( 必修 第二册) 第 164 页第 17 题) 求证: 三个两两垂直的 平面的交线也两两垂直.( “墙角”模型)
题 2 ( 人教版普通高中教科书《数学》( 必修第二册) 第 160 页例 10) 已知 PA ⊥平面 ABC，平面 PAB⊥平面 PBC，求证: BC⊥平面 PAB.
5 链接高考
在历年的高考数学试卷的真题中，也经常有立 体几何中的“墙角”模型及其综合应用，或出现在选 择题、填空题这类小题中，或出现在解答题这类大题 中，以问题背景的形式或合理转化来体现.
高考真题 ( 2019 年高考数学全国 Ⅰ 卷理科 · 12) 已知三棱锥 P-ABC 的四个顶点在球 O 的球面 上，PA = PB = PC，△ABC 是边长为 2 的正三角形， E，F 分别是 PA，AB 的中点，∠CEF = 90°，则球 O 的 体积为( ).
A.8^6π B.4^6π C.2^6π D.^6π
解析 由于 PA = PB = PC，△ABC 是边长为 2 的正三角形，则三棱锥 P -ABC 为正三棱锥，可得 PB ⊥ AC.又 E，F 分别是 PA，AB 的中点，则 EF / PB.可得 EF⊥AC.又∠CEF = 90°，即 EF⊥CE，AC∩ CE = C.可得 EF ⊥平面 PAC.则 PB ⊥平面 PAC.则 PB⊥PA，即∠APB = 90°.可得 PA = PB = PC =根号2
6 变式拓展
结合创新情境的立体几何背景与数学文化的综 合应用，从不同思维视角、不同问题背景来巧妙创 设，拓展思维，并结合多选题的特征，从多个层面加 以发散思维，得到相应的变式拓展问题.
变式 1 ( 2021 届湖南模拟) ( 多选题) 截角四 面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截 角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体.如图 2 所示，将棱长为3a 的正四面体沿棱的三等分点作 平行于底面的截面得到所有棱长均为 a 的截角四面 体，则下列说法正确的是( ).
A.该截角四面体的表面积为 7^3a2
变式 2 ( 多选题) 将边长为 2 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角 A-BD -C，点 P 为线段 AD 上的一动点，下列结论正确的是( ).
D.四面体 ABCD 的外接球的表面积为8 π
解析 对于选项 A，因为BD⊥OA，BD⊥OC，OA ∩OC = O，所以 BD⊥平面 AOC，AC⊂平面 AOC.
所以 BD⊥AC，异面直线 AC 与 BD 所成的角为 90°，不是 60°，所以选项 A 错;
在平时的训练中，我们要及时发现学生在答题 中存在问题的“症结”原因，对症下药，合理选题，展 开针对性的训练.熟悉掌握一些基本的立体几何特 殊模型，如“墙角”模型，组合体模型，在解决选择题 或填空题时可以根据题目条件与立体几何模型的关 系加以直接应用，在应对解答题时也可以利用条件合理引导，指导推理论证的目标.
参考文献:
[1] 刘志联.用向量法解立体几何的垂直问题 [J].数学教学研究，2002( 03) : 29-31.
[2] 袁训春.浅析高中数学立体几何解题思路和方法 [J].高考，2018( 36) : 202.
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