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摘 要 : 本文以课本例题、课外练习、高考真题为例，从问题情境、问题表征、模式识别、变式问 题四个角度分析了高中生数学问题解决能力的培养，通过例题的解析阐述解决数学问题的四种引 导策略: 理清问题，跳出情境; 多元表征，探寻思路; 识别模式，注重积累; 变式问题，关注发展.
关键词 : 问题解决,问题情境,问题表征,模式识别,变式问题
关于问题解决的理论国内外一直有不少研究， 如经典的波利亚[1]解题理论、喻平[2]对数学问题解 决的认识等.在数学课堂教学中，问题解决可以看成 是一个过程性活动，包含了问题情境、问题表征、问 题提出、问题拓展等要素.随着新课改的推进，课堂 教学越发重视对学生发现和提出、分析和解决问题 能力的培养[3].作为数学教师，不仅需要从分析问 题情境、灵活表征问题、注重识别模式、拓展变式问 题等角度培养学生的问题解决能力，还需要在平时 帮助学生积累一定的问题模式，厚积薄发，使学生在 面对问题时更易产生新的思路.
1 理清问题，跳出情境
数学问题常与一定的情境联系在一起，在提倡 数学与生活、其他学科间联系，提升学生解决实际问 题能力的今天愈发突出[4].但是，已有研究表明，不 少学生比较畏惧数学阅读理解题，觉得无从下手. 因此，解决这类问题的前提是理清问题，跳 出情 境[5]，具体来说即为梳理题意，简化情境表达，将复 杂文字表述转化成与所求联系密切、更易发现情境背后蕴含的数学关系或规律的结构形式，以便后续 进行分析、推理和运算.在求解问题时，教师应帮助 学生提高数学阅读能力，使学生学会边读题，边对情 境中蕴含的关键信息进行分析、整理，以更好地将情 境转化为数学问题.
例 1 为有效防控新冠疫情从境外输入，中国 民航局据相关法律宣布从 2020 年 6 月 8 日起实施 航班熔断机制，即航空公司同一航线航班在入境后 核酸检测结果为阳性的旅客人数达到一定数量后， 由民航局对其发出“熔断”指令，暂停该公司该航线 的运行(达到 5 个暂停运行 1 周，达到 10 个暂停运 行 4 周) ，并规定“熔断期”的航班量不得调整用于 其他航线，“熔断期”结束后，航空公司方可恢复每 周 1 班航班计划.已知某国际航空公司 A 航线计划 每周有一次航班入境，该航线第一次航班被熔断的概率为1/2.且被熔断的一次航班的下一次航班也被 熔断的概率是1/2.未被熔断的一次航班的下一次航班也未被熔断的概率为2/3. 一条“熔断期”的原计划航班不记入该航线的航班次数，记该航空公司 A 航 线的第 n 次航班被熔断的概率为pn .
该题题设较长，初读不易立即找出题中蕴含的 数学关系，可以在读后调整好心态，再次阅读、速览 甚至跳过介绍问题背景信息的冗长文字，找出并简 化处理包含数字的主要信息，理清思路. 就本题而 言，可将“达到 5 个暂停运行 1 周，达到 10 个暂停运 行 4 周”简记为“5 个→ 停 1 周，10 个→ 停 4 周”; 而 对后续的一组概率，由于涉及相邻两次航班被熔断 的概率关系，可 以 以树状 图的形式将其表示出来 ( 参考图 1) ，使问题的呈现方式更符合大脑的认知 加工模式以跳出情境.
2 多元表征，探寻思路
问题表征是指问题在学生脑中的呈现方式[6]，其表现形式包括系统间表征和系统内表征 : 前者指 在文字表征、图形(表) 表征、符号表征、操作性表征 四种数学表征系统间的表征转换 ; 后者包括变量替 换、初等几何变换、恒等变形、映射变换.表征方式的 不同会影响学生对问题的理解，进而影响解题思路 的发现[7].在平时的课堂教学中应有意识地引导学 生从多个不同的角度思考问题，转变学生看待问题 的角度，提高学生思维的灵活性、解决问题的能力与 效率.
3 识别模式，注重积累
数学是一门研究模式的科学.而模式识别作为 一种解题策略，最早源于人工智能领域，具体内涵是 指在解决数学问题时，关联、调用有关知识识别眼前 模式以解决问题[8]. 它以问题表征为基础，又是实 现解题迁移的前提条件.在平时的教学中，教师不 仅应有意识地揭示自己的思维过程，教会学生观 察、分析问题以发现思路、识别模式，帮助学生实 现从“知其然知其所以然”到“何由以知其所以然” 的转变，也应进一步归纳总结、提炼模式，使学生 在今后遇到复杂问题时能够自主进行分解、转化， 尽量往熟悉的思路、模式上靠拢，减少出现头脑空 白的状况.
4 变式问题，关注发展
题后拓展是问题解决的重要一环，在解决问题 后通过改变部分条件提出新的问题，如求解逆命题、 一般化后的命题等，可以让学生在一系列的问题变 式中意识到问题是多样的，体会知识的关联，提高思 维的灵活性，促进知识的迁移，最终提高学生解决问 题的能力，以在面对非常规的、需要进行一定思维努 力的问题时敢于尝试，敢于类比、联想，产生独具个 人风格的思路.
例 5 已知 Sn 是等 比数列 {an }中 的前 n 项和，S3 ，S9 ，S6 成等差数列，求证 : a2 ，a8 ，a5 成等差 数列.
该题是人教 A 版选择性必修二《等比数列》中 的一道习题，学生借助等比数列的概念及求和公式 容易证得结论，教师在教学中可以进一步设置如下 变式问题以引导学生加深对等差与等比数列联系的认识 :
变式 1 已知 Sn 是等比数列{an }中的前 n 项 和，Sp ，Sp + q ，Sq 成等差数列，求证 : ap ，ap + q ，aq 成等差 数列.
结论 : 对于等比数列，在公比不为 1 的条件下，3 项前 n 项和 ( n 最大的那项放中间，且 n 最大的那 项的项数等于另两项的项数之和) 成等差数列与对 应数列或各项的项数差一个常数情况下的对应数列 成等差数列等价.
参考文献 :
[1] 波 利 亚.怎样解题[M].北 京: 科 学 出版社，1982 .
[2]喻平.数学教育心理学[M].南宁: 广西教育出版社，2004 .
[3]杨勇.核心素养下高中数学问题解决策略[J].教学与管理( 中学版) ，2019(11) : 60-63 .
[4] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标 准(2017 年版 2020 年修订) [M].北京: 人民教育出版社，2020 .
[5]林伟.核心素养“三会”视域下数学阅读的教学实践[J].福建中学数学，2021 (9) : 12 -15 .
[6]余建国.模式识别理论指导下的数学解题教学 : 以一道高考解析几何题为例[J].教育研究与 评论( 中学教育教学版) ，2019(8) : 64-68 .
[7]谢海燕，姜慧慧，张晋宇，等.我国八年级学生数 学表征能力的调查研究[J].基础教 育，2016 (1) : 65-70 .
[8]于文华.基于数学问题解决的模式识别研究述评[J].数学教育学报，2012.21 (3) : 11 -16 .
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