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摘 要 : 数学运算是一种逻辑推理，学生在学习过程中普遍存在问题.为了使学生更好地理解 数学运算素养，提升运算素养水平，本文从数学运算的方向、方法和程序的角度，培养学生思维的广 度、敏捷度和深度，结合实例来探讨“数学运算”素养如何在教学中落地.
关键词 : 核心素养,数学运算,教学,落地
我们在教学过程中常常遇到一个让人困惑的现 象 : 对于很多题目学生知道运算方法，但总是算不下 去，或是运算出错，做得不够完整，解答过程不够规 范，等等，呈现出一种“会而不对，对而不全，全而不 规”的特点，这是数学运算能力问题.教师在执教过 程中，经常会跟学生强调数学运算能力的重要性，也 给了学生充足的时间让其运算，但这样还远远不够.
在《普通高 中课程标准(2017 年版 2020 年修 订) 》中，数学运算作为六大核心素养之一，是数学 的基本能力，是学生借助运算培养解决问题的能力. 课标明确指出数学运算是指确定运算对象，由运算 法则解决问题的素养.它包含: 运算对象、方向、方法、 程序、运算结果等等.数学运算能力的培养，能促进思 维品质的提升.而学生主要是在运算方向、运算方法以 及运算程序上出现了问题，本文以这三点为载体，结合 具体例子，谈谈教师除了在“意识”上重视数学运算之 外，如何在“行动”上落实数学运算素养的培养.
1 实例分析
数学运算是一种演绎推理、也是逻辑推理的呈 现形式，根据规则运算每一步，最终得到数学问题的 结果.学生恰恰是因为抽象能力不够、运算方向感不 强、整理化简能力欠佳等原因导致了运算的错误.比如三角函数边角互化的问题中，学生总是算到中途 就不知道往哪个方向走了 ; 解析几何运算时只知道 “联、化、判、韦”，但是在运算方法的选择上却不够 灵活，导致计算量人为加大，等等.下文针对这一现 象做具体阐述和对策分析.
1.1 多角度寻求运算方向，培养思维的广度
思维的广度是指从多方面思考一个问题.对这 个问题的事实作多方面的说明，用多种方式表述这 个问题的条件、可能的思考方向，能找到多种角度下各 种不同的解法.在教学过程中，要注重培养学生多思考 问题以及多角度探究运算方向，挖掘思路清晰且运算 量小的方法，以培养学生的运算能力和思维的广度.
例 1 ΔABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 sin(A + C) = 8 sin2B/2.，求 cosB.
分析 首先明确运算方向—— 求 cosB，即要保 留角 B 或 cosB，故先把 sin(A + C) 写成 sinB，得 sinB= 8 sin2 B/2.接下来该从哪个方向来求 cosB，是本题的核心所在.
解析 若是由降幂公式得 sinB = 4 ( 1 -cosB) ， 那么接下来可考虑从以下三个方向着手.
点评 方向 1 出现“算不下去”的原因有: ( 1) 没有明确运算方向，正确的运算方向是求 cosB，而 不是直接求角 B; (2) 受到辅助角公式的影响，形成 了定式思维，看到这样的形式，就想到辅助角公式， 这也是很多学生思维受阻的原因.方向 2 通过两边平 方，消去了 sinB，得到了关于 cosB 的方程，是个很好的 思路，不足的是如果学生因式分解掌握得不好，算出结 果需要一定的时间，而方向 3 正好弥补了这一点，先约去1-cosB，简化了运算.方向 4 先用二倍角公式求出 tanB/2=1/4.再求 cosB，方向明确，而且运算量不大.
多角度地探究运算方向，在探究过程中，探寻方 向性强且运算量小的方法，是解题教学的重要任务， 也是培养学生思维广度的有效途径.
1.2 合理选择运算方法，培养思维的敏捷度
数学思维的敏捷性是指思维、智力活动的灵敏 程度，体现在思考问题时不固执己见，能随机应变、 触类旁通，不拘泥于某一固定形式或模式. 在解题 教学中，合理选择运算方法，减少运算量，以及对问题 的一题多解，发散思维，都可以培养思维的灵活性.
解析几何运算量较大，很多学生容易出现“算 不下去”或算错的情况，往往不能得到正确答案，或 得到了正确答案，但花费了很长的时间.出现这一现象的原因是没有选择合理的运算方法.那么在教学 中，应该怎么解决这一问题呢? 除了多训练计算能 力外，更需要多思考、多总结.比如，若直线过定点 M(0.m) ，则设其方程为 y = kx + m，若直线过定点 N(n，0) ，则设其方程为 x = ky + n ; 若有两个点都在 圆锥曲线上，可选择“点差法”; 若遇到中点，则选“中点 弦公式”; 若遇根式，可选换元法或整体运算等等.
点评 先由已知得 A，B 两点坐标的关系，再用 “整体消元法”，不需要与椭圆联立，过程简洁，运算 量小，优化了解法 1.
2 依据本质设计运算程序，培养思维的深度
思维的深度在具体问题中表现为 : 对问题提炼 的深度、抽象程度和逻辑思考水平，即思考问题的深 度和难度.依据问题的条件、现象，思考问题的本质 和联系，是思维深度与否的主要体现.我们在教育教学活动中，老师应该由外及里，由一点向多角度发 散，提炼题目的本质和规律，可以采用的运算程序， 以达到培养深度思维的目的.
例 3 已知函数f(x) = ex -ln(x + m) ，当 m≤2 时，证明f(x) >0.
解析 当 m≤2 时，ln(x + m) ≤ln(x + 2) ，所以 f(x) = ex -ln(x + m) =ex -ln(x + 2) ，故只需证明 当 m = 2 时，f(x) >0.
点评 本题的关键是证明当 m = 2 时f(x) >0. 即证 ex >ln(x + 2) .那么 m = 2 是怎么得到的呢?
由人教 A 版选择性必修第二册 99 页第 12 题得 ex =x +1 ①
当且仅当 x = 0 时等号成立.
又由人教A 版选择性必修第二册94 页第2 题得x - 1=lnx，把 x 换成 x + 2.得到 x + 1=ln(x + 2) ②
当且仅当 x = -1 时等号成立.
根据①②式，可得 ex >ln(x + 2) .
(这是因为①和②等号成立的条件不同，即两 式不能同时取到等号) .
如果我们知道该题的教材背景，则只需要证明 ①②两式成立即可( 教材上的题目) ，那样就可以简 化运算，降低思维难度.因此只要抓住了问题的本 质，揭示问题的背景，从而可以为我们的解题提供新 思路、新方法，减少运算量.
分析 如果按常规思路去分母来证明，运算量很大，很麻烦.此时就需要探寻问题的本质，抓住问 题的核心，方可简化运算.
证明 注意到f(a) = a2.f(b) = b2.f(c) = c2.又 f(x) 为次数不超过2 的多项式，故f(x) = x2 = g(x) .
点评 此题的核心所在是挖掘、发现f ( a) = a2 ，f( b) = b2 ，f ( c) = c2 ，然后利用“多项式恒等定 理”来证明这两个多项式相等. 多项式恒等定理即 : 如果两个次数不超过 n 的多项式有 n + 1 处取值相 等，则这两个多项式相等.这就抓住问题的本质，发 现解题的新思路、新方法，从而减少运算量.
数学核心素养与数学基本思想、数学思想方法 等密切相关.数学核心素养是数学基本思想在学习 某一个或几个领域内容中的具体表现 ; 数学思想方 法则是体现如何从操作层面上实现核心素养、基本 思想方法 ; 数学核心素养是数学育人阶段性的凝练， 是以往“五大数学能力”( 抽象概括、逻辑推理、数据 处理、运算求解、空间想象) 的拓展.数学核心素养 之一的数学运算在培养学生数学品质上有着重要的 意义和价值.
在培养学生的数学运算能力时，应重视学生思 维的广度、敏捷度和深度的培养，这些品质紧密相 连，密不可分.缺乏了思维，数学就不是数学，就没有 生命和活力.教师在教学过程中，应重点对学生的 “思维的过程”进行教学设计，课堂教学的每个环节 也应立足培养学生的思维品质，实现“数学运算”素 养在教学中落地生根.
参考文献 :
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[2] 陈玉娟.例谈高中数学核心素养的培养，从课堂 教学中数学运算的维度[J].数 学通报，2016 (8) : 34-36.54 .
[3]马云鹏.关于数学核心素养的几个问题[J].课 程·教材·教法，2015(09) : 36-39 .
[4]朱潇，李鸿昌.从数学运算素养的内涵，谈运算 能力的培养[J].中学数学，2018(01) : 57-59 .
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