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摘 要:数形结合思想不仅能够帮助学生更好地理解数学概念和定理，还能够提高学生的解题能力。通过将抽象的数学问题转化 为具体的图形问题，学生可以更容易地把握问题的实质，从而更快地找到解决问题的方法。数形结合思想在中考试题中有充 分的体现，教师在教学实践中应积极研究数形结合思想在中考试题中的应用，以培养学生运用数形结合思想学习应用数学的 能力，这是帮助学生建构数学知识、促使学生数学学科核心素养落地的有效途径。
[ 关键词 ] 初中数学,数形结合思想,中考试题,应用
随着课程改革的逐步深入，核心 素养对教学的引导作用越来越明显， 中考题也越来越重视数学思想的体现。 当前数学中考题中数学思想的渗透， 既能够有效“接地气”，同时又能够起 到明显的引领作用。在诸多数学思想 方法中，数形结合是最基本的思想之 一，可以说从学生学习数学的那一天 开始，学生就在体验数形结合这一数 学思想方法，只不过在多数情形之下， 考虑到学生的认知特点，数形结合很 少直接以显性概念的形式出现，教师 追求更多的是学生对数形结合过程的 体验。
中考作为初中阶段最重要的评 价，其具有的“指挥棒”作用非常明 显、直接。体现数形结合思想是当前 中考命题的普遍趋势，而研究数形结 合思想在中考试题中的应用，也成为 每一个初中数学教师的教学研究着力 点。当然要注意这样几个基本点：一 是要对数形结合思想有准确的理解; 二是要将数形结合思想与具体的中考 试题相结合;三是要思考数形结合思 想如何通过中考题发挥引领作用。其中，前两点是基本要点，相对容易理 解，第三点则必须认识到中考试题所 发挥的引领作用主要体现在两个方面： 其一，面向教师的教学引领作用;其 二，面向学生的学习引领作用。这两 者还同时指向数学学科核心素养的发 展，教师在研究的时候要善于将这对 相对复杂的关系梳理清楚。
一、数形结合思想在中考试题的 体现
关于数学，一个最基本的认识就 是“数学是研究数与形的学科”。因 此，“数”与“形”就是数学学科中两 个最基本的概念。在数形结合思想运 用的过程中，借用图形来表征数量关 系，可以使许多抽象的数学概念及其 数量关系直观化、形象化，并使一些 关系简单化;而在运用了数量关系的 公式、法则后，复杂的图形问题则可 以归结为较容易处理的数量关系。基 于这样的分析看当前中考试题，可以 发现数形结合思想的体现可以从两个 方面来理解：
一是借助于几何直观，用或简单或复杂的图形来表示数的关系。几何 直观是数学学科核心素养的组成要素 之一，在数学中考题中可以看到丰富 的直线、角、三角形、四边形、多边 形、圆、抛物线，以及全等三角形、 相似三角形等，同时还有一次函数图 像、二次函数图像、正比例图像、反 比例图像等等。这些图像都能促使学 生形成并运用几何直观去思考、判断 图像背后相对复杂的数量关系。由于 中考试题的选拔功能，在利用几何图 形来表示数量关系的时候，往往还会 出现比较复杂的数形结合题目，比如 那些用来体现试卷区分度的题目，这 些题目中的图形往往相对复杂，其中 蕴含的数量关系要通过认真的观察与 严密的推理才能被发现。
二是借助于数量关系去研究几何 图形。除了最基本、最直接的数量关 系之外，在中考试题中出现得更多的 往往是相对复杂的数量关系，这种关 系主要以方程或函数的形式出现。这 种数形结合的试题中要想发现数量关 系的存在，需要学生有较高的思维水 平。以解函数相关的中考试题为例，只要学生思维当中有与数量关系相对 应的表象(数学图景)，那数与形的关 系才能准确地对应起来。中考试题中 的这种数形结合对学生有显著的指挥 棒作用，作为学生，要有意识地提升 自身将实际问题转化为数学问题的能 力，要能够体会到方程或者函数在解 释生活实际现象、解决生活实际问题 的作用，并且要能够通过“以数解形” 或“以形助数”，以使复杂问题简单 化、抽象问题具体化。
二、数形结合思想在中考试题的 应用
在上述两点认识的基础上研究数 形结合思想在中考试题中的应用，可 以选择具有代表意义的中考题作为研 究对象。与此同时，在这一研究的过 程中，还需要研究数学知识所对应的 体系以及学生的认知过程。众所周知，初中数学有着较为庞 杂的知识体系，其中部分内容显得相 对抽象难懂，学生在学习时客观上会 面对一定的困难，这对教师以及学生 都形成了挑战。教师需要开拓新的教 学思路，来帮助学生优化学习过程并 形成有效的学习方法，尤其要在数学 思想方法的驱动下去优化数学学习过 程。其中，数形结合思想就是选项之 一，其能将抽象的数学问题直观地体 现出来，而这就能够改变学生在数学 学习过程中面临的困境，从而帮助学 生对数学知识进行更好的学习。基于 数形结合思想的运用，教师应引导学 生认识到只要利用好图形，只要能够 有效转化图形，那无论面对什么样的 复杂问题，都可以在数形转换中获得 有效的解题思路。例 1 (见图 1)：将 矩形纸片 ABCD 沿 EF 折叠后，点 D、 C 分别落在点 D1 、C1 的位置，ED1 的 延长线交 BC 于点 G，若∠ EFG =64°,则∠ EGB 等于( )
分析：这是江苏某市 2021 年的一 道中考题，这道题目主要考查学生的 动态表象建构能力。在试卷上，这个 图形是静态的，而学生在构思的时候 则需要有动态的表象，也就是反映图 形折叠的动态表象;同时，学生还要 借助于空间想象力以及几何直观的判 断能力，来建立等量关系以及逻辑联 系，这样才可以完成问题的求解。因 此总体而言，这一类题目的解答需要 学生借助于数形结合思想来形成直观 的判断;反过来，这类题型又可以促 进学生形成关于数形结合的认识，进 而形成相应的解题能力。
基于此，初中中考题中引进数形 结合的思想，给数学教学的创新带来 了新的思路。一方面强化学生给予概 念的认知;另一方面促进初中学生思 维能力提升。对概念进行分析，大多 数情况下按照文字的模式加以呈现， 对基本逻辑变化的过程有所省略，对 应抽象性比较显著。站在初中学生视 角下，即便存在着理解难度，可是概 念都是配置对应模型的，教师利用数 形结合的思路开展教学指导，是能够 使得学生进一步深化对概念认知的， 促进学生思维能力的发展。
三、数形结合思想引导中考试题 与教学研究
用数形结合思想引导中考试题研 究，对于每一位初中数学教师来说是 一门基本功，也是一个基本任务。陶行知说：“行是知之始，知是行之成”， 作为数学教师一定要时刻认识到： “数”与“形”是相互联系的，在很多 数学问题的解决过程中，都需要通过 “数”与“形”的相互转化来解决数学 问题。数形结合既是重要的数学思想 方法，同时也是重要的学习方法。教 师基于数形结合思想研究中考试题时， 研究的对象是题目，研究的出发点与 落脚点却是学生。所以说，让学生理 解数形结合的思想，并能够运用这一 思想来引导自身的学习，才是本研究 的最终落脚点。
在平时的数学教学指导上，教师 应强调数形结合思想的渗透，做到如 下几点。
(一)把抽象化内容具体性，提高 学生学习效果
数学教师围绕中考题的考点，应 灵活地在教学中渗透数形结合思想， 让学生在解决问题时拥有全新的思路。 同时，考虑到初中学生学习的基本情 况，部分学生无法对初中数学的知识 产生强烈的学习欲望，仅仅是为了应 付教师和家长的要求参与课堂学习活 动，尚未了解到数学知识在实际生活 中的应用价值。此种情况下，学生很 有可能以被动的状态进行知识点分析， 掌握的知识点不够牢固，学生的思维 活跃程度不高，直接阻碍数学有效性 的提升。所以教师对内容进行适当转 变，具体给学生呈现某些数学知识， 灵活借助数形结合的思想激活学生思 维，确保学生能够全身心投入和感知， 提高学生的学习兴趣，提升学生的学 习效果。
比如，针对“正数和负数”的学 习，教师要鼓励学生正确分析两者， 引进数形结合的思想进行数轴运用， 对正数以及负数加以整体上区分，学 生懂得了两者的含义，便于学生在中考中遇到此类题目灵活处理。教师还 要给学生准备好教具，即温度计，给 学生阐述零上的含义以及零下的含义， 把 0 视作分界点进行整理。学生不仅 懂得了 0 的左边以及右边代表数字的 规律，还可真正懂得相反的内涵。另 外教师给学生介绍生活中和所学内容 相关的事情，学生的思维灵活运用， 使得学生学习质量得到保障，便于学 生在中考题的解答上取得突破。
(二)利用信息技术，促进学生思 维转变
数学教师要想增强学生的学习效 果，让学生可以从容地应对中考试题， 教师要及时给学生渗透数形结合的思 想，鼓励学生意识到数形转化的奥秘， 学生从被动化学习状态朝向主动化学 习状态转变，领悟数形结合的内在道 理，逐步梳理处理数学问题的思路， 真正地发展了初中学生的数学思维。
对于函数知识，其属于初中数学 存在较大难度的一项内容，教师应巧 妙地对函数疑难问题进行简约化处理， 组织学生判断函数的基本性质和基本 含义，避免在处理中考试题期间出现 错误。教师加深学生对函数的掌握， 引进信息技术给学生展现一次函数在 每一个象限中横纵坐标的特征，学生 学会判断什么样的函数有增加的趋势， 什么样的函数有减少变化的趋势。这 样教师给学生具体阐述了函数的知识 点，学生在课堂学习中得到了良好体 验，在之后的复习过程中也能够加深 对函数性质的学习体验，真正把所学 知识运用在处理问题中。
(三)形成数形结合意识，鼓励学 生认真处理问题
初中时期的数学教学，教师要全 方位给学生布设数形结合的条件，引导学生领悟数形结合的韵味，在平时 练习题的训练中形成数形结合的意识， 有助于学生在处理中考问题时及时应 用数形结合的方式，增加学生处理问 题的准确率。
教师不应单一化组织学生分析什 么是数形结合，还应关注学生应用实 践的意识培养，思维的形成需要长时 间形成，那么教师应投入充分的耐心， 教师强调学生学习习惯的培养要点， 对重点的数学问题进行讲解。学生明 白什么样的数学问题适合用数形结合 思想处理，一旦在之后遇到相关问题， 可以自觉形成数形结合意识，针对性 处理问题，从而为提高中考数学考试 成绩奠定基础。对于不等式的中考复 习中，教师便要通过数形结合的思想 组织学生进行坐标轴的数字转化，对 实际的数学问题进行瓶颈突破。不等 式的知识难度较大，若教师复习时利 用数形结合的形式，学生可以懂得在 坐标轴上找点，直接分析点的横纵坐 标，由此学生可以把所学的知识逐步 转变为自己处理数学问题的思维能力， 转变学生在数学学习中遇到的思路禁 锢问题，还可强化数学课堂指导的质 量，不断提高学生的学习水平。
(四)尊重学生个性成长，扩展学 生学习空间
教师应借助数形结合的思想，保 障学生自主化研究知识，激活学生思 维，让学生可以明白自己学习中的短 板和优势，从而发挥特长取得良好学 习成效。对于几何空间与图形的知识 点，其属于中考数学的一个考点，教 师要在复习过程中利用数形结合思想 加强学生对知识点的掌握，可鼓励学 生动手设计一个棱柱，对棱柱以及多 边形的特点进行关联，研究棱柱棱长相等的含义和棱柱底边是多边形的含 义，懂得怎样对棱柱的主视图和俯视 图进行判断。之后教师鼓励学生以数 形结合的思想加入练习题训练，分析 斜棱柱的矩形面有几个?在侧面都是 正方形的棱柱类型判断上，应如何验 证自己的猜想?这样教师帮助学生巩 固了几何图形的知识，更好地促进学 生做好中考试题。
综上所述，核心素养强调培养学 生的关键能力，教师通过对中考试题 的研究，去发展学生理解运用数形结 合思想的能力，培养学生学习应用数 学的能力。事实证明，这是帮助学生 建构数学知识、促使数学学科核心素 养落地的有效途径。因此可以认为数 形结合的引导意义是明确的，中考试 题中数学结合思想的运用价值也是巨 大的。
参考文献：
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