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摘要：文章就大学课程《高等数学》绪论课教学进行了教学设计和探讨，说明不能忽视绪论课的教学，应让其对课程的学习起到不可或缺的良好开端及提纲挈领的作用。
关键词：《高等数学》绪论课；教学设计
本文引用格式：谭爱民,吴绍兵.《高等数学》绪论课教学探讨[J].教育现代化,2019,6(12):91-93.
绪论课应该是一门课程的宣言和灵魂，在很大程度上决定着后续课程的走向和效果。本文所论及的
《高等数学》这门课程，是理工科专业的基础课或其他专业的公共课，主要内容以微积分学为主。重视绪论课，把握好整个课程主线，涵盖课程重要思想方法及知识要点，根据学生实际确定教学内容，让学习者在第一时间解清疑惑，本课程绪论课设计如下。
一 温故以知新——数学的研究内容
数学是研究“数量关系”与“空间形式”的学科。世界上任何客观存在都有着“数”与“形”的属性特征，一切事物发生变化都遵循量变到质变的规律。数学研究量的大小、量的变化、量与量之间关系以及这些关系的变化，还研究现实世界中的任何形式和关系，只要这种形式和关系能抽象出来，用清晰准确的方式表达，即所谓化为数学模型。
二 初步知新——何为“高等”数学
根据数学研究的“数”与“形”的属性特征不同，我们从数学发展的几个阶段谈起。
（一）第一阶段：公元前5世纪至17世纪中叶，初等数学阶段
这一阶段，主要以毕达哥拉斯学派的研究和成果为主要代表。代数方面的成就主要是对数字的研究，勾股定理的建立与运用；在几何方面的成就主要是建立了三角形、多边形理论，发现了5种正多面体，建立了平行线理论和相似理论等，初步了解了圆与球的理论[1]。
（二）第二阶段：1637年——19世纪末叶，高等数学阶段
17世纪，社会经济不断发展、工业技术革命、战争的频发及航海等方面的需要，生产力突飞猛进发展，急需科学技术的支撑，数学也迎来了其“高等”阶段。其标志性的转变是笛卡尔坐标系的出现。1637年6月8日法国数学家勒奈·笛卡尔发表《几何学》，创立了平面直角坐标系。他用平面上的一点到两条固定直线的距离来确定点的位置，用坐标来描述空间上的点。他进而又创立了解析几何学，表明了几何问题不仅可以归结成为代数形式，而且可以通过代数变换来发现和证明几何性质。解析几何的出现，改变了自古希腊以来代数和几何分离的趋向，把相互对立着的“数”与“形”统一了起来，使几何曲线与代数方程相结合，并且开创了静态研究到动态研究的方法。
举一个生动的例子，让学生明白静态到动态研究的不同：
代数式1/a，是初等数学中常见的式子，a表示了不为0的实数，赋予a实数值，就可以进行计算，或者参与其他代数式一同运算。这是初等代数的静态研究方法。
函数式y=1/x。由于笛卡尔直角坐标系的出现，可以实现“数”，“形”结合，在直角坐标系中查看：在第一象限中，可以看到图像的变化趋势是，曲线越向右边延伸越靠近坐标X轴，用数学的语言解释是，随着取正值并取值越来越大的时候，取值随之逐渐减小并接近于0，即当趋向于正无穷时，y趋向于0。随着自变量的变化看函数的变化趋势的动态过程，这就是极限的重要思想，也是微积分的基本思想方法。在研究函数时我们总是通过函数值的变化来看函数的性质——用已知来逼近未知，用有限来逼近无限，用运动变化的观点来掌握函数，在无限变化的过程中考察变量的变化趋势，从有限过渡到无限。这一阶段上人们所研究的“数量关系”主要是变量的，“空间形式”是图形的变化，研究方法是运动的、联系的，这样的数学思想方法称为“高等数学”阶段[2]。
总之，常量的、静态的初等数学，解决了规则图形的长度、面积和体积，匀速直线运动，常力沿直线所做的功，质点间的吸引力等的几何问题及物理现象，是高等数学的基础；变量的、动态的高等数学，解决了不规则图形的长度、面积和体积，变力沿曲线所做的功，一般物体间的吸引力，物体的渐近行为和瞬时物理量的运动和变化的几何问题和物理过程，是初等数学的延续和发展。
高等数学含有非常丰富的内容，以大学本科所学为限，它主要包含以下的课程：解析几何，线性代数，高等代数，微积分，概率论与数理统计。这是大学阶段的广义的高等数学的内容，狭义的高等数学指内容是“微积分”的大学数学课程，也就是本文所讨论的课程。所有这些学科构成高等数学的基础部分，在此基础上建立了高等数学的宏伟大厦[3]。
（三）第三阶段：19世纪末叶至今，现代数学阶段。
电子计算机诞生后，和数学紧密结合，更加广阔地运用于社会各个领域，形成了100多个分支的数学大家庭，现代数学正成为科技发展的强大动力。
三 深入理解——微积分的产生与发展
围绕作为大学阶段的《高等数学》课程的狭义意义的微积分，来讨论其产生与发展。
（一）微积分的萌芽
公元前五世纪，人类就有了微积分的思想的萌芽。芝诺，公元前五世纪中叶古希腊哲学家提出了关于运动的四个“无限微妙，无限深邃”的悖论虽是哲学命题，但却对数学无穷思想的发展产生了直接且深远影响。我们选取“阿基里斯追龟悖论”、“飞矢不动悖论”，来说明其中涉及的对时间、空间、无限、连续、运动的看法。
1.阿基里斯追龟悖论。阿基里斯是希腊《荷马史诗》中一个善跑的英雄，在芝诺的悖论中，阿基里斯是追不上乌龟的。用数学语言表示如下：不妨设阿基里斯的奔跑速度为1米/秒，乌龟的速度为0.1米/秒，把两者都看成两个质点，当乌龟从出发点A到点B爬了100米，阿用了100秒追到，在这段时间里，乌龟又爬出去了10米，到达C点，阿用了10秒追到，这段时间里，乌龟又爬出去1米，阿又用1秒追到，此时乌龟又爬出去0.1米，如此往复，虽然乌龟爬的慢，但是终归在阿追上它的时间里，总挪出去一点距离，而阿要追上乌龟，必要先达到乌龟经过的那一点，如此就是一个无穷的过程，阿基里斯所用的时间为：无穷个数相加的结果是什么，是无穷大吗，那当然阿基里斯追不上乌龟了。
2.飞矢不动悖论。做这样一个师生间的讨论问答，让情景再现。芝诺问他的学生：“一支射出的箭是动的还是不动的？”“那还用说，当然是动的。”“确实是这样，在每个人的眼里它都是动的。可是，这支箭在每一个瞬间里都有它的位置吗？”“有的，老师。”“在这一瞬间里，它占据的空间和它的体积一样吗？”“有确定的位置，又占据着和自身体积一样大小的空间。”“那么，在这一瞬间里，这支箭是动的，还是不动的？”“不动的，老师。”“这一瞬间是不动的，那么其他瞬间呢？”“也是不动的，老师。”“所以，射出去的箭是不动的？”这两个关于无穷个数求和及瞬时速度的悖论问题困扰了数学家二千年，为了解决这样的难题，一代代的数学家开始前仆后继开始了艰苦的研究。
（二）微积分的酝酿
发展到17世纪，关于运动和变化、无穷问题的研究被归纳成了以下四个方面的问题：1.求物体在任意时刻的速度和加速度的瞬时变化率问题；2.曲线的切线问题；3.确定炮弹的最大射程以及求行星离开太阳的最远和最近距离的最大值和最小值问题；4.面积，体积、曲线长、重心和引力等问题。前三个问题引出微分概念，第四个问题引出积分概念。数学家巴罗以几何的面貌，用语言表述了“求切线”和“求面积”是两个互逆的命题，对微积分的创立起了巨大作用[4]。
（三）微积分的创立（十七世纪下半叶）
随着1637年笛卡尔坐标系的创立，在运动和变化的数学思想方法和前人工作的基础上，英国数学家牛顿的《流数简论》及德国数学家莱布尼茨的《一种求极大值与极小值以及求切线的新方法》标志着微积分的诞生。牛顿最成熟的微积分著述《曲线求积术》，反映了牛顿积分学的发展过程。莱布尼兹发明微分及积分的符号，给计算带来了方便，贡献极大。微积分中生产实践的需要中产生，又反过来深刻影响了生产技术与自然科学的发展，初步解决了以上提出了的四个问题，回答了芝诺的悖论。但由于牛顿就和莱布尼兹的微积分发明权之争，欧洲数学发展为两派，发展不均匀，尤其是英国发展缓慢，而欧洲涌现出了一大批数学家。
（四）微积分的危机（第二次数学危机）
微积分建立初期，由于理论的不够完善，一些数学家提出了抨击，其中贝克莱的《分析学家》对微积分的基本概念，基本方法及内容提出了全面的质疑。例举其中一个学生容易理解的的流数（即导数）求法的缺陷。当时的推导过程：通过流动变化为，同时变化为，则其增量为，与相比，比值结果为，而后再令为0，得到结果为。
贝克莱认为这样的推理是模糊的，因为先取了非零的增量，进行了运算，包括作为分母求比值，而后，又让消失，让它为零，得到最终的结果，这样的无穷小就像个“幽灵”，时而在，时而不存在。“从两个互相矛盾的假设，不能得出合理的结果”。贝克莱提出这样对微积分的质疑有67个之多，提出了其中的逻辑矛盾，使得当时数学界一片混乱，几乎颠覆了微积分理论，这就是数学史上的第二次危机！
（五）微积分的完善与英雄时代
紧接着，微积分的英雄时代到来了。19世纪的挪威数学家阿贝尔倡导让分析严格化，让基本概念有统一的定义，基本原理有统一的证明，让含混得以清晰。天才法国数学家柯西致力于分析的严格化，他看出核心问题是极限。在他划时代价值的著作《分析教程》中柯西定义极限为“当一个变量相继取得值无限接近于一个固定值，最终与此固定值之差要多小要多小时，该值就成为其他所有值的极限”，并定义了前文所提及的“无穷小量”是“以0为极限的变量”，不是“幽灵”。定义了导数，微分，奠定了对积分定义的基础，提出了著名的级数收敛的柯西准则，他坚持先证明存在性是从依赖直觉到分析严格化的转折点。之后的德国数学家魏尔斯特拉斯在柯西、阿贝尔开创的数学分析严格化的基础上，以建立了分析的严密而巧妙的语言，用数学式子反映了极限的动态过程[5]！我们现在所使用的“极限”的定义就来自于此，再由德国数学家戴德金等完成的严格的实数系理论，就此微积分大厦牢固地建立在扎实、严密的基石上，解决了第二次数学危机，形成了一个完备的学科，并蓬勃发展。恩格斯指出：“在一切理论成就中，未必再有什么象17世纪下半叶微积分学的那样被看作人类精神的最高胜利了。”他还说：“只有微积分学才能使自然科学有可能用数学来不仅仅表明状态，并也表明过程、运动。”
四 纵览把握——《高等数学》课程的研究内容及思想方法
纵览《高等数学》课程的内容，以笛卡尔坐标为基础的解析几何作为背景知识，概括而言就是一元函数的微积分学和多元函数的微积分学。
第一部分为函数、极限、连续作为课程基础知识。对“极限”的严密定义，奠定了整个微积分学的基础，微积分学中重要概念“导数”及“定积分”，实际上都是由“极限”来定义的，是两个特殊式子的极限值。“无穷小”、“无穷大”、“函数连续”的概念也均由“极限”定义。函数是研究对象，极限是研究方法，连续是研究桥梁。这是要把握的第一个微积分重要思想。
第二部分为导数与微分。导数是描绘瞬时变化率的数学概念，由极限定义，是平均变化率的极限值。如一阶导数的物理意义是变速直线运动物体的瞬时速度，求a时刻的瞬时速度v，先求a到邻近时刻b的平均速度，设运动时间为，当很小时，平均速度接近于瞬时速度，当无限趋近于0时，就得到在a时刻的瞬时速度v。这种思想方法也解决了芝诺“飞矢不动”的悖论。二阶导数的物理意义是变速直线运动物体的瞬时加速度。凡是具备这样条件的变化率的实际问题都可以归结为这样的方法解决，如切线的斜率，边际成本，电流强度，非均匀物质的密度等。
微分是由解决函数改变量的近似值引出的，它表明曲线被细分成小曲线段之后，可以由直线段代替，体现了无限细分，可由“直”推知“曲”，由“不变”代替“变”的微元微分法，微积分学的又一个重要思想，并且体现在求定积分中。
第三部分为积分学。包括定积分，曲线积分，二重积分，三重积分，曲面积分。所有的积分思想方法都可以归纳为：分割（化整为零），以直代曲（以不变代变），求和（积零为整），对和式取极限（积分值）。例如一元函数的定积分所表示的曲边梯形的面积，把大的曲边梯形细分成多个小曲边梯形，用矩形代替小曲边梯形，用小区间内一点的函数值作为矩形高代替小区间内曲线上不同点的纵高，然后把多个矩形面积加起来得到近似和，最后让分割无限细，矩形无穷多，取其极限和得到整个曲边梯形面积的精确值。“无限细分”就是微分，“无限求和”就是积分。凡是在实际中处理问题要经过以上四个过程的都可以用积分的方法解决。而不定积分的牛顿—莱布尼兹公式是定积分发展起来以后由两位数学家建立的一种简便求定积分的计算方法。
微积分学在天文学，物理学，水利学，电力学，医学，经济学，工程学，军事国防方面都有及其广泛和不可或缺的应用。作为课程普及在大学学习中，其重要性体现在思想方法和计算方法上，开阔视野，认识数学的价值，提高思维能力，感受变量数学的思想方法。
《高等数学》作为有着高度的抽象性、严密的逻辑性及广泛的应用性的基础科学，要求教师重视绪论课教学，“深入”而“浅出”，从高处俯览，在结构上明了所学内容，明白它要讲什么，要做什么，呈现出主干脉络，才能激发学生的主动性和积极性，改变套套公式，代代数字得到零散知识的状况，自动地把每堂课学习到的知识，添加到绪论课所构建的骨架主干中，犹如珍珠穿线，印证其结构，丰富其内容，积极构建属于自己的知识结构体系。米山国藏说：不管从事什么业务工作，唯有深深铭刻于头脑中的数学的精神、数学的思维方法、研究方法、推理方法和着眼点等，在随时随地发生作用，使他们受益终生。这也是绪论课的价值所在。
参考文献
[1]韩雪涛.湖南科学技术出版社[M],2007,(4):28-29.
[2]张永春.数学课程论[M]广西教育出版社,1997,(10):55-57.
[3] 梁宗巨.世界数学通史(上)[M],沈阳:辽宁教育出版社,2001,(4):90-91.
[4]梁宗巨,王青建,孙宏安.世界数学通史(下)[M].沈阳:辽宁教育出版社,2001,(4):12.
[5]林瑞芝.数学史词典[M].济南山东教育出版社,2000:37-39.
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